6.2.4 组合的综合应用(习题课) 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案
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| 名称 | 6.2.4 组合的综合应用(习题课) 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 197.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:52:16 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第2课时 组合的综合应用(习题课)
学习指导 核心素养
1.能正确利用组合公式及分类讨论思想解决一些有限制条件的组合问题.2.正确识别组合中的分组、分配问题，与几何图形有关的组合问题，并能利用组合公式求解. 1.逻辑推理、数学运算：组合的综合应用.2.直观想象：与几何图形有关的组合问题.
探究点1 有限制条件的组合问题
例 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有1件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有1件是次品的抽法有多少种？
【解】 (1)分两步：
第1步，从2件次品中任取1件，有C种抽法；
第2步，从8件正品中任取2件，有C种抽法．
由分步乘法计数原理可知，不同的抽法种数为C×C＝2×＝56.
(2)方法一(直接法)：分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为C×C；
第2类，抽2件次品，抽法种类为C×C.
由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为C×C＋C×C＝56＋8＝64.
方法二(间接法)：从10件产品中任取3件的抽法有C种，不含次品的抽法有C种，所以至少有1件是次品的抽法种数为C－C＝64.
有限制条件的组合问题的解题策略
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
1．从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：选A.若4个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．由题可知，共有5个奇数，4个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有CC＝20(种)；若是3个奇数1个偶数，则有CC＝40(种)，共有20＋40＝60(种)不同的取法．
2．(2021·黑龙江省实验中学期中)有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有( )
A．1 860种 B．2 174种
C．2 354种 D．2 651种
解析：选B.设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的4人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5人}．先分类，以集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况：
①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得第②③④类情况的选法种数．故不同的选法共有C＋CCC＋CCC＋CCC＝2 174(种)．
探究点2 组合中的分组、分配问题
例 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
(1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；
(2)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；
(3)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
【解】 (1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本，有C种方法，所以一共有CCC＝90(种)方法．
(2)先在6本书中任取1本，作为一份，有C种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一份，有C种取法；最后余下3本书作为一份，有C种取法，共有方法CCC＝60(种)．
(3)分成3份共有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有CCCA＝360(种)．
分组、分配问题的规律方法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复的情况．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
(2021·郑州市模拟)将6位志愿者分成4组，其中2个组各有2人，另2个组各有1人，分配到郑州园博园的4个不同展园服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)
解析：把6位志愿者分成4组，不同的分组方法种数为eq \f(CCCC,AA)＝45，将4组分配到4个不同展园的分配方法种数为A＝24，因此不同的分配方案有45×24＝1 080(种)．
答案：1 080
探究点3 与几何图形有关的组合问题
例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？
【解】 (1)方法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二：可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
解答几何图形组合问题的策略
(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
(2021·福建省漳州市期中)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有( )
A．150种 B．147种
C．144种 D．141种
解析：选D.从10个点中取出4个点的取法有C种，除去四点共面的取法种数可以得到结果．
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有4C＝60(种)；
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况．
故4点不共面的取法有C－(60＋6＋3)＝141(种)．
探究点4 排列与组合的综合问题
例 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【解】 (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5 400(种)选法．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840(种)选法．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360(种)选法．
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360(种)选法．
解决排列、组合综合问题的两种思路
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．分类时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
1．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：选B.据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48(种)摆放方法．
2．(2021·高考全国卷乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
解析：选C.根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
当堂自测
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手．现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须都在内，那么不同的选法共有( )
A．26种 B．84种
C．35种 D．21种
解析：选C.从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．
2．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种 B．108种
C．210种 D．72种
解析：选B.从4男3女志愿者中选1女2男有CC＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．
3．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有1个人参加，则不同选法的种数为________．
解析：方法一(直接法)分两类：
第1类，张、王两同学都不参加，有C＝1(种)选法；
第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC＝8(种)选法．
故共有1＋8＝9(种)选法．
方法二(间接法)：共有C－C＝9(种)不同选法．
答案：9
4．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为________．
解析：若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：CCA＝192，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：CAA＝72；
因此不同的演出顺序的种数为192＋72＝264.
答案：264
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第2课时 组合的综合应用(习题课)
学习指导 核心素养
1.能正确利用组合公式及分类讨论思想解决一些有限制条件的组合问题.2.正确识别组合中的分组、分配问题，与几何图形有关的组合问题，并能利用组合公式求解. 1.逻辑推理、数学运算：组合的综合应用.2.直观想象：与几何图形有关的组合问题.
探究点1 有限制条件的组合问题
例 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有1件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有1件是次品的抽法有多少种？
【解】 (1)分两步：
第1步，从2件次品中任取1件，有C种抽法；
第2步，从8件正品中任取2件，有C种抽法．
由分步乘法计数原理可知，不同的抽法种数为C×C＝2×＝56.
(2)方法一(直接法)：分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为C×C；
第2类，抽2件次品，抽法种类为C×C.
由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为C×C＋C×C＝56＋8＝64.
方法二(间接法)：从10件产品中任取3件的抽法有C种，不含次品的抽法有C种，所以至少有1件是次品的抽法种数为C－C＝64.
有限制条件的组合问题的解题策略
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
1．从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：选A.若4个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．由题可知，共有5个奇数，4个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有CC＝20(种)；若是3个奇数1个偶数，则有CC＝40(种)，共有20＋40＝60(种)不同的取法．
2．(2021·黑龙江省实验中学期中)有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有( )
A．1 860种 B．2 174种
C．2 354种 D．2 651种
解析：选B.设集合A＝{只会划左舷的3人}，B＝{只会划右舷的4人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5人}．先分类，以集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况：
①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得第②③④类情况的选法种数．故不同的选法共有C＋CCC＋CCC＋CCC＝2 174(种)．
探究点2 组合中的分组、分配问题
例 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
(1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；
(2)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；
(3)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
【解】 (1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本，有C种方法，所以一共有CCC＝90(种)方法．
(2)先在6本书中任取1本，作为一份，有C种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一份，有C种取法；最后余下3本书作为一份，有C种取法，共有方法CCC＝60(种)．
(3)分成3份共有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有CCCA＝360(种)．
分组、分配问题的规律方法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复的情况．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
(2021·郑州市模拟)将6位志愿者分成4组，其中2个组各有2人，另2个组各有1人，分配到郑州园博园的4个不同展园服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)
解析：把6位志愿者分成4组，不同的分组方法种数为eq \f(CCCC,AA)＝45，将4组分配到4个不同展园的分配方法种数为A＝24，因此不同的分配方案有45×24＝1 080(种)．
答案：1 080
探究点3 与几何图形有关的组合问题
例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的6个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？
【解】 (1)方法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二：可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
解答几何图形组合问题的策略
(1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
(2)解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．
(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
(2021·福建省漳州市期中)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有( )
A．150种 B．147种
C．144种 D．141种
解析：选D.从10个点中取出4个点的取法有C种，除去四点共面的取法种数可以得到结果．
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有4C＝60(种)；
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况．
故4点不共面的取法有C－(60＋6＋3)＝141(种)．
探究点4 排列与组合的综合问题
例 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【解】 (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有CC＋CC种，后排有A种，共(CC＋CC)·A＝5 400(种)选法．
(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840(种)选法．
(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360(种)选法．
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360(种)选法．
解决排列、组合综合问题的两种思路
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类．分类时通常从三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
1．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：选B.据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48(种)摆放方法．
2．(2021·高考全国卷乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
解析：选C.根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
当堂自测
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手．现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须都在内，那么不同的选法共有( )
A．26种 B．84种
C．35种 D．21种
解析：选C.从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．
2．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种 B．108种
C．210种 D．72种
解析：选B.从4男3女志愿者中选1女2男有CC＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．
3．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有1个人参加，则不同选法的种数为________．
解析：方法一(直接法)分两类：
第1类，张、王两同学都不参加，有C＝1(种)选法；
第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC＝8(种)选法．
故共有1＋8＝9(种)选法．
方法二(间接法)：共有C－C＝9(种)不同选法．
答案：9
4．某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为________．
解析：若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：CCA＝192，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：CAA＝72；
因此不同的演出顺序的种数为192＋72＝264.
答案：264
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