6.2.3 组合与组合数公式 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案
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| 名称 | 6.2.3 组合与组合数公式 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 211.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:50:58 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第1课时 组合与组合数公式
学习指导 核心素养
1.理解组合的概念，能正确区别排列与组合.2.能记住组合数的计算公式，了解组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数的性质进行运算.3.能利用组合数公式解决简单的组合应用题. 1.数学抽象：组合的概念.2.逻辑推理、数学运算：组合数公式、简单的组合问题.
1．组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
符号表示 C
组合数公式 乘积式 C＝eq \f(A,A)＝
阶乘式 C＝
性质 C＝eq \a\vs4\al(C)，C＝eq \a\vs4\al(C＋C)
备注 ①n，m∈N*且m≤n；②规定C＝1
根据组合的定义，分析组合概念的特征．
提示：(1)组合的特点
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地抽取．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.( )
(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积．( )
(3)C＝5×4×3＝60.( )
(4)C＝C＝2 017.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(2021·郑州一中入学测试)6个朋友聚会，每两个握手1次，则一共握手的次数是( )
A．A B．C
C．62 D．26
解析：选B.每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是C.
3．若C＝10，则n＝________．
答案：5
4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．(假设往返的票价相同)
解析：车票的票价有C＝3(种)．
答案：3
探究点1 组合的概念
[问题探究]
怎样区别排列与组合？
探究感悟：区别一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，排列与选取的元素的顺序有关，组合与选取的元素的顺序无关，即有序是排列，无序是组合．
例 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
(3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次)，共需进行多少场次的比赛？
(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
【解】 (1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
判断一个问题是否是组合的技巧
先把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生变化．若有变化，即说明有顺序，是排列问题；若无变化，即说明无顺序，是组合问题．
1．判断下列事件是排列问题还是组合问题．
(1)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(2)从10个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？
解：(1)是组合问题．(2)是排列问题．
2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
解：方法一：按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．
由此可得所有不同的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．
方法二：画出树形图，如图所示．
由此可得所有不同的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
探究点2 组合数公式
[问题探究]
组合与组合数有何区别？
探究感悟：一个组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，它是一个数．
例 (1)(2021·浙江省台州市期末)已知C＝15，那么A＝( )
A．20 B．30
C．42 D．72
(2)(2021·河南信阳高二月考)满足条件C>C的正整数n的个数是( )
A．10 B．9
C．4 D．3
【解析】 (1)方法一：由C＝＝15，得n2－n－30＝0，
即(n－6)(n＋5)＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
故A＝A＝30.
方法二：由C＝eq \f(A,A)知，A＝C·A，
故A＝C·A＝15×2＝30.
(2)因为C>C，
所以>
，
所以(n－4)(n－5)<30，
所以n2－9n－10<0，
解得－1【答案】 (1)B (2)C
利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
(1)化简：先用组合数的两个性质化简；
(2)转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式；
(3)求解：解常规代数方程、不等式；
(4)检验：注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意．
1．C＋CC＝________．
解析：C＋CC＝C＋C×1
＝＋＝56＋4 950＝5 006.
答案：5 006
2．解方程3C＝5A.
解：由排列数和组合数公式，原方程可化为
3·＝，
则＝，即(x－3)(x－6)＝40.
所以x2－9x－22＝0，
解得x＝11或x＝－2.
经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．
所以方程的根为x＝11.
探究点3 简单的组合问题
例 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝90(种)．
[变设问]本例其他条件不变，问题变为：从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0女有C种．由分类加法计数原理知有CC＋C＝39(种)．
最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有C种．由分类加法计数原理知有CC＋C＝30(种)．
解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
解析：选D.每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．
当堂自测
1．(多选)下列问题属于组合问题的是( )
A．由1，2，3，4构成双元素集合
B．5支球队进行单循环足球比赛的分组情况
C．由1，2，3构成两位数的方法
D．由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法
解析：选AB.由集合元素的无序性可知A属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故B是组合问题；C，D中两位数顺序不同数字不同为排列问题．
2．若C＝C，则n等于( )
A．3 B．5
C．3或5 D．15
解析：选C.由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.
3．《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院．某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有( )
A．81种 B．80种
C．51种 D．41种
解析：选C.恰有2个一级医院，有CC＝45种抽法；恰有3个一级医院，有CC＝6种抽法．所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有45＋6＝51(种)．故选C.
4．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210(种)分法．
答案：210
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第1课时 组合与组合数公式
学习指导 核心素养
1.理解组合的概念，能正确区别排列与组合.2.能记住组合数的计算公式，了解组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数的性质进行运算.3.能利用组合数公式解决简单的组合应用题. 1.数学抽象：组合的概念.2.逻辑推理、数学运算：组合数公式、简单的组合问题.
1．组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
符号表示 C
组合数公式 乘积式 C＝eq \f(A,A)＝
阶乘式 C＝
性质 C＝eq \a\vs4\al(C)，C＝eq \a\vs4\al(C＋C)
备注 ①n，m∈N*且m≤n；②规定C＝1
根据组合的定义，分析组合概念的特征．
提示：(1)组合的特点
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地抽取．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.( )
(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积．( )
(3)C＝5×4×3＝60.( )
(4)C＝C＝2 017.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(2021·郑州一中入学测试)6个朋友聚会，每两个握手1次，则一共握手的次数是( )
A．A B．C
C．62 D．26
解析：选B.每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是C.
3．若C＝10，则n＝________．
答案：5
4．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．(假设往返的票价相同)
解析：车票的票价有C＝3(种)．
答案：3
探究点1 组合的概念
[问题探究]
怎样区别排列与组合？
探究感悟：区别一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，排列与选取的元素的顺序有关，组合与选取的元素的顺序无关，即有序是排列，无序是组合．
例 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
(3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次)，共需进行多少场次的比赛？
(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
【解】 (1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
判断一个问题是否是组合的技巧
先把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生变化．若有变化，即说明有顺序，是排列问题；若无变化，即说明无顺序，是组合问题．
1．判断下列事件是排列问题还是组合问题．
(1)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(2)从10个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？
解：(1)是组合问题．(2)是排列问题．
2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
解：方法一：按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．
由此可得所有不同的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．
方法二：画出树形图，如图所示．
由此可得所有不同的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
探究点2 组合数公式
[问题探究]
组合与组合数有何区别？
探究感悟：一个组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，它是一个数．
例 (1)(2021·浙江省台州市期末)已知C＝15，那么A＝( )
A．20 B．30
C．42 D．72
(2)(2021·河南信阳高二月考)满足条件C>C的正整数n的个数是( )
A．10 B．9
C．4 D．3
【解析】 (1)方法一：由C＝＝15，得n2－n－30＝0，
即(n－6)(n＋5)＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
故A＝A＝30.
方法二：由C＝eq \f(A,A)知，A＝C·A，
故A＝C·A＝15×2＝30.
(2)因为C>C，
所以>
，
所以(n－4)(n－5)<30，
所以n2－9n－10<0，
解得－1
利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
(1)化简：先用组合数的两个性质化简；
(2)转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式；
(3)求解：解常规代数方程、不等式；
(4)检验：注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意．
1．C＋CC＝________．
解析：C＋CC＝C＋C×1
＝＋＝56＋4 950＝5 006.
答案：5 006
2．解方程3C＝5A.
解：由排列数和组合数公式，原方程可化为
3·＝，
则＝，即(x－3)(x－6)＝40.
所以x2－9x－22＝0，
解得x＝11或x＝－2.
经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．
所以方程的根为x＝11.
探究点3 简单的组合问题
例 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝90(种)．
[变设问]本例其他条件不变，问题变为：从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0女有C种．由分类加法计数原理知有CC＋C＝39(种)．
最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有C种．由分类加法计数原理知有CC＋C＝30(种)．
解简单的组合应用题的策略
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
解析：选D.每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．
当堂自测
1．(多选)下列问题属于组合问题的是( )
A．由1，2，3，4构成双元素集合
B．5支球队进行单循环足球比赛的分组情况
C．由1，2，3构成两位数的方法
D．由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法
解析：选AB.由集合元素的无序性可知A属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故B是组合问题；C，D中两位数顺序不同数字不同为排列问题．
2．若C＝C，则n等于( )
A．3 B．5
C．3或5 D．15
解析：选C.由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.
3．《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院．某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有( )
A．81种 B．80种
C．51种 D．41种
解析：选C.恰有2个一级医院，有CC＝45种抽法；恰有3个一级医院，有CC＝6种抽法．所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有45＋6＝51(种)．故选C.
4．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210(种)分法．
答案：210
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