2021-2022学年华师大版八年级数学下册18.1平行四边形的性质同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年华师大版八年级数学下册《18-1平行四边形的性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（　　）
A．4 B．5 C．7 D．6
2．如图，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
3．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于O点，E为AD的中点，连接OE．若OE＝2，则CD的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝12，则AB边的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图，E为 ABCD外一点，且EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D，若∠E＝55°，则∠A的度数为（　　）
A．135° B．125° C．55° D．35°
6．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC＝90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．45°
二．填空题
7．在 ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为　 　．
8．如图，在 ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为　 　．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为　 　．
10．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝　 　．
11．在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝　 　．
12．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造 EFGC，连接EG，则EG的最小值为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为　 　．
14．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为　 　．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过B作BE⊥AD于点E，已知AB＝5，AD＝7，BE＝4，则OE＝　 　．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
18．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
20．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO＝DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
21．在 ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝4，
∵AF＝1，
∴AD＝4+1＝5，
∴BC＝5．
故选：B．
2．解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点E是边CD的中点，
∴EO＝CD，
∵OE，
∴CD＝2OE＝4，
故选：D．
4．解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD，
∵∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝12，
∴BO＝6，OA＝3，
∴AB＝＝＝3，
故选：A．
5．解：连接EC，如图所示：
∵EB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠EBC＝90°，∠EDC＝90°，
又∵∠BEC+∠EBC+∠BCE＝180°，
∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∠BED＝∠BEC+DEC，
∠BCD＝BCE+∠DCE，
∴∠EBC+∠BCD+∠EDC+∠BED＝360°，
又∵∠BED＝55°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣55°＝125°，
又∵四平形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝125°，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AD＝DE＝CE，
∴AD＝DE＝CE＝BC，
∴∠DAE＝∠AED，∠CBE＝∠CEB，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
设∠DAE＝∠AED＝x，∠CBE＝∠CEB＝y，
∴∠ADE＝180°﹣2x，∠BCE＝180°﹣2y，
∴∠ADC＝180°﹣2x+45°＝225°﹣2x，∠BCD＝225°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣（225°﹣2x）＝2x﹣45°，
∴2x﹣45°＝225°﹣2y，
∴x+y＝135°，
∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°；
故选：B．
二．填空题
7．解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，
∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝＝55°．
情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，
∴∠BDE＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠BDE＝×70°＝35°．
故答案为：55°或35°．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝80°÷2＝40°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°；
故答案为：30°．
9．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
11．解：①如图1，在 ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣5＝11，
∴AB＝8；
②在 ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝2AB+5＝11，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
12．解：作CH⊥AB于点H，
∵在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是，
故答案为：9．
13．解：当DE⊥AE时，DE取得最小值，设此时CD＝x，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CD＝AE，AD＝CE，BC∥AE，
∵∠B＝90°，DE⊥AE，
∴四边形BAED是矩形，
∴BD＝AE，
∴BD＝CD＝x，
∵BC＝BD+CD，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∵AB＝3，∠B＝90°，
∴AD＝＝＝，
∴当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为：2++2+＝4+2，
故答案为：4+2，
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
15．解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB＝14，CD＝AB＝6，
∵点M，N分别是边AB，AD的中点，
∴AN＝DN＝AD＝7，BM＝AB＝3，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，
∵点E是CM的中点，
∴ME＝CE，
在△MEB和△CEG中，
，
∴△MEB≌△CEG（AAS），
∴BE＝GE，BM＝GC＝3，
∴DG＝CD﹣GC＝3，
∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，
∴DH＝GH＝DG＝3，
∴NH＝DN﹣DH＝7﹣3＝4，
∴GN＝＝5，
∵BF＝FN，BE＝EG，
∴EF是△BGN的中位线，
∴EF＝GN＝．
故答案为：．
16．解：∵BE⊥AD，AB＝5，BE＝4，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝3，
∵AD＝7，
∴ED＝AD﹣AE＝4，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得BD＝＝4，
∵在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O为BD的中点，
∴OE＝BD＝2，
故答案为：2．
三．解答题
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE BF＝×4×2＝4．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
19．解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形，
∴AP＝BQ，
又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t，
BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t，
∴10﹣2t＝8﹣t，
解得t＝2；
（2）如图，过P作PE⊥BC于E，
当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t，
依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2，
解得 t＝；
当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ，
由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t），
解得t＝，
综上，t＝或t＝时，符合题意．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO＝DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠DBA＝∠A＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G＝∠A＝45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE＝OF，
∴GF＝OF＝OE，
即2FG＝EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝DO，
∴在等腰Rt△ADB 中，DB＝2DO＝2＝AD
∴AD＝2，
21．（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形．