2021—2022学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定课后练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定课后练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 482.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-19 21:19:25 | ||
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文档简介
27.2.1相似三角形的判定 课后练习一
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
3．如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
4．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是( )
A．△AED∽△BEC B．∠AEB＝90° C．∠BDA＝45° D．图中全等的三角形共2对
6．如图，已知在中，BC=3，AB=4，，E为线段BC上任意一点，连接AE并延长与DC交于点G，若BE=2EC，则AE的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
10．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
二、填空题
11．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
12．△ABC的三边长为，，2，△A'B'C'的两边长为1，，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A'B'C'的第三条边长是 ．
13．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
15．如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，
则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；②；
③；④的最大值是14．
其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
17．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)求证：△DAC∽△DEA.
20.甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC.”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【参考答案】
1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．C 10．C
11．或．
12．．
13．（﹣1，0）或者（1，0）．
14．3．
15．①③
16．证明：∵EF DF＝CF BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
17．证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝，
即，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，
∵，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE．
18．解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝＝8（cm）．
由运动可知：BQ＝x（cm），PA＝2x（cm），
∴PB＝（8﹣2x）cm．
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x＝．
∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．
当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：8＝x：6，解得x＝，
当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：6＝x：8，解得x＝，
综上所述，满足条件的x的值为或．
19．（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
20．（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP ，DE=PD
∴BG＝DE ．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴ AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4， BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
21（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∵点A（-1，0）、C（2，3）在直线AC上，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+1.
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线y=-x2+2x+3图象上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
如图，过点P作PH//AC，
∵平行线间的距离相等，
∴S△ACP＝S△CAN，
设直线NP的解析式为y=kx+a，
∴k=1，
把N（0，3）代入得a=3，
∴直线NP的解析式为y=x+3，
联立直线NP与抛物线解析式得，
解得：或（舍去），
∴P（1，4）.
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，
∵∠PCK+∠CPK＝90°，
∴∠APS＝∠PCK，
∴△APS∽△PCK，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∵＞2，
∴t＝，
∴﹣t2+2t+3=，
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴B（1，2），BD＝2，
∵点E在直线AC上，AC解析式为y=x+1，
∴设点E（m，m+1），
∵B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BD，BD为抛物线对称轴，
∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，
∴，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
3．如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
4．如图所示，点A、B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是( )
A．△AED∽△BEC B．∠AEB＝90° C．∠BDA＝45° D．图中全等的三角形共2对
6．如图，已知在中，BC=3，AB=4，，E为线段BC上任意一点，连接AE并延长与DC交于点G，若BE=2EC，则AE的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
10．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
二、填空题
11．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
12．△ABC的三边长为，，2，△A'B'C'的两边长为1，，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A'B'C'的第三条边长是 ．
13．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
15．如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，
则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；②；
③；④的最大值是14．
其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF DF＝CF BF．求证：△CAB∽△DAE．
17．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)求证：△DAC∽△DEA.
20.甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC.”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【参考答案】
1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．C 10．C
11．或．
12．．
13．（﹣1，0）或者（1，0）．
14．3．
15．①③
16．证明：∵EF DF＝CF BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
17．证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝，
即，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，
∵，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE．
18．解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝＝8（cm）．
由运动可知：BQ＝x（cm），PA＝2x（cm），
∴PB＝（8﹣2x）cm．
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x＝．
∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．
当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：8＝x：6，解得x＝，
当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：6＝x：8，解得x＝，
综上所述，满足条件的x的值为或．
19．（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
20．（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP ，DE=PD
∴BG＝DE ．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴ AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4， BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
21（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∵点A（-1，0）、C（2，3）在直线AC上，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+1.
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线y=-x2+2x+3图象上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
如图，过点P作PH//AC，
∵平行线间的距离相等，
∴S△ACP＝S△CAN，
设直线NP的解析式为y=kx+a，
∴k=1，
把N（0，3）代入得a=3，
∴直线NP的解析式为y=x+3，
联立直线NP与抛物线解析式得，
解得：或（舍去），
∴P（1，4）.
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，
∵∠PCK+∠CPK＝90°，
∴∠APS＝∠PCK，
∴△APS∽△PCK，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∵＞2，
∴t＝，
∴﹣t2+2t+3=，
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴B（1，2），BD＝2，
∵点E在直线AC上，AC解析式为y=x+1，
∴设点E（m，m+1），
∵B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BD，BD为抛物线对称轴，
∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，
∴，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．