7.2 离散型随机变量及其分布列 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案
文档属性
| 名称 | 7.2 离散型随机变量及其分布列 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 221.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:10:36 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
学习指导 核心素养
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列. 1.数学抽象：离散型随机变量概念.2.数学运算、数学建模：求解离散型随机变量的分布列.
1.随机变量的概念及表示
随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量
离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量
表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列Ｗ.
(2)表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如下表)，还可以用图形表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.两点分布
X 0 1
P 1－p p
对于只有两个可能结果的随机试验，若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布.
1.离散型随机变量有什么特征？
提示：(1)可用数值表示.
(2)试验之前可以判断其出现的所有值.
(3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出.
2.离散型随机变量的分布列有什么作用？
提示：离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
3.怎样判断一个随机变量是否服从两点分布？
提示：随机变量X的取值只有两个结果：0或1，且其概率之和为1.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)广州某水文站观察到一天中珠江的水位X为离散型随机变量.( )
(2)如果ξ是一个离散型随机变量，那么ξ取每一个可能值的概率都是非负数.( )
(3)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.已知6件同类产品中有2件次品、4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )
A.取到的产品个数 B.取到的正品个数
C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
答案：B
3.已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A.P(X＜2)＝0.7 B.P(X≥2)＝0.6
C.P(X≥3)＝0.3 D.P(X≤1)＝0.2
解析：选C.易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3.
探究点1 随机变量的概念
[问题探究]
随机变量有何作用？怎样区分离散型随机变量与连续型随机变量？
探究感悟：随机变量有利于我们简洁地表示随机事件，如果一个随机变量的所有取值可以一一列出，则此变量是离散型随机变量；否则即为连续型随机变量.
例 (1)(多选)抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是( )
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
(2)(2021·湖南长沙市长郡中学高二月考)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“ξ>4”表示试验的结果为( )
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为4点，第二枚为1点
【解析】 (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故B正确.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.
(2)由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6－1＝5，而ξ>4只有一种情况，即ξ＝5，此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选C.
【答案】 (1)ACD (2)C
解决用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析：选AB.A.只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.B.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.C.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.D.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
探究点2 离散型随机变量的分布列
[问题探究]
离散型随机变量的分布列怎样表示？
探究感悟：(1)定义表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
(2)表格表示
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)图形表示
例 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【解】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
P(X＝1)＝eq \f(C,C)＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率为P＝eq \f(CC＋CC,C)＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，则
P(Y＝0)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝10)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝20)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝50)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝60)＝eq \f(CC,C)＝＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).
(3)写出分布列.
为了参加亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别 北京 上海 天津 八一
人数 4 6 3 5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝eq \f(C＋C＋C＋C,C)＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
因为P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
探究点3 两点分布的应用
[问题探究]
两点分布适用于研究哪些随机试验？
探究感悟：两点分布适用于研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，如购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中等问题.
例 一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，设η＝求η的分布列.
【解】 (1)由题意知，
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(C,C)＝，
所以X的分布列为
X 0 1
P
(2)由题意知，P(η＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(η＝1)＝1－P(η＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P(η＝1)＝\f(CC＋C,C)＝\f(6,7)))，
所以η的分布列为
η 0 1
P
求两点分布的概率的技巧
在求两点分布的概率时，可以只求X＝0或X＝1中的一个的概率，再利用概率和为1求出另一个的概率.
(2021·宁夏银川二中高二期末考试)下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
解析：选A.由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
当堂自测
1.(多选)下列变量是离散型随机变量的是( )
A.某高速公路上某收费站1小时内经过的车辆数X
B.一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量
C.某网站1小时内的点击量
D.一天内的温度η
解析：选AC.A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出.B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出.C是，1小时内网站的访问次数可一一列出.D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出.
2.(多选)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ＝4}包含的随机试验的结果有( )
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.2枚中必有1枚是4点
解析：选BC.由题意得，抛掷2枚骰子，{ξ＝4}表示掷出的1枚是1点，另1枚是3点或者2枚都是2点，故选BC.
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝ .
解析：设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(ξ＝0)＝1－p＝.
答案：
4.设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，若P(ξ＜x)＝，则x的取值范围是 .
解析：依题意知，ξ的分布列为
ξ 5 6 7 … 16
P …
由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝.
故x∈(5，6].
答案：(5，6]
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第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
学习指导 核心素养
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列. 1.数学抽象：离散型随机变量概念.2.数学运算、数学建模：求解离散型随机变量的分布列.
1.随机变量的概念及表示
随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量
离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量
表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列Ｗ.
(2)表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如下表)，还可以用图形表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.两点分布
X 0 1
P 1－p p
对于只有两个可能结果的随机试验，若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布.
1.离散型随机变量有什么特征？
提示：(1)可用数值表示.
(2)试验之前可以判断其出现的所有值.
(3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出.
2.离散型随机变量的分布列有什么作用？
提示：离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
3.怎样判断一个随机变量是否服从两点分布？
提示：随机变量X的取值只有两个结果：0或1，且其概率之和为1.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)广州某水文站观察到一天中珠江的水位X为离散型随机变量.( )
(2)如果ξ是一个离散型随机变量，那么ξ取每一个可能值的概率都是非负数.( )
(3)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.已知6件同类产品中有2件次品、4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )
A.取到的产品个数 B.取到的正品个数
C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
答案：B
3.已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A.P(X＜2)＝0.7 B.P(X≥2)＝0.6
C.P(X≥3)＝0.3 D.P(X≤1)＝0.2
解析：选C.易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3.
探究点1 随机变量的概念
[问题探究]
随机变量有何作用？怎样区分离散型随机变量与连续型随机变量？
探究感悟：随机变量有利于我们简洁地表示随机事件，如果一个随机变量的所有取值可以一一列出，则此变量是离散型随机变量；否则即为连续型随机变量.
例 (1)(多选)抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是( )
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
(2)(2021·湖南长沙市长郡中学高二月考)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“ξ>4”表示试验的结果为( )
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为4点，第二枚为1点
【解析】 (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故B正确.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.
(2)由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6－1＝5，而ξ>4只有一种情况，即ξ＝5，此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选C.
【答案】 (1)ACD (2)C
解决用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析：选AB.A.只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.B.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.C.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.D.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
探究点2 离散型随机变量的分布列
[问题探究]
离散型随机变量的分布列怎样表示？
探究感悟：(1)定义表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
(2)表格表示
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)图形表示
例 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【解】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
P(X＝1)＝eq \f(C,C)＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率为P＝eq \f(CC＋CC,C)＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，则
P(Y＝0)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝10)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝20)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝50)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(Y＝60)＝eq \f(CC,C)＝＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).
(3)写出分布列.
为了参加亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别 北京 上海 天津 八一
人数 4 6 3 5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝eq \f(C＋C＋C＋C,C)＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
因为P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
探究点3 两点分布的应用
[问题探究]
两点分布适用于研究哪些随机试验？
探究感悟：两点分布适用于研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，如购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中等问题.
例 一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，设η＝求η的分布列.
【解】 (1)由题意知，
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(C,C)＝，
所以X的分布列为
X 0 1
P
(2)由题意知，P(η＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(η＝1)＝1－P(η＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P(η＝1)＝\f(CC＋C,C)＝\f(6,7)))，
所以η的分布列为
η 0 1
P
求两点分布的概率的技巧
在求两点分布的概率时，可以只求X＝0或X＝1中的一个的概率，再利用概率和为1求出另一个的概率.
(2021·宁夏银川二中高二期末考试)下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
解析：选A.由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
当堂自测
1.(多选)下列变量是离散型随机变量的是( )
A.某高速公路上某收费站1小时内经过的车辆数X
B.一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量
C.某网站1小时内的点击量
D.一天内的温度η
解析：选AC.A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出.B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出.C是，1小时内网站的访问次数可一一列出.D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出.
2.(多选)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么{ξ＝4}包含的随机试验的结果有( )
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.2枚中必有1枚是4点
解析：选BC.由题意得，抛掷2枚骰子，{ξ＝4}表示掷出的1枚是1点，另1枚是3点或者2枚都是2点，故选BC.
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝ .
解析：设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(ξ＝0)＝1－p＝.
答案：
4.设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，若P(ξ＜x)＝，则x的取值范围是 .
解析：依题意知，ξ的分布列为
ξ 5 6 7 … 16
P …
由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝.
故x∈(5，6].
答案：(5，6]
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