7.3.1 离散型随机变量的均值 人教A版选择性必修第三册 学案
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| 名称 | 7.3.1 离散型随机变量的均值 人教A版选择性必修第三册 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 249.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 08:56:38 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
学习指导 核心素养
1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用.2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算.2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用.
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质：若X是离散型随机变量，则：①E(X＋b)＝E(X)＋b；②E(aX)＝aE(X)；③E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2.两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
1.离散型随机变量的均值(或数学期望)和平均数相同吗？
提示：不相同.均值刻画随机变量取值的平均水平，具有相对稳定性，是概率意义下的平均值.
2.随机变量的均值有什么作用，它有单位吗？
提示：样本的均值可以用来估计总体的均值，它与随机变量具有相同的单位.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是一个变量，其随X的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( )
(4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)＝( )
A. B.2
C. D.3
解析：选A.E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
3.(2021·新余期末)已知X的分布列如表，设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝( )
X －1 0 1
P a
A.－ B.
C.1 D.
解析：选B.由已知得＋＋a＝1
所以a＝，
所以E(X)＝－＋＝－，
因为E(Y)＝2E(X)＋1，
所以E(Y)＝.
4.(2021·山东威海高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)＝( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝；
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝；
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
探究点1 求离散型随机变量的均值
[问题探究]
离散型随机变量的均值和分布列有什么关系？
探究感悟：不同点：分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量的平均值.
联系：两者可以从整体上刻画随机变量；可以利用离散型随机变量的分布列求均值.
例 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.
【解】 根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.
所以P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X －4 1 3 6
P
所以E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
求离散型随机变量X的均值的步骤
某超市举行开业购物抽奖活动，活动规则是购物者先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为现金(单位：元).随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为优惠劵(单位：元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示该购物者在一轮抽奖中的现金和优惠劵，则E(ξ1)－E(ξ2)＝ 元.
解析：ξ1的分布列为
ξ1 1 2 3 4 5
P
所以E(ξ1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
ξ2的分布列为
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P eq \f(4,C)＝ eq \f(3,C)＝ eq \f(2,C)＝ eq \f(1,C)＝
所以E(ξ2)＝1.4×＝2.8.
综上，E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.
答案：0.2
探究点2 离散型随机数量的性质
例 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝ .
【解析】 由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
故E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝.
【答案】
[变设问]本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值.
解：E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，解得a＝15.
利用离散型随机变量性质解决问题的思路
若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ).
(2021·河北邢台高二月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为( )
ξ 0 1 2
P 0.4 2k k
A.3.2 B.3.4
C.3.6 D.3.8
解析：选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝3×0.8＋1＝3.4.
探究点3 离散型随机变量均值的应用
[问题探究]
离散型随机变量的均值在实际问题中有什么应用？
探究感悟：均值体现了随机变量的平均大小，利用均值的意义可以对一些实际问题如比赛成绩、投资收益、生产成本等作出预测，为决策问题提供依据.
例 (2021·新高考卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解】 (1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
利用离散型随机变量求解实际问题的步骤
(1)把实际问题概率模型化；
(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；
(3)利用公式求出相应均值；
(4)对照实际意义，根据所求均值下结论.
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各位体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为X，则X的可能取值为1，6.因为5人都不患病的概率为(1－0.1)5＝0.590 49，所以P(X＝1)＝0.590 49，
P(X＝6)＝1－0.590 49＝0.409 51，
从而E(X)＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
(2)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E(Y)＝100E(X)＝304.755，
即方案乙的平均化验费用为304.755元.
当堂自测
1.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝( )
X 0 1
P a
A. B. C. D.
解析：选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋1×a＝a＝.
2.(2021·北京市人大附中检测)一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元.已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A.39元 B.37元 C.20元 D.元
解析：选B.设这台机器生产一件产品获利ξ元.易知随机变量ξ的分布列为
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37.
3.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3).X的均值E(X)＝3，则a＋b＝ .
解析：因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，
所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
所以14a＋6b＝3.①
又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
所以6a＋3b＝1.②
所以由①②可知a＝，b＝－，所以a＋b＝－.
答案：－
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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
学习指导 核心素养
1.理解离散型随机变量的均值的意义、性质并能简单应用.2.会用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 1.数学抽象、数学运算：离散型随机变量的均值的意义和计算.2.数学建模：离散型随机变量的均值的实际应用.
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质：若X是离散型随机变量，则：①E(X＋b)＝E(X)＋b；②E(aX)＝aE(X)；③E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2.两点分布的均值
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
1.离散型随机变量的均值(或数学期望)和平均数相同吗？
提示：不相同.均值刻画随机变量取值的平均水平，具有相对稳定性，是概率意义下的平均值.
2.随机变量的均值有什么作用，它有单位吗？
提示：样本的均值可以用来估计总体的均值，它与随机变量具有相同的单位.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是一个变量，其随X的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( )
(4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)＝( )
A. B.2
C. D.3
解析：选A.E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
3.(2021·新余期末)已知X的分布列如表，设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝( )
X －1 0 1
P a
A.－ B.
C.1 D.
解析：选B.由已知得＋＋a＝1
所以a＝，
所以E(X)＝－＋＝－，
因为E(Y)＝2E(X)＋1，
所以E(Y)＝.
4.(2021·山东威海高二期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则E(X)＝( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝；
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝；
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
探究点1 求离散型随机变量的均值
[问题探究]
离散型随机变量的均值和分布列有什么关系？
探究感悟：不同点：分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量的平均值.
联系：两者可以从整体上刻画随机变量；可以利用离散型随机变量的分布列求均值.
例 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该环节中所得分数的分布列与均值.
【解】 根据题意，设X表示该嘉宾所得分数，则X的可能取值为－4，1，3，6.
所以P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X －4 1 3 6
P
所以E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
求离散型随机变量X的均值的步骤
某超市举行开业购物抽奖活动，活动规则是购物者先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为现金(单位：元).随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为优惠劵(单位：元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示该购物者在一轮抽奖中的现金和优惠劵，则E(ξ1)－E(ξ2)＝ 元.
解析：ξ1的分布列为
ξ1 1 2 3 4 5
P
所以E(ξ1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
ξ2的分布列为
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P eq \f(4,C)＝ eq \f(3,C)＝ eq \f(2,C)＝ eq \f(1,C)＝
所以E(ξ2)＝1.4×＝2.8.
综上，E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.
答案：0.2
探究点2 离散型随机数量的性质
例 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝ .
【解析】 由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
故E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝.
【答案】
[变设问]本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值.
解：E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，解得a＝15.
利用离散型随机变量性质解决问题的思路
若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ).
(2021·河北邢台高二月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为( )
ξ 0 1 2
P 0.4 2k k
A.3.2 B.3.4
C.3.6 D.3.8
解析：选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝3×0.8＋1＝3.4.
探究点3 离散型随机变量均值的应用
[问题探究]
离散型随机变量的均值在实际问题中有什么应用？
探究感悟：均值体现了随机变量的平均大小，利用均值的意义可以对一些实际问题如比赛成绩、投资收益、生产成本等作出预测，为决策问题提供依据.
例 (2021·新高考卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解】 (1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
利用离散型随机变量求解实际问题的步骤
(1)把实际问题概率模型化；
(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；
(3)利用公式求出相应均值；
(4)对照实际意义，根据所求均值下结论.
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各位体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
(1)哪种化验方案更好？
(2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次.方案乙中，若记化验次数为X，则X的可能取值为1，6.因为5人都不患病的概率为(1－0.1)5＝0.590 49，所以P(X＝1)＝0.590 49，
P(X＝6)＝1－0.590 49＝0.409 51，
从而E(X)＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
(2)若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E(Y)＝100E(X)＝304.755，
即方案乙的平均化验费用为304.755元.
当堂自测
1.随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝( )
X 0 1
P a
A. B. C. D.
解析：选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋1×a＝a＝.
2.(2021·北京市人大附中检测)一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元.已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A.39元 B.37元 C.20元 D.元
解析：选B.设这台机器生产一件产品获利ξ元.易知随机变量ξ的分布列为
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37.
3.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3).X的均值E(X)＝3，则a＋b＝ .
解析：因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，
所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
所以14a＋6b＝3.①
又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
所以6a＋3b＝1.②
所以由①②可知a＝，b＝－，所以a＋b＝－.
答案：－
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