7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案

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第七章 随机变量及其分布
7.3.2　离散型随机变量的方差
学习指导 核心素养
1.理解并会计算离散型随机变量的方差.2.能利用方差的意义分析解决实际问题. 1.数学抽象、数学运算：方差的理解和计算.2.数学建模：方差的实际应用.
1.方差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的
方差，有时也记为Var(X).
2.标准差
称为随机变量X的标准差，记为σ(X).
3.方差的性质
(1)D(X＋b)＝D(X)；
(2)D(aX)＝a2D(X)；
(3)D(aX＋b)＝a2D(X).
1.离散型随机变量的方差有什么作用？
提示：方差可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
2.标准差和方差有单位吗？
提示：标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　)
(2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(　　)
(4)若a，b为常数，则＝a.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.已知X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
则D(X)的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案：C
3.(2021·工农区校级期末)已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P p 1－p
若D(X)＝(0A. B. C. D.
解析：选A.由随机变量X的分布列，知E(X)＝1－p，
所以D(X)＝(p－1)2·p＋p2·(1－p)＝，
解得p＝.
4.已知X的分布列如下：
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝　　　　.
答案：
探究点1　求离散型随机变量的方差
[问题探究]
随机变量的方差和样本方差有什么关系？
探究感悟：随机变量的方差是常数，而样本的方差随着样本的不同而变化；随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近总体的方差，因此常用样本方差估计总体的方差.
例 已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
【解】　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)方法一：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
方法二：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，并求出随机变量取各个值的概率.
(2)写出分布列.
(3)利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出随机变量的期望E(X).
(4)代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X).　
1.(2021·浙江杭州第四中学高三期中)设0X 0 a 1
P
若D(X)＝，则a＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A.E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＋×＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2]＝(a2－a＋1)＝，所以4a2－4a＋4＝3，即(2a－1)2＝0，解得a＝.故选A.
2.(2021·江西宜春高二期末)随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　)
A.a＝10，b＝3 B.a＝3，b＝10
C.a＝5，b＝6 D.a＝6，b＝5
解析：选C.因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.
因为E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，
解得a＝5，b＝6，故选C.
3.设0ξ －1 0 1
P a b
则当a在内增大时，(　　)
A.E(ξ)增大，D(ξ)增大
B.E(ξ)增大，D(ξ)减小
C.E(ξ)减小，D(ξ)增大
D.E(ξ)减小，D(ξ)减小
解析：选D.方法一：已知a＋b＝，所以b＝－a，
所以E(ξ)＝－＋b＝－a，
所以D(ξ)＝(－1＋a)2×＋a2×a＋(1＋a)2
＝－＋，
所以a在内增大时E(ξ)减小，D(ξ)减少.
方法二：当a在内增大时，b减小，数据分布整体变小，数据更集中，所以E(ξ)减小，D(ξ)减小.
探究点2　方差在决策问题的应用
[问题探究]
方差对决策性问题有什么作用？
探究感悟：方差可以说明随机变量取值的离散程度，利用均值和方差的实际应用可以分析、解决实际问题.
例 (2021·广东揭阳高二期末)某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【解】　(1)依题意，得＋＋a＝1，所以a＝.
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
由分布列得E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2.
又b＋c＝1，解得b＝，c＝.所以a＝，b＝，c＝.
(2)选择项目B.理由如下：
当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
利用均值和方差解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.　
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.
解：(1)由离散型随机变量分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
解得a＝0.3.
同理，0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.
(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
当堂自测
1.已知随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　)
ξ 0 1 x
P p
A.0.36　　　　　　　　　 B.0.52
C.0.49 D.0.68
解析：选C.先由随机变量分布列的性质解得p＝.由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
2.(2021·浙江模拟)已知随机变量X的分布列如表：
X 0 a 2
P p
则当a在(0，1)内增大时，(　　)
A.D(X)减小 B.D(X)增大
C.D(X)先减小后增大 D.D(X)先增大后减小
解析：选A.由分布列的性质可得＋p＋＝1，可得p＝，所以E(X)＝a＋，所以D(X)＝×＋×＋×＝a2－a＋＝＋，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)减小.
3.(2021·江苏江阴一中高二期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.若E(X)＝0，D(X)＝1，则a－b的值为　　　　.
X －1 0 1 2
P a b c
解析：由题知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，
解得a＝，b＝.
则a－b＝－＝.
答案：
4.已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)＝　　　　.
解析：因为X的取值为0，1，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝＋×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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