2021—2022学年人教版数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质课后练习（Word版含答案）

第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 课后练习
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的点，且CE=2BE，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°；②AP=FP；③AE=AO；④若四边形OPEQ的面积为2，则该正方形的面积为36；⑤CE·EF=EQ·DE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG=(　 　)
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
3.如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为(　　)
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
6．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．4：3 D．4：7
7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC＝3，则DF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（ ）
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝3，则点F到BC的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
10．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
二、填空题
11．如图，在巾，，，，为对角线、的交点，是一条过点且绕点旋转的动直线，过点作于点．则点到直线的距离的最小值为________．
12．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______．
13．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝_____．
14．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________
15．如图，中，是的中线，点在线段上．若交于点，则_____．
三、解答题
16．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
17．如图，△ABC中，BC＝24cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF：EH＝4：3；
求矩形EFGH的周长．
18．如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)求∠ADE的度数．
19．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．
20．如图1，矩形中，，E、F分别在、上，四边形为菱形，P是边上的一动点．
（1）____，__；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，连接交于点M，当时，求的长．
21．如图，为的直径，弦于，连结，过点作交的切线于点，连结，分别交和于点，，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）判断与的数量关系并证明．
（3）若 ，求．
22．小波在复习相似三角形一章时，温故后进行了操作与拓展．请帮助他解决以下问题：
　　　
（1）小波想作出一个内接于最大正方形．如图1，在中，边上的高为4．他先在边上任取了一点，作出正方形，使在边上，在内，请你在及其内部，以点B为位似中心作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）．
（2）求（1）中作出的正方形的边长．
（3）在（2）的条件下，在射线上截取，连结（如图2）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
23．已知和，，连结．
感知：如图①，当点E在边上时，试判断线段之间的关系是_______．
探究：将图①中的绕点A旋转至如图②所示位置时，探究线段之间的关系，并说明理由；
应用：将图①中的绕点A旋转至与直线垂直，直线交直线于点F，若，请直接写出线段的长度．
【参考答案】
1．B2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．B 8．B 9．A 10．B
11．
12．4
13．4或
14．8
15．
16．证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
17．解：设AD与HG的交点为K，如图所示，
设厘米，厘米，则；
，
．
，即．
解得：；
，．
矩形的周长．
18．(1)证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，
∴∠ABD＝∠DCE＝90°．
∵AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6，
∴＝，＝．
∴＝．
∴△ABD∽△DCE；
(2)由（1）知，△ABD∽△DCE，则∠BAD＝∠EDC．
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°．
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．
20．证明：（1）
四边形是矩形，
，，∠B=90°，
∴AC=，
∵平行四边形是菱形，
∴AF=CF，
设AF=x，在Rt△ABF时， AF2=AB2+BF2，
∴x2=22+（4-x）2，解得 x=，
故答案为：，；
（2）如图，作点关于的对称点Q，连接EQ，交于点，此时的周长最小，
四边形是菱形，
由（2）知，
，
点，点Q关于对称，
，
，
故答案为：；
（3）如图，延长，延长交于点，过点作于，交于点，过点作于点，
由（2）可知，，，
，，
四边形是矩形
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．（1）∵，
∴，，
∵，∴，∴，
在与中，
∴，∴，
∵为切线，
∴，即，
∴，即，又∵在上，
∴是的切线．
（2）∵，，∴，
∴，∴，
∵，为直径，
∴（垂径定理），
∴，又∵，
∴, ∴，
∵为切线，
∴（弦切角定理），又∵，
∴，∴①，又∵，
由（1）得：，
∴②，
由①②得：，即：，又∵，
∴．
（3）∵，
∴设，，则，，，
由勾股定理得：，
由（2）得：，
∴
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得，
由（2）得：，
∴，即，
∴，∴．
22．（1）如图：正方形即为所求；
（2）如图：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵PQMN是正方形
∴AE=AD-ED=AD-PN
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，解得PN=;
（3）∠QEM=，证明如下：
证明：如图：
由，则可设MN=3k，BM=4k，则BN=5k，BQ=k，BE=2k，
∴
∴
∵∠QBE=∠EBM
∴△BQE∽△BEM
∴∠BEQ=∠BME
∵NE=NM
∴∠NEM=∠NME
∵∠BME+∠EMN=90°
∴∠BEQ+∠NEM=90°
∴∠QEM=90°．
23．（1），
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE (SAS)，
∴BD＝CE，BD⊥EC．
故答案为：BD＝CE，BD⊥EC．
（2）结论：．
如图1，延长线段CE交AB于点G，交BD点于H．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
即∠CAE+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD ≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BGH＝∠AGC,∠AGC+∠ACE＝∠BAC=90°
∴∠BGH+∠ABD＝90°
∴∠BHG＝90°，
∴BD⊥CE．
（3）或；
如图2所示，当DE在AB左边时，设CA延长线与DE交于点M，AB与CE交于点N，
∵DE与直线AC垂直，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC， AD=AE，AB=15，AD=，
∴DE=10，AM=ME=5， ∴CE=，
可证△ACN ∽△MCE，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∴，
再证△BFN ∽△CME，
得，
∴，
∴BF=；
如图3所示，当DE在AB右边时，设AC与DE交于点M，BA延长线与CE延长线交于点N，
∵DE与直线AC垂直，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC， AD=AE，AB=15，AD=，
∴DE=10，AM=ME=5，∴CE=，
可证△ACN ∽△MCE，
得，
∴，
∴，
∴，
再证△BFN ∽△CME，
得，
∴，
∴BF=．