6.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课) 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案
文档属性
| 名称 | 6.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课) 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 225.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:37:14 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)
学习指导 核心素养
1.进一步理解两个计数原理的含义.2.正确应用原理解决组数、选(抽)取与分配、涂色(种植)等实际问题. 逻辑推理、数学运算：两个计数原理的应用.
探究点1 组数问题
例 (1)(2021·四川省成都市期末)用0，1，…，9这十个数字可以组成的无重复数字的两位数中偶数的个数为( )
A．9 B．32
C．41 D．28
(2)(2021·江苏扬州高二期中)由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A．36个 B．42个
C．48个 D．120个
【解析】 (1)由题意可知组成的两位数的个位上的数字可能是0，2，4，6，8.分两类计数：个位数字为0，满足题意的偶数有9个；个位数字不是0，满足题意的偶数的个数为8×4＝32.根据分类加法计数原理可知，满足题意的偶数的个数为9＋32＝41.
(2)分两类，第一类：若五位数的个位数是0，则有4×3×2×1＝24(个)满足题意的数．
第二类：若五位数的个位数是2，因为0不能排首位，因此只有1，3，5有3种情况，中间的三位有3×2×1＝6(种)情况，依据分步乘法计数原理可知，共有3×6＝18(个)满足题意的数．
由分类加法计数原理可得所有无重复数字的五位偶数共有24＋18＝42(个)．
【答案】 (1)C (2)B
本例(2)中，由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位奇数共有多少个？
解：个位数字有3种情况，首位数字不能是0，有3种情况，中间的三位有3×2×1＝6种情况，依据分步计数乘法原理，共有3×3×6＝54个无重复数字的五位奇数．
解决组数问题的方法
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”计数原理的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果直接分类情况较多，可采用间接法求解．
(2)要注意数字“0”不能排在两位数以及多位数的最高位．
1．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
解析：选B.根据题意，需分两类解决：
第一类，首位填4时，比40 000大的偶数的个数为2×4×3×2＝48；
第二类，首位填5时，比40 000大的偶数的个数为3×4×3×2＝72.
根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数的个数为48＋72＝120.
2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个
C．40个 D．20个
解析：选C.当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1，2，3，能组成3×2＝6(个)“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，能组成4×3＝12(个)“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，5，能组成5×4＝20(个)“伞数”，所以共能组成2＋6＋12＋20＝40(个)“伞数”．
探究点2 选(抽)取与分配问题
例 (1)(2021·陕西省韩城市期末)自2020年起，山东夏季高考实施“3＋3”模式，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
【解析】 (1)从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选法，从政治、历史、地理3科中任选1科有3种选法，根据分步乘法计数原理可得不同的选法种数为3×3＝9.
(2)方法一(直接法)：
按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：
第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9(种)；
第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．
方法二(间接法)：
先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．
【答案】 (1)D (2)C
解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
1．某班有3名学生准备参加校运会的100 m、200 m、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )
A．24种 B．48种
C．64种 D．81种
解析：选A.由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报．由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．
2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有________种不同的选法．
解析：考虑“多面手”参赛人数，分三类完成这件事：
第1类，“多面手”未参赛，即从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为3×2＝6.
第2类，“多面手”中有1人参赛．①从“多面手”中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为2×2＝4；②从“多面手”中选1名参加围棋比赛，同时从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，选法种数为2×3＝6.所以“多面手”中有1人参赛的选法种数为4＋6＝10.
第3类，“多面手”出2人，参加象棋和围棋比赛，有2种选法．根据分类加法计数原理，不同的选法种数为6＋10＋2＝18.
答案：18
探究点3 涂色(种植)问题
例 (1)(2021·福建省龙岩市新罗区模拟)用5种不同颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．180种
C．54种 D．45种
(2)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
【解析】 (1)由于规定一区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，区域B有4种涂法，区域C有3种涂法，区域D有3种涂法，故不同的涂色方案种数为5×4×3×3＝180.
(2)依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.
【答案】 (1)B (2)B
解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．对于种植问题，按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数；或按种植品种恰当进行分类，用分类加法计数原理计数．
1．(2021·陕西省西安中学期末)现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有( )
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
解析：选D.如图，假设4个区域为A，B，C，D，分4步进行分析：①对于A，有4种农作物供选择；②对于B，与A相邻，有3种农作物供选择；③对于C，与A，B相邻，有2种农作物供选择；④对于D，与B，C相邻，有2种农作物供选择．则不同的种植方法种数为4×3×2×2＝48，故选D.
2．如图所示的几何体是由一个三棱锥P ABC与三棱柱ABC A1B1C1组合而成的．现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种．
解析：先涂三棱锥P ABC的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理知，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．
答案：12
当堂自测
1．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：选B.能够组成三位数的个数为9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
2．(2021·安徽蚌埠二中高二月考)如图，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
解析：选C.方法一：直接运用分类加法计数原理，按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；
若脱落2个，则有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共6种；
若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)共4种；
若脱落4个，则有(1，2，3，4)共1种．
综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．
方法二：四个焊接点是否脱落共有2×2×2×2＝16(种)不同的情况，其中电路通畅的有2×2－1＝3(种)．故不通的有16－3＝13(种)．
3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( )
A．24种 B．4种
C．43种 D．34种
解析：选C.第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得，共有43种投法．
4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？
解：方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．
方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种种在三块土地上，有4×3×2＝24(种)方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)方法，故不同的种植方法有24－6＝18(种)．
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第六章 计数原理
6.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)
学习指导 核心素养
1.进一步理解两个计数原理的含义.2.正确应用原理解决组数、选(抽)取与分配、涂色(种植)等实际问题. 逻辑推理、数学运算：两个计数原理的应用.
探究点1 组数问题
例 (1)(2021·四川省成都市期末)用0，1，…，9这十个数字可以组成的无重复数字的两位数中偶数的个数为( )
A．9 B．32
C．41 D．28
(2)(2021·江苏扬州高二期中)由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A．36个 B．42个
C．48个 D．120个
【解析】 (1)由题意可知组成的两位数的个位上的数字可能是0，2，4，6，8.分两类计数：个位数字为0，满足题意的偶数有9个；个位数字不是0，满足题意的偶数的个数为8×4＝32.根据分类加法计数原理可知，满足题意的偶数的个数为9＋32＝41.
(2)分两类，第一类：若五位数的个位数是0，则有4×3×2×1＝24(个)满足题意的数．
第二类：若五位数的个位数是2，因为0不能排首位，因此只有1，3，5有3种情况，中间的三位有3×2×1＝6(种)情况，依据分步乘法计数原理可知，共有3×6＝18(个)满足题意的数．
由分类加法计数原理可得所有无重复数字的五位偶数共有24＋18＝42(个)．
【答案】 (1)C (2)B
本例(2)中，由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位奇数共有多少个？
解：个位数字有3种情况，首位数字不能是0，有3种情况，中间的三位有3×2×1＝6种情况，依据分步计数乘法原理，共有3×3×6＝54个无重复数字的五位奇数．
解决组数问题的方法
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”计数原理的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果直接分类情况较多，可采用间接法求解．
(2)要注意数字“0”不能排在两位数以及多位数的最高位．
1．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
解析：选B.根据题意，需分两类解决：
第一类，首位填4时，比40 000大的偶数的个数为2×4×3×2＝48；
第二类，首位填5时，比40 000大的偶数的个数为3×4×3×2＝72.
根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数的个数为48＋72＝120.
2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个
C．40个 D．20个
解析：选C.当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2，能组成2个“伞数”；当十位数字为4时，个位数字和百位数字能取1，2，3，能组成3×2＝6(个)“伞数”；当十位数字为5时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，能组成4×3＝12(个)“伞数”；当十位数字为6时，个位数字和百位数字能取1，2，3，4，5，能组成5×4＝20(个)“伞数”，所以共能组成2＋6＋12＋20＝40(个)“伞数”．
探究点2 选(抽)取与分配问题
例 (1)(2021·陕西省韩城市期末)自2020年起，山东夏季高考实施“3＋3”模式，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
【解析】 (1)从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选法，从政治、历史、地理3科中任选1科有3种选法，根据分步乘法计数原理可得不同的选法种数为3×3＝9.
(2)方法一(直接法)：
按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：
第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9(种)；
第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．
方法二(间接法)：
先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．
【答案】 (1)D (2)C
解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
1．某班有3名学生准备参加校运会的100 m、200 m、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )
A．24种 B．48种
C．64种 D．81种
解析：选A.由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报．由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．
2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有________种不同的选法．
解析：考虑“多面手”参赛人数，分三类完成这件事：
第1类，“多面手”未参赛，即从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为3×2＝6.
第2类，“多面手”中有1人参赛．①从“多面手”中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为2×2＝4；②从“多面手”中选1名参加围棋比赛，同时从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，选法种数为2×3＝6.所以“多面手”中有1人参赛的选法种数为4＋6＝10.
第3类，“多面手”出2人，参加象棋和围棋比赛，有2种选法．根据分类加法计数原理，不同的选法种数为6＋10＋2＝18.
答案：18
探究点3 涂色(种植)问题
例 (1)(2021·福建省龙岩市新罗区模拟)用5种不同颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．180种
C．54种 D．45种
(2)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
【解析】 (1)由于规定一区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，区域B有4种涂法，区域C有3种涂法，区域D有3种涂法，故不同的涂色方案种数为5×4×3×3＝180.
(2)依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.
【答案】 (1)B (2)B
解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．对于种植问题，按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数；或按种植品种恰当进行分类，用分类加法计数原理计数．
1．(2021·陕西省西安中学期末)现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有( )
A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
解析：选D.如图，假设4个区域为A，B，C，D，分4步进行分析：①对于A，有4种农作物供选择；②对于B，与A相邻，有3种农作物供选择；③对于C，与A，B相邻，有2种农作物供选择；④对于D，与B，C相邻，有2种农作物供选择．则不同的种植方法种数为4×3×2×2＝48，故选D.
2．如图所示的几何体是由一个三棱锥P ABC与三棱柱ABC A1B1C1组合而成的．现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有________种．
解析：先涂三棱锥P ABC的三个侧面，再涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理知，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．
答案：12
当堂自测
1．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
解析：选B.能够组成三位数的个数为9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
2．(2021·安徽蚌埠二中高二月考)如图，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
解析：选C.方法一：直接运用分类加法计数原理，按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；
若脱落2个，则有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共6种；
若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)共4种；
若脱落4个，则有(1，2，3，4)共1种．
综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．
方法二：四个焊接点是否脱落共有2×2×2×2＝16(种)不同的情况，其中电路通畅的有2×2－1＝3(种)．故不通的有16－3＝13(种)．
3．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( )
A．24种 B．4种
C．43种 D．34种
解析：选C.第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得，共有43种投法．
4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？
解：方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．
方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种种在三块土地上，有4×3×2＝24(种)方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)方法，故不同的种植方法有24－6＝18(种)．
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