2021-2022学年人教版九年级下册数学27.2.1相似三角形的判定同步测试（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级下册数学27.2.1相似三角形的判定同步测试（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 434.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-19 21:19:24 | ||
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文档简介
27.2.1相似三角形的判定 同步测试
一．选择题
1.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A. :1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1
2．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆
4．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
5.下列说法中，错误的是( )
A． 两个全等三角形一定是相似三角形
B． 两个等腰三角形一定相似
C． 两个等边三角形一定相似
D． 两个等腰直角三角形一定相似
6.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )
A． 一定不相似
B． 不一定相似
C． 一定相似
D． 不能确定
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
8.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
A． 只有(1)相似
B． 只有(2)相似
C． 都相似
D． 都不相似
9.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )
A． 1条
B． 2条
C． 3条
D． 4条
10.如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A． 2.5秒
B． 4.5秒
C． 2.5秒或4.5秒
D． 2.5秒或4秒
二．填空题
11．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有__对相似三角形．（不添加任何辅助线）
13．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．
14．如图，已知，，、交于，，，，则________．
15．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝ ．
三．解答题
16.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.
(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)求证：△ABG∽△CFG.
17.如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图(1)，然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图(2)，M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图(3)，请解答下列问题：
(1)在图(2)中，线段BD与线段CE的大小关系是____________；
(2)在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论．
18.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
20．如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．
21．已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）点是线段上一个动点．
①如图1，设，当为何值时，有．
②如图2，若，求出点的坐标．
22．如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求弦的长．
参考答案
1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．D
11．∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
12．3
13．①②
14．6
15．2或．
16.【答案】证明 (1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF；
(2)延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG.
【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
17.【答案】解 (1)BD＝CE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在图(1)中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，
∴如图(2)，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD＝CE；
(2)△AMN与△ABC相似．
证明：∵M、N分别是BD、CE的中点，
∴EN＝CE，DM＝BD，
∵BD＝CE，
∴EN＝DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN＝∠ADM，
在△ADM和△AEN中，
∴△ADM≌△AEN(SAS)，
∴AM＝AN，∠MAD＝∠NAE，
∴∠MAN＝∠DAE＝60°，
∴△AMN也是等边三角形，
∴△AMN∽△ABC.
【解析】(1)由在等边中△ABC，DE∥BC，易证得△ADE也是等边三角形，然后利用SAS，证得△BAD≌△CAE，即可得BD＝CE；
(2)由△BAD≌△CAE，可得∠AEN＝∠ADM，又由M、N分别是BD、CE的中点，易得EN＝DM，然后根据SAS证得△ADM≌△AEN，即可得AM＝AN，∠MAN＝60°，判定△AMN是等边三角形，即可得在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形．
18.【答案】(1)证明 ∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
(2)解 △AMC∽△DMP.
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
又∵∠AMC＝∠DMP，
∴△AMC∽△DMP.
【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；
由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．
19.【答案】解 (1)连接OA，
∵AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，
∴OA垂直平分BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
(2)∵AB＝AC，
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DEA＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DEA.
【解析】(1)连接OA，根据AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，可得OA垂直平分BC，根据四边形ABCD是平行四边形，得OA⊥AD，即AD是⊙O的切线；
(2)根据AB＝AC，∠DEA＝∠BCA，再由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，从而得出∠DEA＝∠DAC，可证△DAC∽△DEA.
20.【答案】解 乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE＝∠ABC，
又∵∠E＝∠C，
∴△GFE∽△ABC.
【解析】直接利用相似三角形判定定理得出△GFE∽△ABC即可．
21．解：抛物线过点，
解得:
抛物线解析式为；
顶点的坐标为；
在中，，
，
，
，
，
为直角三角形，且
为的中点，
在中，
在中，
连接 当时，，
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
解得:
22．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠ACB=2∠DBC，
∵∠DBC=∠EAC，
∴∠ACB=2∠EAC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠EAC，
∴∠EAC=∠EAB，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为圆的切线．
（3）在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=5，BE=3，
∴
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴．
一．选择题
1.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A. :1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1
2．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
3．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆
4．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度 B．各内角的度数
C．五边形的周长 D．五边形的面积
5.下列说法中，错误的是( )
A． 两个全等三角形一定是相似三角形
B． 两个等腰三角形一定相似
C． 两个等边三角形一定相似
D． 两个等腰直角三角形一定相似
6.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )
A． 一定不相似
B． 不一定相似
C． 一定相似
D． 不能确定
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
8.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )
A． 只有(1)相似
B． 只有(2)相似
C． 都相似
D． 都不相似
9.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )
A． 1条
B． 2条
C． 3条
D． 4条
10.如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A． 2.5秒
B． 4.5秒
C． 2.5秒或4.5秒
D． 2.5秒或4秒
二．填空题
11．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有__对相似三角形．（不添加任何辅助线）
13．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．
14．如图，已知，，、交于，，，，则________．
15．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝ ．
三．解答题
16.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.
(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)求证：△ABG∽△CFG.
17.如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图(1)，然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图(2)，M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图(3)，请解答下列问题：
(1)在图(2)中，线段BD与线段CE的大小关系是____________；
(2)在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论．
18.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
20．如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．
21．已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）点是线段上一个动点．
①如图1，设，当为何值时，有．
②如图2，若，求出点的坐标．
22．如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求弦的长．
参考答案
1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．D
11．∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
12．3
13．①②
14．6
15．2或．
16.【答案】证明 (1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF；
(2)延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG.
【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
17.【答案】解 (1)BD＝CE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在图(1)中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，
∴如图(2)，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD＝CE；
(2)△AMN与△ABC相似．
证明：∵M、N分别是BD、CE的中点，
∴EN＝CE，DM＝BD，
∵BD＝CE，
∴EN＝DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN＝∠ADM，
在△ADM和△AEN中，
∴△ADM≌△AEN(SAS)，
∴AM＝AN，∠MAD＝∠NAE，
∴∠MAN＝∠DAE＝60°，
∴△AMN也是等边三角形，
∴△AMN∽△ABC.
【解析】(1)由在等边中△ABC，DE∥BC，易证得△ADE也是等边三角形，然后利用SAS，证得△BAD≌△CAE，即可得BD＝CE；
(2)由△BAD≌△CAE，可得∠AEN＝∠ADM，又由M、N分别是BD、CE的中点，易得EN＝DM，然后根据SAS证得△ADM≌△AEN，即可得AM＝AN，∠MAN＝60°，判定△AMN是等边三角形，即可得在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形．
18.【答案】(1)证明 ∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
(2)解 △AMC∽△DMP.
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
又∵∠AMC＝∠DMP，
∴△AMC∽△DMP.
【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；
由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．
19.【答案】解 (1)连接OA，
∵AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，
∴OA垂直平分BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
(2)∵AB＝AC，
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DEA＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DEA.
【解析】(1)连接OA，根据AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，可得OA垂直平分BC，根据四边形ABCD是平行四边形，得OA⊥AD，即AD是⊙O的切线；
(2)根据AB＝AC，∠DEA＝∠BCA，再由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，从而得出∠DEA＝∠DAC，可证△DAC∽△DEA.
20.【答案】解 乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE＝∠ABC，
又∵∠E＝∠C，
∴△GFE∽△ABC.
【解析】直接利用相似三角形判定定理得出△GFE∽△ABC即可．
21．解：抛物线过点，
解得:
抛物线解析式为；
顶点的坐标为；
在中，，
，
，
，
，
为直角三角形，且
为的中点，
在中，
在中，
连接 当时，，
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
解得:
22．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠ACB=2∠DBC，
∵∠DBC=∠EAC，
∴∠ACB=2∠EAC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠EAC，
∴∠EAC=∠EAB，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为圆的切线．
（3）在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=5，BE=3，
∴
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴．