8.2 一元线性回归模型及其应用 第八章 成对数据的统计分析 人教A版选择性必修第三册 学案
文档属性
| 名称 | 8.2 一元线性回归模型及其应用 第八章 成对数据的统计分析 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 489.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:29:54 | ||
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文档简介
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第八章 成对数据的统计分析
8．2 一元线性回归模型及其应用
学习指导 核心素养
1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．2．了解最小二乘原理，掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计，会使用相关的统计软件，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 1.数学抽象：一元线性回归模型．2．数学建模、数学运算：一元线性回归模型参数的最小二乘估计．
1．一元线性回归模型
我们称此关系式为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述．
2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计
(1)经验回归方程与最小二乘估计
我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中
(2)观测值、预测值、残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
(3)用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为R2＝1－ .R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差；R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
1．在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，随机误差e产生的原因有哪些？
提示：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
(2)忽略了某些因素的影响；
(3)存在观测误差．
2．经验回归直线一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？
提示：不一定．经验回归直线过(，)，不一定过样本数据中的某一点．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于方程＝x＋，x增加一个单位时，y平均增加个单位．( )
(2)残差是随机误差的估计结果．( )
(3)利用经验回归方程求出的值是准确值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm) 具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线过点(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加 0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选ABC.由经验回归方程为＝0.85x－85.71，知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；由最小二乘法建立经验回归方程的过程知＝x＋＝x＋－ (＝－)，所以经验回归直线过点(，)，故B正确；利用经验回归方程可以估计因变量，但是个预测值，故C正确，D不正确．
3．为研究两个变量之间的关系，选择了4个不同的模型进行拟合，计算得它们的决定系数R2，其中拟合效果最好的模型是( )
A．决定系数R2为0.96
B．决定系数R2为0.75
C．决定系数R2为0.52
D．决定系数R2为0.34
解析：选A.决定系数R2越大、越趋近于1，拟合效果越好．
4．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y关于x的经验回归方程为＝x＋1，则＝________．
解析：＝＝2，
＝＝2.6，
将(2，2.6)代入＝x＋1，解得＝0.8.
答案：0.8
探究点1 经验回归方程
[问题探究]
利用经验回归方程进行预测所得值精确吗？
探究感悟：(1)所得的值只是一个估计值，不是精确值；
(2)变量x与y成线性相关关系时，经验回归方程才有意义，否则即使求出经验回归方程，也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信、无价值的．
例 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间的一组观察值如表.
x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出散点图；
(2)求y关于x的经验回归方程；
(3)利用经验回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少．
【解】 (1)散点图如图所示，
(2)从散点图中，我们可以看出样本点分布在一条直线附近，因而求经验回归方程有意义．
＝(5＋10＋15＋…＋120)＝，
＝(6＋10＋10＋…＋46)＝，
＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46＝13 910，
＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750，
所以＝
＝－＝－0.304×＝5.36.
故腐蚀深度y关于腐蚀时间x的经验回归方程为＝0.304x＋5.36.
(3)根据(2)求得的经验回归方程，当腐蚀时间为100 s时，＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度为约35.76 μm.
求经验回归方程的步骤
(1)计算平均数，.
(2)计算xi与yi的积，求
(3)计算
(4)将结果代入公式＝求.
(5)用＝－，求.
(6)写出经验回归方程.
(2021·成都七中期中)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2016 2017 2018 2019 2020
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 015， z＝y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程；
(3)用所求经验回归方程预测到2022年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？
解：(1) ＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，则＝＝1.2，
＝－＝2.2 －1.2×3＝－1.4.
所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4.
(2)＝1.2t－1.4，代入t＝x－2 015，z＝y－5，
得－5＝1.2(x－2 015)－1.4，即＝1.2x－2 414.4.
故y关于x的经验回归方程为＝1.2 x－2 414.4.
(3)将x＝2 022代入＝1.2 x－2 414.4中得，＝1.2×2 022－2 414.4＝12，
所以预测到2022年年底，该地此银行储蓄存款额可达到12千亿元．
探究点2 线性回归分析
[问题探究]
对一个问题的回归模型，怎样刻画回归的效果？
探究感悟：有三种方式刻画回归效果：(1)残差图法；(2)残差平方和法；(3)决定系数R2.
例 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图，并求经验回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
【解】 (1)散点图如图所示，
因为＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
计算得≈0.183，≈6.285，
所以所求经验回归方程为＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：,
yi－i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
所以R2＝1－≈0.999 1.
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量成线性关系．
对回归模型进行回归分析的方法
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)决定系数R2越大，说明模型的拟合效果越好．
需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可．
已知某种商品的单价x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解：计算可得＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝，
＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是 ＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
y 12 10 7 5 3
12 9.7 7.4 5.1 2.8
y－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
故回归模型的拟合效果很好．
探究点3 非线性回归分析
[问题探究]
有些成对变量的散点图并不具有线性回归的特征，应怎样处理？
探究感悟：可通过散点图选择适当类型的拟合函数，通过对变量的变换转化成线性回归模型解决．常见的拟合函数有(1)指数型函数：y＝ebx＋a类；(2)对数型函数：y＝bln x＋a类；(3)幂函数型：y＝bxα＋a类．
例 (2021·江西上饶中学高二期中)某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi (i＝1，2，…，10)的数据，得到散点图如图所示．
(1)利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；
(2)对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表．根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
【解】 (1)由散点图可知，选择回归类型y＝c·xd更合适．
(2)对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，
令ln c＝，
则＝＋u.
由表中数据求得＝＝＝＝，
＝＝＝.
则＝－u＝－×＝，即c＝e.
所以年销售量y与年研发费用x的非线性经验回归方程为y＝e.
解决非线性回归问题的步骤
某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人数y/人 52 61 68 74 78 83
解：设u＝ln y，c＝ln a，
得＝＋x，
则u与x的数据关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6
u＝ln y 3.951 2 4.110 9 4.219 5 4.304 1 4.356 7 4.418 8
当堂自测
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．样本相关系数r用来衡量两个变量之间线性相关程度的强弱，|r|越接近于1，相关程度越弱
B．经验回归直线＝x＋一定经过样本点的中心(，)
C．随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预测的精确度
D．决定系数R2用来刻画回归模型的拟合效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
解析：选BC.样本相关系数r是衡量两个变量之间线性相关程度的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关程度越强，|r|越接近于0，线性相关程度越弱，A错误；经验回归直线＝x＋一定通过样本点的中心(，)，B正确；随机误差e是衡量预测精确度的一个量，它满足E(e)＝0，C正确；D决定系数R2用来刻画回归模型的拟合效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，D不正确．故选BC.
2．(2021·山西怀仁一中高二期中)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其经验回归方程为＝－3＋x，若xi＝20，yi＝30，则的值为( )
A．1 B．3
C．－3 D．－1
解析：选B.因为i＝20，所以＝＝2，因为i＝30，所以＝＝3，又因为样本点中心()在回归直线＝－3＋x上，所以＝－3＋，即3＝－3＋2，解得＝3，故选B.
3．(2021·重庆高二期末)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单元：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析：选D.因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以得到y＝0.7 x＋3＋e，
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
4．(2021·山东省日照实验高级中学高二月考)在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的经验回归方程为________．
解析：由＝0.25x－2.58得ln ＝0.25 x－2.58，
所以＝e0.25x－2.58
答案：＝e0.25x－2.58
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第八章 成对数据的统计分析
8．2 一元线性回归模型及其应用
学习指导 核心素养
1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．2．了解最小二乘原理，掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计，会使用相关的统计软件，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 1.数学抽象：一元线性回归模型．2．数学建模、数学运算：一元线性回归模型参数的最小二乘估计．
1．一元线性回归模型
我们称此关系式为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述．
2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计
(1)经验回归方程与最小二乘估计
我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中
(2)观测值、预测值、残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
(3)用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为R2＝1－ .R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差；R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
1．在一元线性回归模型y＝bx＋a＋e中，随机误差e产生的原因有哪些？
提示：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；
(2)忽略了某些因素的影响；
(3)存在观测误差．
2．经验回归直线一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？
提示：不一定．经验回归直线过(，)，不一定过样本数据中的某一点．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于方程＝x＋，x增加一个单位时，y平均增加个单位．( )
(2)残差是随机误差的估计结果．( )
(3)利用经验回归方程求出的值是准确值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm) 具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归直线过点(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加 0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选ABC.由经验回归方程为＝0.85x－85.71，知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；由最小二乘法建立经验回归方程的过程知＝x＋＝x＋－ (＝－)，所以经验回归直线过点(，)，故B正确；利用经验回归方程可以估计因变量，但是个预测值，故C正确，D不正确．
3．为研究两个变量之间的关系，选择了4个不同的模型进行拟合，计算得它们的决定系数R2，其中拟合效果最好的模型是( )
A．决定系数R2为0.96
B．决定系数R2为0.75
C．决定系数R2为0.52
D．决定系数R2为0.34
解析：选A.决定系数R2越大、越趋近于1，拟合效果越好．
4．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y关于x的经验回归方程为＝x＋1，则＝________．
解析：＝＝2，
＝＝2.6，
将(2，2.6)代入＝x＋1，解得＝0.8.
答案：0.8
探究点1 经验回归方程
[问题探究]
利用经验回归方程进行预测所得值精确吗？
探究感悟：(1)所得的值只是一个估计值，不是精确值；
(2)变量x与y成线性相关关系时，经验回归方程才有意义，否则即使求出经验回归方程，也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信、无价值的．
例 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间的一组观察值如表.
x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出散点图；
(2)求y关于x的经验回归方程；
(3)利用经验回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少．
【解】 (1)散点图如图所示，
(2)从散点图中，我们可以看出样本点分布在一条直线附近，因而求经验回归方程有意义．
＝(5＋10＋15＋…＋120)＝，
＝(6＋10＋10＋…＋46)＝，
＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46＝13 910，
＝52＋102＋152＋…＋1202＝36 750，
所以＝
＝－＝－0.304×＝5.36.
故腐蚀深度y关于腐蚀时间x的经验回归方程为＝0.304x＋5.36.
(3)根据(2)求得的经验回归方程，当腐蚀时间为100 s时，＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度为约35.76 μm.
求经验回归方程的步骤
(1)计算平均数，.
(2)计算xi与yi的积，求
(3)计算
(4)将结果代入公式＝求.
(5)用＝－，求.
(6)写出经验回归方程.
(2021·成都七中期中)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2016 2017 2018 2019 2020
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 015， z＝y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程；
(3)用所求经验回归方程预测到2022年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？
解：(1) ＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，则＝＝1.2，
＝－＝2.2 －1.2×3＝－1.4.
所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4.
(2)＝1.2t－1.4，代入t＝x－2 015，z＝y－5，
得－5＝1.2(x－2 015)－1.4，即＝1.2x－2 414.4.
故y关于x的经验回归方程为＝1.2 x－2 414.4.
(3)将x＝2 022代入＝1.2 x－2 414.4中得，＝1.2×2 022－2 414.4＝12，
所以预测到2022年年底，该地此银行储蓄存款额可达到12千亿元．
探究点2 线性回归分析
[问题探究]
对一个问题的回归模型，怎样刻画回归的效果？
探究感悟：有三种方式刻画回归效果：(1)残差图法；(2)残差平方和法；(3)决定系数R2.
例 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图，并求经验回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
【解】 (1)散点图如图所示，
因为＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
计算得≈0.183，≈6.285，
所以所求经验回归方程为＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：,
yi－i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
所以R2＝1－≈0.999 1.
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量成线性关系．
对回归模型进行回归分析的方法
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)决定系数R2越大，说明模型的拟合效果越好．
需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可．
已知某种商品的单价x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解：计算可得＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝，
＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是 ＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
y 12 10 7 5 3
12 9.7 7.4 5.1 2.8
y－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
故回归模型的拟合效果很好．
探究点3 非线性回归分析
[问题探究]
有些成对变量的散点图并不具有线性回归的特征，应怎样处理？
探究感悟：可通过散点图选择适当类型的拟合函数，通过对变量的变换转化成线性回归模型解决．常见的拟合函数有(1)指数型函数：y＝ebx＋a类；(2)对数型函数：y＝bln x＋a类；(3)幂函数型：y＝bxα＋a类．
例 (2021·江西上饶中学高二期中)某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi (i＝1，2，…，10)的数据，得到散点图如图所示．
(1)利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；
(2)对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表．根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
【解】 (1)由散点图可知，选择回归类型y＝c·xd更合适．
(2)对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，
令ln c＝，
则＝＋u.
由表中数据求得＝＝＝＝，
＝＝＝.
则＝－u＝－×＝，即c＝e.
所以年销售量y与年研发费用x的非线性经验回归方程为y＝e.
解决非线性回归问题的步骤
某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．
月份x/月 1 2 3 4 5 6
人数y/人 52 61 68 74 78 83
解：设u＝ln y，c＝ln a，
得＝＋x，
则u与x的数据关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6
u＝ln y 3.951 2 4.110 9 4.219 5 4.304 1 4.356 7 4.418 8
当堂自测
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．样本相关系数r用来衡量两个变量之间线性相关程度的强弱，|r|越接近于1，相关程度越弱
B．经验回归直线＝x＋一定经过样本点的中心(，)
C．随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用来衡量预测的精确度
D．决定系数R2用来刻画回归模型的拟合效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
解析：选BC.样本相关系数r是衡量两个变量之间线性相关程度的量，|r|越接近于1，这两个变量线性相关程度越强，|r|越接近于0，线性相关程度越弱，A错误；经验回归直线＝x＋一定通过样本点的中心(，)，B正确；随机误差e是衡量预测精确度的一个量，它满足E(e)＝0，C正确；D决定系数R2用来刻画回归模型的拟合效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，D不正确．故选BC.
2．(2021·山西怀仁一中高二期中)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其经验回归方程为＝－3＋x，若xi＝20，yi＝30，则的值为( )
A．1 B．3
C．－3 D．－1
解析：选B.因为i＝20，所以＝＝2，因为i＝30，所以＝＝3，又因为样本点中心()在回归直线＝－3＋x上，所以＝－3＋，即3＝－3＋2，解得＝3，故选B.
3．(2021·重庆高二期末)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单元：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析：选D.因为财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以得到y＝0.7 x＋3＋e，
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
4．(2021·山东省日照实验高级中学高二月考)在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的经验回归方程为________．
解析：由＝0.25x－2.58得ln ＝0.25 x－2.58，
所以＝e0.25x－2.58
答案：＝e0.25x－2.58
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