7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案
文档属性
| 名称 | 7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 207.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:17:37 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第七章 随机变量及其分布
7.4.2 超几何分布
学习指导 核心素养
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 数学抽象、数学建模：超几何分布的概念及应用.
1.超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
2.超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np.
1.怎样判断一个变量是否服从超几何分布
提示：根据超几何分布的以下三个特征进行判断：
①总体中含有两类不同的个体；
②不放回地抽取，且无先后顺序；
③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
2.超几何分布与二项分布有什么联系？
提示：超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似表示.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)超几何分布是不放回抽样.( )
(2)超几何分布的总体是只有两类物品.( )
(3)超几何分布与二项分布的均值相同.( )
(4)超几何分布与二项分布没有任何联系.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.取出的红球服从超几何分布，故P＝eq \f(C·C,C)＝.
3.15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A.N＝15，M＝7，n＝10
B.N＝15，M＝10，n＝7
C.N＝22，M＝10，n＝7
D.N＝22，M＝7，n＝10
解析：选A.由超几何分布的概念可知A正确.
4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝ ，随机变量X的均值E(X)＝ .
解析：X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝＋＝，
E(X)＝＝0.6.
答案： 0.6
探究点1 超几何分布的辨析
例 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
超几何分布的判定
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生与女生、正品与次品、优与劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.
(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，如下几种变量中服从超几何分布的是( )
A.X表示取出的球的最大号码
B.Y表示取出的球的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分
D.η表示取出的黑球个数
解析：选CD. 由超几何分布的概念及计算公式知A，B中变量不服从超几何分布.C中ξ和球的颜色有关，可分为固定数目的两类，且ξ的取值为4，5，6，7，8，故服从超几何分布；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0，1，2，3，4，故服从超几何分布.
探究点2 超几何分布的概率和均值
例 (1)(2021·江苏扬州高二期末)一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)＝( )
A.eq \f(CC,C)
B.eq \f(C＋C,C)
C.eq \f(CC＋CC,C)
D.eq \f((C＋C)·(C＋C),C)
(2)(2021·浙江杭州第十四中学高三月考)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为 ；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E(X)＝ .
【解析】 (1)由题意可知X，Y服从超几何分布，P(X＝2)＝eq \f(CC,C)，P(Y＝2)＝eq \f(CC,C)，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq \f(CC＋CC,C).故选C.
(2)依题意，得甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝＋＝.
由于P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，
故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.
【答案】 (1)C (2) 3
超几何分布的概率和均值计算要点
(1)验证随机变量服从超几何分布.并确定参数N，M，n的值；
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)利用均值公式求解.
1.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 .
解析：从10件产品任取3件的取法共有C种，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为CC，C.因此所求的概率为P＝eq \f(CC＋C,C)＝.
答案：
2.(2021·辽宁铁岭高二期末)从一批含有13个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一个，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝ .
解析：抽取的次品数ξ满足超几何分布，故P(ξ＝k)＝eq \f(CC,C)，故P(ξ＝0)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(CC,C)＝，故期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝3.
答案：3
探究点3 超几何分布的综合应用
[问题探究]
实际问题中，有哪些可应用超几何分布？
探究感悟：超几何分布常应用在产品合格、球盒取球(两色)、男女生选举等问题上，这类问题的共同特征是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质.
例 (2021·天津高二期中)某校选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解】 (1)由已知有P(A)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝eq \f(CC,C)(k＝1，2，3，4)，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望为
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
利用超几何分布的知识解决与概率相关的问题，关键是将实际问题转化为超几何分布的模型.在利用超几何分布的模型时，将实际背景与超几何分布的模型相比较，认清实质，可将问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析.
某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示：
A小区 “低碳族” “非低碳族”
比例
在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列.
解：在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题可知，X服从超几何分布.
则P(X＝0)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
当堂自测
1.(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
解析：选ACD.由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
2.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的.从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＝.
3.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝ .
解析：E(ξ)＝＝.
答案：
4.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的概率为eq \f(CC,C).
解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出从5名“三好学生”中选取了3名.
答案：3
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第七章 随机变量及其分布
7.4.2 超几何分布
学习指导 核心素养
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 数学抽象、数学建模：超几何分布的概念及应用.
1.超几何分布的概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
2.超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np.
1.怎样判断一个变量是否服从超几何分布
提示：根据超几何分布的以下三个特征进行判断：
①总体中含有两类不同的个体；
②不放回地抽取，且无先后顺序；
③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
2.超几何分布与二项分布有什么联系？
提示：超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似表示.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)超几何分布是不放回抽样.( )
(2)超几何分布的总体是只有两类物品.( )
(3)超几何分布与二项分布的均值相同.( )
(4)超几何分布与二项分布没有任何联系.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.取出的红球服从超几何分布，故P＝eq \f(C·C,C)＝.
3.15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A.N＝15，M＝7，n＝10
B.N＝15，M＝10，n＝7
C.N＝22，M＝10，n＝7
D.N＝22，M＝7，n＝10
解析：选A.由超几何分布的概念可知A正确.
4.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝ ，随机变量X的均值E(X)＝ .
解析：X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝＋＝，
E(X)＝＝0.6.
答案： 0.6
探究点1 超几何分布的辨析
例 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
超几何分布的判定
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生与女生、正品与次品、优与劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.
(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，如下几种变量中服从超几何分布的是( )
A.X表示取出的球的最大号码
B.Y表示取出的球的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分
D.η表示取出的黑球个数
解析：选CD. 由超几何分布的概念及计算公式知A，B中变量不服从超几何分布.C中ξ和球的颜色有关，可分为固定数目的两类，且ξ的取值为4，5，6，7，8，故服从超几何分布；D中η和黑球的个数有关，球根据颜色可以分成固定数目的两类，且η的取值为0，1，2，3，4，故服从超几何分布.
探究点2 超几何分布的概率和均值
例 (1)(2021·江苏扬州高二期末)一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)＝( )
A.eq \f(CC,C)
B.eq \f(C＋C,C)
C.eq \f(CC＋CC,C)
D.eq \f((C＋C)·(C＋C),C)
(2)(2021·浙江杭州第十四中学高三月考)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为 ；记甲答对试题的个数为X，则X的数学期望E(X)＝ .
【解析】 (1)由题意可知X，Y服从超几何分布，P(X＝2)＝eq \f(CC,C)，P(Y＝2)＝eq \f(CC,C)，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝eq \f(CC＋CC,C).故选C.
(2)依题意，得甲能通过的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝＋＝.
由于P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，
故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.
【答案】 (1)C (2) 3
超几何分布的概率和均值计算要点
(1)验证随机变量服从超几何分布.并确定参数N，M，n的值；
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)利用均值公式求解.
1.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 .
解析：从10件产品任取3件的取法共有C种，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为CC，C.因此所求的概率为P＝eq \f(CC＋C,C)＝.
答案：
2.(2021·辽宁铁岭高二期末)从一批含有13个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一个，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝ .
解析：抽取的次品数ξ满足超几何分布，故P(ξ＝k)＝eq \f(CC,C)，故P(ξ＝0)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(CC,C)＝，故期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝3.
答案：3
探究点3 超几何分布的综合应用
[问题探究]
实际问题中，有哪些可应用超几何分布？
探究感悟：超几何分布常应用在产品合格、球盒取球(两色)、男女生选举等问题上，这类问题的共同特征是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质.
例 (2021·天津高二期中)某校选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名；高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解】 (1)由已知有P(A)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝eq \f(CC,C)(k＝1，2，3，4)，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量X的数学期望为
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
利用超几何分布的知识解决与概率相关的问题，关键是将实际问题转化为超几何分布的模型.在利用超几何分布的模型时，将实际背景与超几何分布的模型相比较，认清实质，可将问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析.
某班同学利用寒假对A小区的居民进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两类人数各占A小区总人数的比例如下表所示：
A小区 “低碳族” “非低碳族”
比例
在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列.
解：在A小区随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题可知，X服从超几何分布.
则P(X＝0)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
当堂自测
1.(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
解析：选ACD.由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
2.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的.从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＝.
3.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝ .
解析：E(ξ)＝＝.
答案：
4.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的概率为eq \f(CC,C).
解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出从5名“三好学生”中选取了3名.
答案：3
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)