6.3.2　二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册 学案

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第六章 计数原理
6．3.2　二项式系数的性质
学习指导 核心素养
1.会用赋值法求展开式系数的和.2.能记住二项式系数的性质，并能灵活运用性质解决相关问题. 1.数学抽象：二项式系数和问题.2.数学运算：二项式系数的最大项问题.
二项式系数的性质
1．对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上，这一性质可直接由eq \a\vs4\al(C＝C)得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
2．增减性与最大值
(1)当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．
(2)当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
怎样用组合数的意义来解释二项式系数的对称性？
提示：从几个不同元素中任取几个元素的组合与任取n－m个元素的组合是一一对应的，因此C＝C，故二项式系数有对称性．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．(　　)
(2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　)
(3)二项展开式中各项系数的和等于二项式系数的和．(　　)
(4)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(多选)下列关于(a－b)10的说法中，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数不是正数
解析：选ABD.根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式第6项中的－b的次数为5，所以其系数不是正数．
3．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项的项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　　　　　　 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析：选C.因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项的二项式系数最大．
4．(2021·安徽省蚌埠市高三质检)在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为(　　)
A．63 B．－517
C．－217 D．－177
解析：选B.常数项是Cx3·＋Cx2·C·(－1)2＋Cx·C·(－1)4＋(－1)6＝581，
令x＝1求各项系数和为(1＋2－1)6＝64，
则除常数项外，其余各项系数的和为64－581＝－517.
探究点1　二项展开式中系数最大问题
[问题探究]
二项展开式中二项式系数最大的项是否系数也最大，怎样求二项展开式中系数最大的项？
探究感悟：二项展开式中二项式系数最大的项系数不一定最大．求二项展开式中系数最大的项只需比较两组相邻两项系数的大小．
例 已知的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)展开式中系数最大的项．
【解】　(1)由的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即C＋C＋C＝37，解得n＝8，即二项式为，
所以展开式中第5项的二项式系数最大，
因此由T5＝C·24·x4＝x4，可知此项的系数为.
(2)设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(8－r)2r≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(9－r)2r－1，,C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(8－r)2r≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(7－r)2r＋1，,))
解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，即T8＝C·27·x7＝28x7，T9＝C·28·x8＝28x8.
求系数最大项的思路
设第R＋1项的系数最大，由
解出k即可求出系数最大的项．　
1．(2021·湖南省怀化市模拟)若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，则展开式中的常数项为(　　)
A．6　　　　　　　　　　　 B．－6
C．－ D.
解析：选C.由题意可得C＝C，所以n＝5.故的展开式的通项为Tr＋1＝C·x··x－＝·C·x.令＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为×C＝－.
2．(2021·春季高考上海卷)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．
解析：由题意知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C＞C，,C＞C，))
则，
解得5＜n＜7，又n∈N，因此n＝6.设(1＋x)6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6，令x＝1，则(1＋x)6的系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64.
答案：64
探究点2　利用赋值法求解系数问题
[问题探究]
利用赋值法求解与二项展开式有关的系数问题，最常见的有哪些值？
探究感悟：二项式(ax＋b)n展开式中，令x＝0可得常数项；令x＝1可得所有项系数之和；令x＝－1可得奇数项系数之和与偶数项系数之和的差．
例 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
【解】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
[变设问]在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解：(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数，得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
二项展开式中系数和的求法
(1)对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．　
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
(3)
1．(2021·湖南省长沙市模拟)若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝(　　)
A．4 B．7
C．8 D．9
解析：选D.令x＝0可得a0＝9，
令x＝1可得9＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＋a10＝210，
令x＝－1，可得9－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝0，
故a1＋a3＋…＋a9＝29，
所以log2(a1＋a3＋…＋a9)＝9.
2．(2021·山东太原高二月考)已知C＝C，设(3x－4)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an＝________．
解析：因为C＝C，所以n＝10，
即(3x－4)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10.
令x＝1可得(3－4)10＝1＝a0，
令x＝2可得(6－4)10＝210＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，
所以a1＋a2＋…＋a10＝210－1＝1 023.
答案：1 023
探究点3　证明整除或余数问题
[问题探究]
二项式定理与整除、余数问题有何联系？
探究感悟：利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．
例 (1)证明：32n＋3－24n＋37能被64整除．
(2)求9192被100除所得的余数．
(1)【证明】　32n＋3－24n＋37
＝3×9n＋1－24n＋37
＝3(8＋1)n＋1－24n＋37
＝3(C8n＋1＋C8n＋…＋C8＋1)－24n＋37
＝3×64(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋24C－24n＋40
＝64×3(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋64，
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除．
(2)【解】　(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C·992，
因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数．
又992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919.因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除所得的余数为81.
整除或求余数问题的求解策略
(1)用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
(2)要注意余数的范围，对给定的整数a，b(b≠0)，有确定的一对整数q和r，满足a＝bq＋r，其中b为除数，r为余数，r∈[0，|b|)，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数．　
1．211除以9的余数为________．
解析：由题意得211＝83×22＝(9－1)3×22，
(9－1)3×22＝22C×93＋22C×92×(－1)＋22C×9×(－1)2＋22C×(－1)3，
所以211除以9的余数为9－22 C＝5.
答案：5
2．(2021·山西省实验中学高二月考)设a∈Z，且0解析：因为53＝52＋1＝4×13＋1，
所以532 019＋a＝(52＋1)2 019＋a＝522 019＋C·522 018＋…＋C·52＋1＋a.
因为522 019＋C·522 018＋…＋C·52能被13整除，所以a＋1也能被13整除．因为0答案：12
当堂自测
1.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．第8项　　　　　　　　　 B．第9项
C．第8项和第9项 D．第11项和第12项
解析：选D.二项式展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)n－k·(x－1)k＝C·xn－k，令k＝7，则n－＝0，解得n＝21，通项可化简为C·x.由于n＝21，故展开式中一共有22项，又展开式中各项的二项式系数与项的系数相同，故系数最大的项为k＝10，11两项，即展开式的第11项和第12项．
2．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　)
A．5 B．10
C．20 D．40
解析：选B.因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1，得2n＝32，所以n＝5.所以的二项展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(x2)5－r＝Cx10－3r.令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.
3．(多选)(2021·河北石家庄检测)设a∈N，且0≤a<26，若512 020＋a能被13整除，则a的值可以为(　　)
A．0 B．11
C．12 D．25
解析：选CD.因为512 020＋a＝(52－1)2 020＋a＝C522 020(－1)0＋C522 019(－1)1＋C522 018·(－1)2＋…＋C521(－1)2 019＋C(－1)2 020＋a，又52能被13整除，所以需使C(－1)2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，所以1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a<26，所以a＝12或25，故选CD.
4．已知二项式(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第二项的系数是－14，则n＝________，含x的奇次项的二项式系数和的值是________．
解析：依题意，二项式(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第二项的系数是－14，即C·(－2)1＝－14，解得n＝7.含x的奇次项的二项式系数和为C＋C＋C＋C＝1＋21＋35＋7＝64.
答案：7　64
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