2021-2022学年苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形单元整合练习题（培优）（Word版含答案）

第9章 中心对称图形—平行四边形 单元整合练习题（培优）
2021-2022学年苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、（2020·江苏盐城市·八年级期中）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、（2021春 南山区期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（　　）
A．5 B．6 C． D．
(2题) （4题） （5题）
3、（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）点、、、在同一平面内，从①；②；③；④四个条件中任意选两个，能使四边形平行四的选法有（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
4、（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交 于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
6、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（　　）
A．54° B．60° C．65° D．72°
7、（2020春 长兴县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
8、如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
9、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、（2020秋 宝安区期中）如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11、如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是　　 ．
12、（2021·全国·）平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线把AD分成5和7两部分，则平行四边形ABCD的周长为__．
13、如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝　　．
14、如图，在中，，分别平分和，，．若从三个条件：①；②；③中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是　　（填序号）．
15、（2020秋 陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是　 　．
16、（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
17、如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为　　．
18、（2020 龙岗区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是　　．
三、解答题
19、如图，在平面直角坐标系中，、、
（1）以点为旋转中心，画绕点顺时针旋转的△，并写出坐标　　 ；
（2）画关于点对称的△，并写出以，，，四点为顶点的四边形的面积　　．
20、（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
21、（2021春 滨湖区期中）如图，已知四边形，，，对角线、相交于点，点是四边形外一点．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，请判断四边形的形状，并给予证明．
22、（2021春 高新区期中）已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
23、（2020春 下陆区校级期中）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝6，AF＝2DF，求CF的长．
24、（2020秋 渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足 　时，四边形ADCE是正方形．
25、（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，
∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连结PO并延长交折
线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t(s)．
(1)当PQ与 ABCD的边垂直时，求PQ的长；
(2)当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由；
(3)当t取何值时，CQ所在直线恰好将 ABCD的面积分成1：3的两部分．
26、（2020春 遵义期末）如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB＝2时，求四边形ABED的面积；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝+1，求AF的长．
27、（2020秋 和平区校级月考）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BG＝　　；AG＝　　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长　 　．
第9章 中心对称图形—平行四边形 单元整合练习题（培优）
2021-2022学年苏科版八年级数学下册（解析）
一、选择题
1、（2020·江苏盐城市·八年级期中）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；故选：B．
2、（2021春 南山区期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【解题思路】由旋转的性质和等边三角形的性质可证∠EAD＝90°，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
【解答过程】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴AC＝DE=，
故选：D．
3、（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）点、、、在同一平面内，从①；②；③；④四个条件中任意选两个，能使四边形平行四的选法有（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形；
所以能推出四边形为平行四边形的有四组，故选：D．
4、（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交 于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD=AD BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，
∴E是AB的中点，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S ABCD=AD BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE
∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．
5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【答案】A
【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，
故选：A．
6、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（　　）
A．54° B．60° C．65° D．72°
【思路点拨】设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，根据题意列出方程求出α的值，然后根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【答案】解：设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，
∴3α+2α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠CDE＝2α＝36°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣36°＝54°
∵OD＝OC，
∴∠DCE＝∠ODC＝54°，
∴∠COD＝180°﹣2×54°＝72°，
故选：D．
7、（2020春 长兴县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
【点拨】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝，
∴MN的最小值为；
故选：A．
8、如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），
在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；
正确的是①④．故选：A．
9、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；
②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；
③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；
④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．
详解：①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，
∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；
②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；
③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，
∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，
如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，
当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；
其中正确结论有①②，2个，
故选B．
10、（2020秋 宝安区期中）如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出DE的长，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，
∵EC＝1，∴GB＝DE＝1，
∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，
∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，故②正确；
∴AF＝＝＝，故③错误；
∴GF＝3+＝，∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
二、填空题
11、如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是　　 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，
∵∠D＝90°，∴AE，故答案为2．
12、（2021·全国·）平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线把AD分成5和7两部分，则平行四边形ABCD的周长为__．
【答案】34或38##38或34
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当AE=5时，求出AB的长；（2）当AE=7时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
（1）当AE=5时，AB=5，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+5+7）=34；
（2）当AE=7时，AB=7，
平行四边形ABCD的周长是2×（5+7+7）=38；
故答案为：34或38．
13、如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝　　．
【点拨】由矩形的性质可得AO＝CO＝5＝BO＝DO，由S△DCO＝S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．
【解析】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝5＝BO＝DO，
∴S△DCO＝S矩形ABCD＝10，
∵S△DCO＝S△DPO+S△PCO，
∴10＝+×OC×PE
∴20＝5PF+5PE
∴PE+PF＝4
故答案为：4
14、如图，在中，，分别平分和，，．若从三个条件：①；②；③中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是　　（填序号）．
【分析】当时，四边形是菱形．只要证明四边形是平行四边形，即可解决问题．
【解析】当时，四边形是菱形．
理由：，，四边形是平行四边形，
，，
，分别平分和，，
，四边形是菱形．
故答案为②
15、（2020秋 陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是　 　．
【分析】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
依据条件先判定四边形EFGH为菱形，再根据∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．
【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG=AC；
同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，
则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，
又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．
16、（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
【答案】2.5
【分析】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长CF交AB于H，
∵AE平分∠BAC，∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中， ，
∴△AFH≌△AFC（ASA），∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，∴AH=AC=8，∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，∴DF=HB=2.5，故答案为：2.5．
17、如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为　　．
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得HN＝1，从而得HM的长，根据矩形得GM＝PN＝1，最后由勾股定理计算可得结论．
【解答】解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝1，∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝．
故答案为：．
18、（2020 龙岗区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是　　．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
首先延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB＝NE，然后由AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．
【解析】解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．
∵M为BC的中点，∴BM＝CM．
在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，
∵N为边DC的中点，∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，
∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，∴∠AEH＝30°，∴AH＝AE＝4，
∴EH＝＝4，∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，∴EN＝＝7，
∴AB＝×7＝．
故答案为．
三、解答题
19、如图，在平面直角坐标系中，、、
（1）以点为旋转中心，画绕点顺时针旋转的△，并写出坐标　　 ；
（2）画关于点对称的△，并写出以，，，四点为顶点的四边形的面积　　．
【解答】（1）如图，△为所作，点坐标为；
（2）如图，△为所作，
以，，，四点为顶点的四边形的面积
．
故答案为；26
20、（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）77°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，∴，
∵，∴，即，
在和中，，∴≌，∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，∴，
∵FG//AB，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴，∴．
21、（2021春 滨湖区期中）如图，已知四边形，，，对角线、相交于点，点是四边形外一点．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，请判断四边形的形状，并给予证明．
【分析】（1）证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）得：四边形是平行四边形，则，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，即可得出结论．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
、互相平分；
（2）解：四边形是矩形，证明如下：
连接，如图所示：
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
平行四边形是矩形．
22、（2021春 高新区期中）已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；
（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积．
【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，
在菱形中，，平行四边形是矩形，
故四边形是矩形；
（2）解：，，，
，是等边三角形，，
在菱形中，由勾股定理，
四边形是菱形，，
四边形的面积
23、（2020春 下陆区校级期中）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝6，AF＝2DF，求CF的长．
【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可；
（2）取CD的中点G，连接FG，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝6，∠D＝∠ABC＝60°，根据菱形的性质得到AF＝AB，推出△DFG是等边三角形，得到FG＝DG＝CG，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，
∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：在CD上取CD的中点G，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，∠D＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∴AF＝CD，
∵AF＝2DF，∴CD＝2DF，∴DG＝DF＝CG，
∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DG＝CG，
∴∠DFC＝90°，∴CF＝CD＝3．
24、（2020秋 渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？
（3）直接回答：当△ABC满足 　时，四边形ADCE是正方形．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，则AN∥BC，根据三角形中位线的性质得FD∥AB，可得四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝CD，得出四边形ADCE为平行四边形，再证出AD⊥AE即可得出四边形ADCE为矩形．
（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出CD和AD长，则四边形ADCE的面积可求出；
（3）由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD＝DC即可
【解答】（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，
∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，
∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝2，
∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2=4；
（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
25、（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，
∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连结PO并延长交折
线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t(s)．
(1)当PQ与 ABCD的边垂直时，求PQ的长；
(2)当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由；
(3)当t取何值时，CQ所在直线恰好将 ABCD的面积分成1：3的两部分．
【答案】(1)PQ＝cm或2cm；(2)t＝秒；(3)t为1秒或秒.
【分析】(1)分当PQ⊥BC和当PQ⊥CD两种情况,利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论;
(2)当点P在BC边和当点P在CD上两种情况,利用矩形的性质即可得出结论;
(3)利用平行四边形的性质得出S△ABC＝S△ACD＝S ABCD,进而分当点Q在边AD上和点Q在边AB上利用三角形的中线的性质即可得出结论.
【详解】解：(1)当PQ⊥BC时，如图1，
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝4cm，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，AB＝2，AC＝2，
∵点O是AC的中点，∴OC＝AC＝，
在Rt△OPC中，OP＝OC＝，易知，△AOQ≌△COP，
∴OQ＝OP，∴PQ＝2OP＝cm，
当PQ⊥CD时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴点P与点C重合，点Q和点A重合，∴PQ＝AC＝2cm，
综上所述，当PQ与 ABCD的边垂直时，PQ＝cm或2cm．
(2)当点P在BC边时，如图2，
∵四边形APCQ是矩形，∴∠APC＝90°，
在Rt△ABP中，∠B＝60°，AB＝2cm，∴BP＝1cm，
∵动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，∴t＝1÷2＝秒，
当点P在CD上时，∵四边形AQCP是矩形，∴∠AQC＝90°，
∵∠BAC＝90°，由过点C垂直于AB的直线有且只有一条，得出此种情况不存在，
即：当t＝秒时，以点A，P，C，Q为顶点的四边形知矩形；
(3)∵AC是平行四边形ABCD的对角线，∴S△ABC＝S△ACD＝S ABCD，
∵CQ所在直线恰好将 ABCD的面积分成1：3的两部分，
∴当点Q在边AD上时，∴点Q是AD的中点，∴AQ＝AD，
易知，△AOQ≌△COP，∴CP＝AQ＝AD＝BC＝2，∴BP＝2，∴t＝2÷2＝1秒，
当点Q在边AB上时，同理：点P是CD的中点，∴t＝(4+1)÷2＝秒，
即：t为1秒或秒时，CQ将平行四边形ABCD的面积分成1：3两部分．
26、（2020春 遵义期末）如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB＝2时，求四边形ABED的面积；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB＝+1，求AF的长．
【点拨】（1）由正方形的性质得CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，再证明△DCE≌△BCE便可得DE＝BE；
（2）连接BD，根据两对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半，进行计算便可；
（3）过E作EM⊥BF，证明△BEF是等边三角形，设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝，得AM＝EM＝x，由AB＝+1，列出x的方程进行解答便可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE；
（2）如图①，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∴；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
由（1）知，△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EM＝，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAD＝45°，∴AM＝EM＝x，
∵AM+BM＝AB＝+1，∴x+x＝，解得，x＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝+1﹣1﹣1＝．
27、（2020秋 和平区校级月考）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BG＝　　；AG＝　　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长　 　．
【点拨】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得BG、AG的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；
（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG（AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；
②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．
【解析】BG、解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，BG＝，
∴AG＝；
故答案为：5；5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，由勾股定理得：KG＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+
综上，DE的长是或．
故答案为或．