(共23张PPT)
一元二次方程
1.1
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
A
C
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
x≥4
A
720(1＋x)2＝845
11
答 案 呈 现
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9
②
B
12
1
A
【2021秋·娄底娄星区】若方程(m－1)xm2＋1＋3x＋5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值等于( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
2
C
把关于x的一元二次方程2x(x－1)＝3x化成一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．2，5，0 B．2，－5，0
C．2，5，1 D．2，3，0
3
B
【2021·黑龙江】关于x的一元二次方程(m－3)x2＋
m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A．0 B．±3
C．3 D．－3
4
D
已知m是关于x的一元二次方程x2－x－2＝0的一个解，则2 022－m2＋m的值为( )
A．2 020 B．2 019
C．2 018 D．2 017
5
【点拨】
把x＝m代入方程x2－x－2＝0，得m2－m－2＝0，即m2－m＝2，∴2 022－m2＋m＝2 022－(m2－m)＝2 022－
2＝2 020.故选A.
【答案】A
【2020·南京期末】某企业2019年全年收入720万元，2021年全年收入845万元．设该企业全年收入的年平均增长率为x，可得方程：______________．
6
720(1＋x)2＝845
【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－
14＝0即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下左图)中大正方形的面积是
(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的
面积加上中间小正方形的面积，即4×
14＋52，据此易得x＝2.
7
那么在下面右边的三个构造图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构造图是________．(只填序号)
【点拨】
∵x2－4x－12＝0.
即x(x－4)＝12.
∴构造图②中大正方形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，易得x＝6.故答案为②.
【答案】②
若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则不等式kx－2k＋6≤0的解集为________．
8
【错解】x≤0或x≥4
【答案】x≥4
【点拨】
当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题容易忽视二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解.
已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0.
(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？
9
(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
结合题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．(不用求解)
(1)【中考·梅州】用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
解：设矩形的长为x cm.
∵矩形的周长为40 cm，∴矩形的宽为(20－x)cm.根据题意，得x(20－x)＝64.化成一般形式为x2－20x＋64＝0.
10
(2)在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张，求这个数学小组有多少名同学．
解：设这个数学小组有y名同学．则根据题意，
得y(y－1)＝90.化成一般形式为y2－y－90＝0.
11
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．
已知关于x的三个方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0有一个相同的实数根，且abc≠0，求a＋b＋c的值．
12
解：设x0是它们的相同实数根.
则ax02＋bx0＋c＝0，①
bx02＋cx0＋a＝0，②
cx02＋ax0＋b＝0.③(共28张PPT)
市场营销问题
1.4.2
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
A
5
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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9
某品牌服装平均每天可以售出20件，每件盈利40元．受疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价4元，平均每天就可以多售出8件，如果需要盈利1 200元，那么每件降价多少元？设每件降价x元，下列方程正确的是( )
1
A
某菜农在2021年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜．春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天)．
若该菜农想获得1 175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏________天．
2
5
【点拨】
设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售.
依题意，得(6＋0.5x)(400－10x)－40x－1 600＝1 175.
解得x1＝5，x2＝15(舍去).
即若该菜农想获得1 175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天.
为满足市场需求，中百超市在中秋节前夕购进价格为
6元/个的月饼．根据市场预测：该品牌月饼每个售价
8元时，每天能出售1 000个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌月饼的售价不能超过进价的200%.
3
(1)该品牌月饼每个售价为9元时，每天出售多少个？
解：1 000－(9－8)÷0.1×10
＝1 000－1÷0.1×10
＝1 000－100
＝900(个).
答：该品牌月饼每个售价为9元时，每天出售900个.
(2)该品牌月饼定价为多少元时，该超市每天的销售利润为3 200元？
解：设该品牌月饼定价为x元，则每个月饼的销售利润为(x－6)元，
每天可售出1 000－(x－8)÷0.1×10＝(1 800－100x)个.
依题意，得(x－6)(1 800－100x)＝3 200.
整理，得x2－24x＋140＝0.解得x1＝10，x2＝14.
又∵该品牌月饼的售价不能超过进价的200%，
∴x≤6×200%＝12.∴x＝10.
答：该品牌月饼定价为10元时，该超市每天的销售利润为3 200元.
商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了增加销售量，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
4
(1)若每台冰箱降价100元，则平均每天可售出________台冰箱；
16
【点拨】
∵每降低50元，平均每天就能多售出4台，
∴降价100元时，平均每天多卖出8台.
∴平均每天可卖出8＋8＝16(台).
故答案为16.
(2)商场要想在这种冰箱销售中平均每天盈利5 000元，每台冰箱应降价多少元？
【2020·苏州期末】某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有1 200个座位．如果票价定为100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少2张．要使得门票收入为245 000元，票价应定为多少元？
5
解：设票价应定为x元．依题意，得
[1 200－2(x－100)]x＝245 000.
2x2－1 400x＋245 000＝0.
解得x1＝x2＝350.
答：票价应定为350元.
某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克．已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y与销售价x之间的函数关系如图所示．
6
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
解：根据题意，得(x－10)(－2x＋60)＝150.
整理，得x2－40x＋375＝0.
解得x1＝15，x2＝25(不合题意，舍去).
答：该经销商想要每天获得150元的销
售利润，销售价应定为15元.
某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，每天销售量y与销售单价x满足一次函数关系．其部分对应数据如下：
7
销售单价x/元 … 20 30 40 …
每天销售量y/件 … 500 400 300 …
(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
销售单价x/元 … 20 30 40 …
每天销售量y/件 … 500 400 300 …
(2)相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元．当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8 000元？
解：设工艺厂试销该工艺品实际销售单价为x元.
依题意，得(x－10)(－10x＋700)＝8 000.
解得x1＝30，x2＝50(舍去).
答：当销售单价为30元时，利润为8 000元.
8
(1)若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？(用含A的代数式表示)
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份 用电量/千瓦时 交电费总金额/元
3月 80 25
4月 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
某小区放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为A类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为B类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12 t A类垃圾和4 t B类垃圾，每吨B类垃圾处理费是A类垃圾处理费的2倍，该小区每月A，B两类垃圾处理总费用为8 000元．
9
(1)求每吨A类垃圾处理费多少元？
解：设每吨A类垃圾处理费为x元，每吨B类垃圾处理
费为2x元.
依题意，得10×(12x＋4×2x)＝8 000.解得x＝40.
答：每吨A类垃圾处理费为40元.(共17张PPT)
矩形面积、百分率问题
1.4.1
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
x(x－12)＝864
A
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4
5
(21－3x)(10－2x)＝90
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C
【2020·南通】1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？若设长为x步，则可列方程：______________．
1
x(x－12)＝864
如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540 m2，设道路的宽为x m，则下列方程正确的是( )
A．(32－x)(20－x)＝540 B．32×20－20x－32x－x2＝540
C．32×20－20x－32x＝540 D．32×20－20x－32x＋2x2＝540
2
A
【2021·扬州邗江区一模】如图，在长为32 m、宽为12 m的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分，单位：m)，余下部分铺设草坪，要使草坪的面积为300 m2，则可列方程为( )
A．32×12－32x－12x＝300
B．(32－x)(12－x)＋x2＝300
C．(32－x)(12－x)＝300
D．2(32－x＋12－x)＝300
3
C
【2020秋·达州开江县期末】如图，有一块长21 m、宽10 m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90 m2.设人行通道的宽度为x m，根据题意可列方程：____________________.
4
(21－3x)(10－2x)＝90
【2021秋·长春二道区校级月考】2019年某县投入100万元用于“乡村振兴”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县投入“乡村振兴”144万元．
(1)求该县投入“乡村振兴”资金的年平均增长率；
5
解：设该县投入“乡村振兴”资金的年平均增长率为x.
依题意，得100(1＋x)2＝144.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：该县投入“乡村振兴”资金的年平均增长率为20%.
(2)若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“乡村振兴”多少万元．
解：144×(1＋20%)＝144×1.2＝172.8(万元).
答：2022年该县将投入“乡村振兴”172.8万元.
有一条长为60 cm的绳子，要把它围成一个长方形，设长方形的长为x cm.
(1)若要围成一个面积为200 cm2的长方形，该怎么围？
6
解：∵长方形的长为x cm，∴宽为(30－x) cm.
由题意，得x(30－x)＝200.x2－30x＋200＝0.
(x－10)(x－20)＝0.
∴x1＝10(舍去)，x2＝20.
∴所围成的长方形长为20 cm，宽为10 cm.
(2)能否围成一个面积为250 cm2的长方形？为什么？
解：不能围成一个面积为250 cm2的长方形．理由如下：
由题意，得x(30－x)＝250，
x2－30x＋250＝0.
∵b2－4ac＝(－30)2－4×250＝900－1 000＝－100<0，
∴方程无实数解.
∴不能围成一个面积为250 cm2的长方形.
【中考·百色】如图，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.
(1)求这个矩形地面的长；
7
解：设这个矩形地面的长是x m.
则依题意，得x(20－x)＝96.解得x1＝12，x2＝8(舍去).
答：这个矩形地面的长是12 m.
(2)有规格为0.80×0.80(单位：m)和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，价格分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
解：用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖所需的费用为
96÷(0.80×0.80)×55＝8 250(元).
用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用为
96÷(1.00×1.00)×80＝7 680(元).
∵8 250>7 680，
∴用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用较少.
【2021·重庆沙坪坝区校级二模】某芯片制造厂既生产传统的A型芯片又生产高性能的B型芯片，第一季度该厂A型芯片生产线的数量是B型芯片生产线数量的2倍，A型芯片每条生产线的平均产量是30万颗，B型芯片每条生产线的平均产量是15万颗．第一季度该厂A，B两种芯片的总产量是3 000万颗．
8
(1)第一季度该厂A，B两种芯片生产线的数量分别是多少条？
解：设第一季度该厂A型芯片生产线的数量是2x条，
则B型芯片生产线的数量是x条.
依题意，得30×2x＋15x＝3 000.
解得x＝40.∴2x＝2×40＝80.
答：第一季度该厂A型芯片生产线的数量是80条，
B型芯片生产线的数量是40条.(共21张PPT)
配方法(二次项系数不为1)
1.2.3
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
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A
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C
若将方程2x2＋6x－1＝0化成2(x＋m)2＋n＝1 的形式，则m＝________，n＝________.
3
4
－4
【点拨】
用配方法解下列方程：
(1)2x2＋7x－4＝0;
5
(2)2x2＋5x＝12；
(3)2x2－4x＝15;
(4)3(x－1)(x＋2)＝x＋4.
将关于x的方程5x2－6x＋k＝0化为(x＋a)2＝b的形式，并指出当k为何值时方程有实数根．
6
规定：a b＝(a＋3b)b，如：2 3＝(2＋9)×3＝33.若2 x＝1，则x＝________.
7
【点拨】
8
我们可以利用配方法求一些多项式的最值，如：2x2＋4x＋3＝2(x2＋2x＋1)＋1＝2(x＋1)2＋1，当x＝－1时，2x2＋4x＋3有最小值，为1；再如：－2x2＋4x－3＝
－2(x2－2x＋1)－1＝－2(x－1)2－1，当x＝1时，
－2x2＋4x－3有最大值，为－1.
(1)若代数式2x2＋8x＋m有最小值，为1，则m＝________；
(2)若代数式－2x2＋2x＋m有最大值，为2，则m＝_______；
9
9
(3)代数式2x2＋(2m＋4)x＋4m＋2有最小值，为0，求m的值；
(4)代数式ax2＋bx＋c，当a______0时，该代数式有最大值；当a______0时，该代数式有最小值．
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10
11(共29张PPT)
全章高频考点专训
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
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D
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9
12
已知方程(a＋2)x|3a|－4＋6ax＋1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值．
1
解：由题意得|3a|－4＝2且a＋2≠0.解得a＝2.
∴a的值为2.
若(a＋1)x|2a－1|＝5是关于x的一元二次方程，则a的值是多少，且该一元二次方程的解为多少？
2
解下列方程：
(1)6(x－1)2－54＝0; (2)x2－2x－3＝0；
3
解：移项，得
6(x－1)2＝54.
(x－1)2＝9.
则x－1＝3或x－1＝－3.
解得x1＝4，x2＝－2.
因式分解，得
(x－3)(x＋1)＝0.
∴x－3＝0或x＋1＝0.
解得x1＝3，x2＝－1.
(3)3x2－7x＋3＝0;
(4)3x(x－2)＝2x－4.
若关于x的一元二次方程x2＋4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞－4 B．m＞4
C．m≤－4 D．m＜4
4
D
已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
5
已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
6
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12＋x22＝8－3x1x2，求m的值．
如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为17 m)，另外三边利用学校现有总长为34 m的铁栏．
7
(1)若围成的面积为144 m2，试求出自行车车棚的长和宽；
解：设AB＝x m，则BC＝(34－2x)m，
依题意，得x(34－2x)＝144.整理，得x2－17x＋72＝0.
解得x1＝8，x2＝9.
当x＝8时，34－2x＝34－2×8＝18＞17，不合题意，舍去.
当x＝9时，34－2x＝34－2×9＝16＜17，符合题意.
答： 若围成的面积为144 m2，则自行车车棚的长为
16 m，宽为9 m.
(2)能围成面积为160 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：设AB＝y m，则BC＝(34－2y)m.
依题意，得y(34－2y)＝160.
整理，得y2－17y＋80＝0.
∵b2－4ac＝(－17)2－4×1×80＝－31＜0，
∴该方程没有实数根.
即不能围成面积为160 m2的自行车车棚.
阅读下面材料．
我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8＝(x＋3)2－1＝(x＋3＋1)(x＋3－1)＝(x＋4)(x＋2)．
8
(1)请仿照上述过程填空：
x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)]．
－1
5
－2
－3
1
－9
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
解：两个数的和等于一次项系数，两个数的积等于
常数项.
9
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)仿照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；
(2)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．
已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，
∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2.
∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝5.
10
【点拨】
将x＝a代入2x2＋x－2＝0中，再将等式变形，利用整体代入法求代数式的值.
解方程：(2x＋1)2－3(2x＋1)＝－2.
11
【点拨】
利用转化思想将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解.
已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求a的取值范围；
12
解：由题意得4(a－1)2－4(a2－7a－4)＝20a＋20≥0，
∴a≥－1.
(2)若x12＝x1x2，求方程的两个根及a的值．
【点拨】
本题运用分类讨论思想，解题的关键是利用根与系数的关系以及根的判别式建立方程或不等式.(共17张PPT)
因式分解法
1.2.6
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
A
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
A
C
A
11
答 案 呈 现
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9
C
下列方程中可以用提公因式法求解的是( )
A．x2－x＝0
B．2(x－3)2＋3x＝0
C．(x－3)2－2(x－3)＋1＝0
D．2x2－3x＋1＝0
1
A
用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
2
A
【中考·怀化】关于x的一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝2
3
C
4
C
若关于x的一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为( )
A．6 B．10
C．12 D．24
5
C
解方程(x－2)2＝3(x－2)最适当的方法应是( )
A．因式分解法 B．配方法
C．直接开平方法 D．公式法
6
A
7
①
④⑥
③⑤
②
已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3
C．－3或1 D．－1或3
8
【点拨】
设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0.
分解因式，得(y＋3)(y－1)＝0.解得y1＝－3，y2＝1.
当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而错选C.
【答案】A
【错解】C
解方程：
(1)(x－5)2＝16; (2)2y2＋4y＝y＋2；
9
解：开平方，
得x－5＝±4.
∴x＝5±4.
∴x1＝9，x2＝1.
(3)x2－2x－4＝0; (4)4x(x－3)＝x2－9.
整理，
得4x(x－3)－(x＋3)(x－3)＝0.
(x－3)[4x－(x＋3)]＝0.
∴x－3＝0或4x－(x＋3)＝0.
解得x1＝3，x2＝1.
小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
10
小敏： 两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6. 小霞：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
则x－3＝0或3－x－3＝0.
解得x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
解：小敏：×；小霞：×.
正确的解答过程：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0.
解得x1＝3，x2＝6.
解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0时，我们将x2－1作为一个整体．
设x2－1＝y，则原方程化为y2－3y＝0.
解得y1＝0，y2＝3.
当y＝0时，x2－1＝0，解得x＝1或x＝－1；
当y＝3时，x2－1＝3，解得x＝2或x＝－2.
综上，原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
模仿上述解方程的方法，求方程(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3＝0的解．
11
解：设x2＋2x＝m，则原方程化为m2－2m－3＝0，
∴(m－3)(m＋1)＝0.∴m－3＝0或m＋1＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝3时，x2＋2x＝3，即x2＋2x－3＝0.
∴(x＋3)(x－1)＝0.则x＋3＝0或x－1＝0.
解得x1＝－3，x2＝1；当m＝－1时，x2＋2x＝－1，
即x2＋2x＋1＝0.∴(x＋1)2＝0.解得x3＝x4＝－1.
综上，原方程的解为x1＝－3，x2＝1，x3＝x4＝－1.(共20张PPT)
公式法
1.2.4
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
10
＝
11
答 案 呈 现
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9
A
【2020秋·盐城期末】用公式法解关于x的一元二次方程3x2－4x＝8时，化方程为一般形式，当中的a，b，c依次为( )
A．3，－4，8 B．3，－4，－8
C．3，4，－8 D．3，4，8
1
B
2
D
3
A
用公式法解关于x的方程x2－2ax－3a2＝0，求得的解为__________________．
4
x＝3a或x＝－a
若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则b2－4ac和(2a＋b)2的关系是：b2－4ac_________
(2a＋b)2.(填“＞”“＜”或“＝”)
5
＝
用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－9＝0;
6
(2)x2＋4x－6＝0；
(3)3x2＋4x－6＝0;
(4)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
用公式法解方程：2x2＋3＝6x.
7
【点拨】
本题的易错之处在于没有将方程整理成一般形式，代错系数.
8
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出方程的根；
9
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
10
阅读下面的例题．分解因式：x2＋2x－1.
解：令x2＋2x－1＝0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a＝1，b＝2，c＝－1，
∴b2－4ac＝22－4×1×(－1)＝8>0.
11(共37张PPT)
利用一元二次方程解决实际问题的十种常见应用
阶段核心归类
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
1
2
3
4
5
6
7
8
10
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9
中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动．该超市从厂家购进A，B两种月饼进行销售，每周都用25 000元购进250盒A种月饼和150盒B种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A种月饼的售价比每盒B种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5 000元．
1
(1)求重百超市在第一周销售B种月饼每盒多少元；
王红梅同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入银行，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的钱又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．(不计利息税)
2
解：设第一次存款时的年利率为x.
根据题意，得[1 000(1＋x)－500](1＋90%x)＝530.
整理，得90x2＋145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，
x2≈－1.63(舍去).
答：第一次存款时的年利率约是2.04%.
“鲁山硒梨”在每年7、8、9月陆续成熟，农民专业合作社以原价每千克5元对外销售．为了减少库存，同时回馈广大消费者的厚爱，现决定降价销售，经过两次降价后，售价为每千克3.2元．
3
(1)求平均每次降价的百分率；
解：设平均每次降价的百分率为x.
依题意，得5(1－x)2＝3.2.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去).
答：平均每次降价的百分率为20%.
(2)某超市计划从该合作社购进一批“鲁山硒梨”(大于300千克)，由于购买量较大，合作社在每千克3.2元的基础上决定再给予两种优惠方案：方案一：不超过300千克的部分不打折，超过300千克的部分打八折；方案二：每千克优惠0.4元．
则该超市选择哪种方案更合算？请说明理由．
解：设该超市购进m(m＞300)千克“鲁山硒梨”，则选择方案一所需费用为3.2×300＋3.2×0.8(m－300)＝(2.56m＋192)(元)，
选择方案二所需费用为(3.2－0.4)m＝2.8m(元).
当2.56m＋192＞2.8m时，解得m＜800.
又∵m＞300，∴300＜m＜800.
当2.56m＋192＝2.8m时，解得m＝800.
当2.56m＋192＜2.8m时，解得m＞800.
∴该超市购进“鲁山硒梨”大于300千克且小于800千克时，选择方案二合算；该超市购进“鲁山硒梨”800千克时，选择两种方案费用相同；该超市购进“鲁山硒梨”大于800千克时，选择方案一合算.
一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量得竹竿长比城门宽4 m．旁边一个醉汉嘲笑他：“你没看城门高吗？竖着拿就可以进去啦！”结果竹竿竖着比城门高2 m．二人没办法，只好请教聪明人．聪明人教他们二人沿着城门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城门．你知道竹竿有多长吗？
4
解：设竹竿的长为x m.
∵横着比城门宽4 m，竖着比城门高2 m，
∴城门宽为(x－4)m，高为(x－2)m.
∵沿着对角斜着拿刚好可以进城门，
∴可列方程为(x－2)2＋(x－4)2＝x2.
解得x1＝2(舍去)，x2＝10.
答：竹竿有10 m长.
读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
5
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为
x－3.
根据题意，得x2＝10(x－3)＋x.即x2－11x＋30＝0.
解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜去世时的年龄为25岁，未到而立之年，
不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意.
答：周瑜去世时的年龄为36岁.
【2021秋·大连甘井子区月考】如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点M从点A出发，沿着AB→BC的方向以4 cm/s的速度向终点C匀速运动；点N从点B出发，沿着BC→CD的方向以3 cm/s的速度向终点D匀速运动；点M，N同时出发，当M，N中任何一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．点M运
动时间为t s，连接MN，△BMN的面积为
S cm2.
6
(1)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分．如图是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：
7
(1)2019年到2021年甜甜和她的妹妹在六一收到红包钱数的年平均增长率是多少？
解：设收到红包钱数的年平均增长率是x.
根据题意，得400(1＋x)2＝484.
解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%.
答：2019年到2021年甜甜和她的妹妹在六一收到红包钱数的年平均增长率是10%.
(2)2021年六一，甜甜和她的妹妹分别收到了多少元微信红包？
解：设甜甜收到了y元微信红包，则她的妹妹收到了(2y＋34)元微信红包.
根据题意，得y＋2y＋34＝484.
解得y＝150.
则2y＋34＝334.
答：2021年六一，甜甜和她的妹妹分别收到了150元和
334元微信红包.
如图，用一块长为100 cm，宽为60 cm的矩形纸片制作一个无盖的盒子，若在纸片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.
8
(1)底面的长AB＝__________cm，宽BC＝_________cm；(用含x的代数式表示)
(100－2x)
(60－2x)
【点拨】
根据题意，得
底面的长AB＝(100－2x)cm，
宽BC＝(60－2x)cm.
故答案为(100－2x)；(60－2x).
(2)当做成的盒子底面积为3 200 cm2时，求该盒子底面的长和宽．
解：根据题意，得
(100－2x)(60－2x)＝3 200.
整理，得x2－80x＋700＝0.
解得x1＝10，x2＝70(不符合题意，舍去).
∴100－2x＝80，60－2x＝40.
答：该盒子的底面长为80 cm，宽为40 cm.
某商店以20元的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y与销售价格x之间的函数关系如图中线段AB所示．
9
(1)求y与x的函数表达式；
(2)要使每天的销售利润达到800元，销售价格应定为每千克多少元？
解：根据题意，得
(x－20)(－x＋80)＝800.
整理，得x2－100x＋2 400＝0.
解得x1＝40，x2＝60.
答：销售单价应定为每千克40元或60元.
观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0……它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
10
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；
解：设该方程的两个根分别为x1，x1＋1，
∴x1(x1＋1)＝56.∴x1＝7，x1＋1＝8.
∴x1＋(x1＋1)＝－k＝15.∴k＝－15.
此时原方程为x2－15x＋56＝0，
因式分解，得(x－7)(x－8)＝0.
解得x1＝7，x2＝8.
(2)请写出第n个方程和它的根．
解：第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，
它的根为x1＝n－1，x2＝n.(共19张PPT)
直接开平方法
1.2.1
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
D
C
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
D
x1＝1，x2＝－3
A
11
答 案 呈 现
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9
D
C
C
12
13
14
习题链接
【2021春·崇左宁明县期末】方程x2＝4的根为( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝0 D．x＝±2
1
D
2
C
用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－1＝0 B．x2＝0
C．x2＋4＝0 D．－x2＋3＝0
3
C
4
B
【2021·岳阳二模】方程(x＋1)2＝4的根是_________
________．
5
x1＝1，
x2＝－3
6
A
【2020·南通模拟】关于x的一元二次方程(x＋a)2＝b能直接开平方求解的条件是( )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．a为任意实数或b<0
D．a为任意实数且b≥0
7
D
关于x的一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4 B．x－6＝－4
C．x＋6＝0 D．x＋6＝－4
8
D
【2021春·北京西城区校级期中】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的一个根，则此三角形的周长为( )
A．17 B．11
C．15 D．11或15
9
【点拨】
(x－3)2＝4.开方，得x－3＝±2.解得x1＝5，x2＝1.
若x＝5，则三角形的三边长分别为4，5，6，6－4＜
5＜6＋4，能构成三角形，其周长为4＋5＋6＝15；
若x＝1，则6－4＝2＞1，不能构成三角形.
综上，此三角形的周长是15.故选C.
【答案】C
【2021春·天津期中】求满足条件的x的值：
(1)3x2－1＝26；
解：移项，得3x2＝27.
则x2＝9.
∴x1＝3，x2＝－3.
10
已知关于x的方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是3，求k的值及另一个根．
11
若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两根分别为m＋1与2m－4.求：
(1)m的值；
12
用恰当的方法解方程：(3x－2)2＝(x＋4)2.
13
已知：(x2＋y2＋1)2－4＝0，求x2＋y2的值．
14
解：令m＝x2＋y2，则原方程可化为(m＋1)2＝4，
两边开平方，
得m＋1＝±2.∴m＝1或m＝－3.
即x2＋y2＝1或x2＋y2＝－3.
又∵x2＋y2≥0，
∴x2＋y2＝1.(共32张PPT)
几何动点问题
1.4.3
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
1
2
3
4
5
6
7
8
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习题链接
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝
7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
1
(1)如果点P，Q分别从点A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2
(2)如果点P，Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积能否等于7 cm2
2
如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)．那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2
3
如图，四边形ABCD是矩形，AD＝16 cm，AB＝6 cm，动点P，Q分别同时从点A，C出发．点P以3 cm/s的速度向点D移动，直到到达点D为止，点Q以2 cm/s的速度向点B移动．
4
如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝8 cm，点P从点A出发沿AB边以2 cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC边以1 cm/s的速度向终点C运动，一点到达终点后另一点也停止运动．
5
(1)几秒后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍？
解：设t s后，点P，D之间的距离是点P，Q之间的距离的2倍.
即PD＝2PQ.
∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝∠B＝90°，
∴PD2＝AP2＋AD2，PQ2＝BP2＋BQ2.
∵PD2＝4PQ2，∴82＋(2t)2＝4[(10－2t)2＋t2].解得t1＝3，t2＝7.
∵当t＝7时，10－2t＜0，
∴t＝7不符合题意，舍去.∴t＝3.
答：3秒后，点P，D的距离是点P，Q的距离的2倍.
(2)几秒后，△DPQ的面积是24 cm2
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s.动点P和动点Q同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点就都停止运动．设运动的时间为t s.
6
(1)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
(2)当t＝3时，P，Q两点之间的距离是多少？
如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，两点均停止运动．设P点运动时间为t s.
7
如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB＝BC＝10 cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1 cm/s的速度进行直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，连接PQ与直线AC相交于点D，连接PC，设P点运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2.
8
(1)求出S关于t的函数关系式；
(2)当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC
(3)作PE⊥AC于点E，当点P，Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．若DE的长度为定值，请求出该定值为多少？(共23张PPT)
配方法(二次项系数为1)
1.2.2
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
D
D
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
A
1
11
答 案 呈 现
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9
(x－4)2＝9
12
【2021·宣城宣州区校级开学】用配方法解关于x的一元二次方程x2－8x＋5＝0，将其化成(x＋a)2＝b的形式，则变形正确的是( )
A．(x＋4)2＝11 B．(x－4)2＝21
C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11
1
D
将关于x的一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x－a)2＝b的形式，那么a＋b的值为( )
A．9 B．11
C．14 D．17
2
D
已知关于x的一元二次方程x2－8x＋q＝0可以配成
(x－4)2＝7，那么关于x的一元二次方程x2－8x＋q＝2可以配成____________．
3
(x－4)2＝9
【中考·南通】用配方法解关于x的一元二次方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( )
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
4
D
用配方法解关于x的一元二次方程x2－8x＋15＝0的过程中，配方正确的是( )
A．x2－8x＋(－4)2＝1
B．x2－8x＋(－4)2＝31
C．(x＋4)2＝1
D．(x－4)2＝－11
5
A
如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋n＝0可以配方成
(x＋m)2＝3，那么(n－m)2 022＝________．
6
1
【点拨】
∵x2＋4x＝－n，∴x2＋4x＋4＝4－n，
即(x＋2)2＝4－n.
又∵(x＋m)2＝3，∴m＝2，n＝1.
则(n－m)2 022＝(1－2)2 022＝1.故答案为1.
用配方法解下列方程：
(1)x2－4x＝8;
7
(2)x2－8x＋5＝0；
(3)x2＝8x－4;
(4)x2＋x－1＝0.
【2020·南京】解方程：x2－2x－3＝0.
8
解：移项，得x2－2x＝3.
配方，得x2－2x＋1＝3＋1，(x－1)2＝4.
开方，得x－1＝±2.解得x1＝3，x2＝－1.
【点拨】
本题的易错之处是在配方时忽视等式的性质，忘了在等号右边加1.
已知关于x的一元二次方程x2＋5x＋m2－4m＝0有一个根是－1，求m的值．
9
把关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0配方，得(x＋m)2＝.
(1)求常数m和p的值；
10
(2)求出此方程的解．
11
【点拨】
12
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x＋3)(x＋7)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋a)－b][(x＋a)＋b]＝5.
(x＋a)2－b2＝5，(x＋a)2＝5＋b2，直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d.
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为________，________，________，________；
5
2
－2
－8
(2)请用“平均数法”解方程：(x－5)(x＋3)＝6.(共25张PPT)
一元二次方程的根的判别式
1.2.5
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
－4
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
A
A
A
11
答 案 呈 现
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9
k＞－3且k≠1
A
C
D
12
D
13
习题链接
方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝________，b＝________，c＝________，b2－4ac＝________.
1
2
－7
－4
81
【2021·永州模拟】关于x的一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的判别式的值为________．
2
－4
3
C
4
C
关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
5
【点拨】
b2－4ac＝[－(k＋3)]2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8.
∵(k＋1)2≥0，∴(k＋1)2＋8＞0，
即b2－4ac＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
【答案】A
已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝1有两个实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥2
C．k＜2 D．k＞2
6
A
【点拨】
整理，得x2－2x＋k－1＝0.∴a＝1，b＝－2，c＝k－1.
根据题意，得b2－4ac＝(－2)2－4(k－1)≥0，解得k≤2.
故选A.
如果关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______________．
7
k＞－3且k≠1
【点拨】
根据题意，得b2－4ac＝42－4(k－1)×(－1)＞0且k－1≠0，解得k＞－3且k≠1.
【中考·荆州】若关于x的一次函数y＝kx＋b的图像不经过第二象限，则关于x的一元二次方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8
A
小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是( )
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1
D．有两个相等的实数根
9
A
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m≤2
C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
10
【点拨】
【答案】D
【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
11
(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
解：由(1)知k的最大整数值为2，
此时方程x2－3x＋k＝0为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
∵一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，
【2021·汕头金平区模拟】已知关于x的一元二次方程
x2－(k＋1)x＋2k－3＝0.
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
12
证明：∵b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4(2k－3)＝k2＋2k＋
1－8k＋12＝k2－6k＋13＝(k－3)2＋4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)等腰三角形ABC中，AB＝3，若边AC，BC的长为方程x2－(k＋1)x＋2k－3＝0的两个实数根，求k的值．
解：①当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
∴x2－(k＋1)x＋2k－3＝0的一个解为x＝3.
将x＝3代入方程，得9－3(k＋1)＋2k－3＝0.
解得k＝3.
②当AB＝3为底时，则AC，BC为三角形的两条腰，
∴方程x2－(k＋1)x＋2k－3＝0有两个相等的实数根.
由(1)得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，
故这种情况不存在.
综上所述，k＝3.
13(共25张PPT)
与一元二次方程相关的九种解法
阶段核心方法
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
B
1
2
3
4
5
6
7
8
10
C
11
答 案 呈 现
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9
B
12
13
14
习题链接
【2021春·北京房山区期末】关于x的方程(x－3)2＝1的解为( )
A．x＝1或x＝－1 B．x＝4或x＝2
C．x＝4 D．x＝2
1
B
【2021春·广州越秀区校级期中】解方程：7(x－4)2＝28.
2
解：整理，得(x－4)2＝4.
开方，得x－4＝2或x－4＝－2.
解得x1＝6，x2＝2.
【2021春·合肥长丰县期末】解方程：x2＋4x－7＝0.
3
4
【2021·成都新都区模拟】关于x的一元二次方程x(x－3)＝x－3的解是( )
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x＝0
5
C
【点拨】
移项，得x(x－3)－(x－3)＝0.则(x－3)(x－1)＝0.
∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1.故选C.
解下列一元二次方程：
(1)16x2－9＝0;
6
(2)3x(x－1)＝2－2x.
7
B
用公式法解下列方程：
(1)x2－6x＋7＝0;
8
(2)4x2－3x－5＝x－2.
解方程：6x2＋19x＋10＝0.
9
解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
解：整理，得[(x－1)(x－4)]·[(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
10
11
【点拨】
解方程：3x4－5x3＋4x2－5x＋3＝0.
12
13
【点拨】
本题利用倒数换元法将所求方程转化为一元二次方程，解分式方程求出根后要检验.
解方程：(x－2 021)(x－2 022)＝2 023×2 024.
14
【点拨】
解本题也可采用换元法．设x－2 022＝t，则x－2 021＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2 023×2 024，先求出t，进而求出x.(共27张PPT)
一元二次方程的根与系数的关系
1.3
苏科版 九年级上
第1章 一元二次方程
D
B
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
A
－5
11
答 案 呈 现
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9
2
B
A
D
A
12
13
14
15
习题链接
【2021·玉林】已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则( )
A．x1＋x2＜0 B．x1x2＜0
C．x1x2＞－1 D．x1x2＜1
1
D
已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
2
B
【中考·淄博】若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
3
A
【2021·贵港】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝5，则k的值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
4
D
【2021·安宁二模】若x1，x2是一元二次方程x2－4x－
5＝0的两根，则x1·x2的值为________．
5
－5
6
【2020·泸州】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是________．
7
2
若关于x的一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是( )
A．4 B．2
C．1 D．2或1
8
A
已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是2，则此方程的另一个根为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9
B
【中考·包头】已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是( )
A．34 B．30
C．30或34 D．30或36
10
【点拨】
当a＝4时，b<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴4＋b＝12.∴b＝8，不符合题意；
当b＝4时，a<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋a＝12.∴a＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴a＋b＝12，ab＝m＋2.
∴a＝b＝6.
∴m＋2＝36.解得m＝34.故选A.
【答案】A
关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，则k的值为( )
A．0或2 B．－2或2
C．－2 D．2
11
【点拨】
∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝k－1，x1x2＝－k＋2.
∵(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，
即(x1＋x2)2－2x1x2－4＝－3.
∴(k－1)2＋2k－4－4＝－3.
解得k＝±2.
∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝[－(k－1)]2－4×1×(－k＋2)＝k2＋2k－7≥0，
当k＝2时，b2－4ac＝1＞0，符合题意，当k＝－2时，b2－4ac＝－7＜0，不符合题意．∴k＝2.故选D.
【答案】D
【中考·随州】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
12
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
解：∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2k＋1＝3.解得k＝1.
∴原方程为x2－3x＋2＝0，
因式分解，得(x－2)(x－1)＝0.
解得x1＝1，x2＝2.
【2021春·招远期末】已知关于x的一元二次方程kx2＋x－3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
13
(2)设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1＋x2)2＋x1·x2＝4，求k的值．
【2021秋·沧州青县月考】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0，实数a，b满足a－b＝－3.
(1)求证：无论a，b为何值，该方程总有两个不等的实数根；
14
证明：∵a－b＝－3，∴a＝b－3.
∴b2－4ac＝b2－4a＝b2－4(b－3)＝(b－2)2＋8.
∵(b－2)2≥0，∴b2－4ac＞0，
∴无论a，b为何值，该方程总有两个不等的实数根.
(2)若方程的一个根为1，求a的值及另一个根．
【2021秋·常州期末】已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
15
(2)设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2＋β2－αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
