7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案
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| 名称 | 7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 209.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:09:00 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
学习指导 核心素养
1.理解条件概率的概念，会用两种方法求条件概率．2．熟记条件概率的性质，能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 1.数学抽象：条件概率的概念、性质．2．数学运算、逻辑推理：条件概率的求法.
1．条件概率
条件 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记为 P(B|A)
读作 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率
计算公式 (1)事件个数法：P(B|A)＝(2)定义法：P(B|A)＝
2.概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
1．从集合的角度怎样看条件概率？
提示：从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB(如图)．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间．
2．P(A|B)和P(B|A)是否相同？
提示：不相同，一般情况下P(A|B)和P(B|A)不相等．
3．什么情况下P(B|A)＝P(B)
提示：当P(A)>0，事件A与事件B相互独立时P(B|A)＝P(B)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．( )
答案：(1)× (2)×
2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
3．(2021·广西北海市高二质检)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.在下雨条件下吹东风的概率为P＝＝，选C.
4．某种电子元件用满3 000 h不坏的概率为，用满8 000 h不坏的概率为.现有一只此种电子元件，用满了3 000 h不坏，还能用满8 000 h的概率是________．
解析：记事件A为“用满3 000 h不坏”，P(A)＝；记事件B为“用满8 000 h不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.
答案：
探究点1 求条件概率
角度一 利用定义求条件概率
[问题探究]
怎样判断所求概率是否为条件概率？
探究感悟：(1)若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．
(2)若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事件的概率时，也是条件概率．
例 有圆形零件100个，其中直径合格的有98个，光洁度合格的有96个，指标都合格的有94个，从这100个零件中，任意抽取1个．
(1)如果此零件的光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)．
(2)如果此零件的直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)．
【解】 设A＝“直径合格”，B＝“光洁度合格”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
(1)在光洁度合格的条件下直径也合格的概率是P(A|B)＝＝＝≈0.979.
(2)在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是P(B|A)＝＝＝≈0.959.
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)代入公式得P(B|A)＝.这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
(2021·山东模拟)小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是( )
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.5
解析：选A.设事件A表示“小智第一盘获胜”，则P(A)＝0.5，设事件B表示“小智第二盘获胜”，则P(AB)＝0.4，所以小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是P(B|A)＝＝＝0.8.
角度二 缩小样本空间求条件概率
[问题探究]
对于古典概型的条件概率，怎样从样本点的个数角度去求条件概率？
探究感悟：可利用缩小样本空间法求解．求P(B|A)时可将原来的样本空间缩小为事件A，原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB，再利用古典概型公式求解．
例 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从集合A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解】 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记为(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15种情况．在这15种情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P＝＝.
1．[变设问]本例条件不变，求乙抽到偶数的概率．
解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P＝＝.
2．[变条件]若甲先取(放回)，乙后取．若事件A为“甲抽到的数大于4”，事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解：甲抽到的数大于4的情形有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12种情况，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5，2)，(6，1)，共2种情况．所以P(B|A)＝＝.
可利用缩小样本空间法求条件概率
P(B|A)＝，这里的n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的样本空间而言的．
一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，进行不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．
解：将3个一等品编号为1，2，3，二等品编号为4，以(i，j)表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9个样本点，事件AB有6个样本点，P(B|A)＝＝＝.
探究点2 乘法公式的应用
例 (2021·山东临沂高二期末)气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.
【答案】 B
利用乘法公式的一般步骤
(1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0；
(2)根据已知条件表示出各事件的概率；
(3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出所求的概率．
(2021·湖南长沙市明德中学高二月考)有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：设A＝“种子发芽成功”，B＝“种子能成长为幼苗”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56.又B A，故P(B)＝P(AB)＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.
答案：0.56
探究点3 条件概率性质的应用
[问题探究]
怎样从概率的性质角度来理解条件概率的性质？
探究感悟：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．
例 在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
【解】 设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝，所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝，所以
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝，即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为.
利用条件概率性质解题的策略
(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(2)分解计算，代入求值：求较复杂事件的概率时，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的条件概率为.
当堂自测
1．某种灯泡的使用寿命为2 000小时的概率为0.85，超过2 500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2 000小时，那么它能使用超过2 500小时的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.记“灯泡的使用寿命为2 000小时”为事件A，“超过2 500小时”为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
2．将两颗骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6－5×5＝11，“两个点数不相同”则只有一个6点，共11－1＝10(种)，故P(A|B)＝.
3．一个医疗小队有3名男医生、4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是________．
解析：从3名男医生、4名女医生中抽出两个人，至少有一名男医生的种类数为CC＋C＝15，而抽出两个人都是男医生的种类数为C＝3，所以在已知一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是＝.
答案：
4．一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记“第一次抽到黑球”为事件A，“第二次抽到黑球”为事件B.则P(AB)＝________，P(B|A)＝________．
解析：由古典概型的概率公式可知，
P(A)＝，
P(AB)＝＝.
P(B|A)＝＝＝.
答案：
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第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
学习指导 核心素养
1.理解条件概率的概念，会用两种方法求条件概率．2．熟记条件概率的性质，能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 1.数学抽象：条件概率的概念、性质．2．数学运算、逻辑推理：条件概率的求法.
1．条件概率
条件 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记为 P(B|A)
读作 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率
计算公式 (1)事件个数法：P(B|A)＝(2)定义法：P(B|A)＝
2.概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
1．从集合的角度怎样看条件概率？
提示：从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB(如图)．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间．
2．P(A|B)和P(B|A)是否相同？
提示：不相同，一般情况下P(A|B)和P(B|A)不相等．
3．什么情况下P(B|A)＝P(B)
提示：当P(A)>0，事件A与事件B相互独立时P(B|A)＝P(B)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．( )
答案：(1)× (2)×
2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
3．(2021·广西北海市高二质检)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.在下雨条件下吹东风的概率为P＝＝，选C.
4．某种电子元件用满3 000 h不坏的概率为，用满8 000 h不坏的概率为.现有一只此种电子元件，用满了3 000 h不坏，还能用满8 000 h的概率是________．
解析：记事件A为“用满3 000 h不坏”，P(A)＝；记事件B为“用满8 000 h不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.
答案：
探究点1 求条件概率
角度一 利用定义求条件概率
[问题探究]
怎样判断所求概率是否为条件概率？
探究感悟：(1)若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．
(2)若题目中没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响了所求事件的概率时，也是条件概率．
例 有圆形零件100个，其中直径合格的有98个，光洁度合格的有96个，指标都合格的有94个，从这100个零件中，任意抽取1个．
(1)如果此零件的光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)．
(2)如果此零件的直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)．
【解】 设A＝“直径合格”，B＝“光洁度合格”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
(1)在光洁度合格的条件下直径也合格的概率是P(A|B)＝＝＝≈0.979.
(2)在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是P(B|A)＝＝＝≈0.959.
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)代入公式得P(B|A)＝.这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
(2021·山东模拟)小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是( )
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.5
解析：选A.设事件A表示“小智第一盘获胜”，则P(A)＝0.5，设事件B表示“小智第二盘获胜”，则P(AB)＝0.4，所以小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是P(B|A)＝＝＝0.8.
角度二 缩小样本空间求条件概率
[问题探究]
对于古典概型的条件概率，怎样从样本点的个数角度去求条件概率？
探究感悟：可利用缩小样本空间法求解．求P(B|A)时可将原来的样本空间缩小为事件A，原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB，再利用古典概型公式求解．
例 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从集合A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解】 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记为(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15种情况．在这15种情况中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P＝＝.
1．[变设问]本例条件不变，求乙抽到偶数的概率．
解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种情况，所以所求概率为P＝＝.
2．[变条件]若甲先取(放回)，乙后取．若事件A为“甲抽到的数大于4”，事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解：甲抽到的数大于4的情形有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12种情况，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5，2)，(6，1)，共2种情况．所以P(B|A)＝＝.
可利用缩小样本空间法求条件概率
P(B|A)＝，这里的n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的样本空间而言的．
一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，进行不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．
解：将3个一等品编号为1，2，3，二等品编号为4，以(i，j)表示第一次、第二次分别取得第i号、第j号产品，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9个样本点，事件AB有6个样本点，P(B|A)＝＝＝.
探究点2 乘法公式的应用
例 (2021·山东临沂高二期末)气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.
【答案】 B
利用乘法公式的一般步骤
(1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0；
(2)根据已知条件表示出各事件的概率；
(3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出所求的概率．
(2021·湖南长沙市明德中学高二月考)有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：设A＝“种子发芽成功”，B＝“种子能成长为幼苗”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56.又B A，故P(B)＝P(AB)＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.
答案：0.56
探究点3 条件概率性质的应用
[问题探究]
怎样从概率的性质角度来理解条件概率的性质？
探究感悟：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．
例 在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
【解】 设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝，所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝，所以
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝，即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为.
利用条件概率性质解题的策略
(1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(2)分解计算，代入求值：求较复杂事件的概率时，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的条件概率为.
当堂自测
1．某种灯泡的使用寿命为2 000小时的概率为0.85，超过2 500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2 000小时，那么它能使用超过2 500小时的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.记“灯泡的使用寿命为2 000小时”为事件A，“超过2 500小时”为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
2．将两颗骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6－5×5＝11，“两个点数不相同”则只有一个6点，共11－1＝10(种)，故P(A|B)＝.
3．一个医疗小队有3名男医生、4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是________．
解析：从3名男医生、4名女医生中抽出两个人，至少有一名男医生的种类数为CC＋C＝15，而抽出两个人都是男医生的种类数为C＝3，所以在已知一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是＝.
答案：
4．一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记“第一次抽到黑球”为事件A，“第二次抽到黑球”为事件B.则P(AB)＝________，P(B|A)＝________．
解析：由古典概型的概率公式可知，
P(A)＝，
P(AB)＝＝.
P(B|A)＝＝＝.
答案：
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