(共19张PPT)
圆内接四边形
2.4.3
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
B
A
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A
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10
C
60
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答 案 呈 现
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9
C
80
下列说法中正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
1
B
下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
2
A
【2021·盐城】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝________°.
3
80
【2021·海南】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数为( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
4
A
5
C
【2021·常州金坛区模拟】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝60°，则∠ADC＝________°.
6
60
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
7
C
【2020秋·南京秦淮区校级月考】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC，BD是四边形ABCD的对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点 E．求证：EC＝AC.
8
证明：∵AE∥BC，
∴∠E＋∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠ECB＝180°.∴∠E＝∠BAD.
∵∠BCA＝∠BAD，
∴∠E＝∠CAE.∴EC＝AC.
【2020·苏州张家港模拟】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.
9
(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.
证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.
∴∠ACB＝90°－∠CBD.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.
∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.
∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.
如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是AD延长线上一点，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE.
10
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠3＋∠ADC＝180°，∴∠3＝∠ABC.
∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ABC.
∴∠2＝∠3.即DC平分∠BDE.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
11
(1)求证：MD＝ME；
证明：在Rt△ABC中，
∵M是AC的中点，∴MA＝MB.
∴∠A＝∠ABM.连接DE，则四边形ABED是⊙O的内接
四边形，∴∠A＋∠BED＝180°，∠ABE＋∠ADE＝180°.
∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∠BED＋∠MED＝180°，
∴∠A＝∠MED，∠ABE＝∠MDE.
∵∠A＝∠ABM，即∠A＝∠ABE，
∴∠MDE＝∠MED.∴MD＝ME.
(2)连接OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．
证明：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠A＝60°，∴∠ABM＝60°.
∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形.
∴∠BOE＝60°.∴∠BOE＝∠A.∴OE∥AC.
同理可得OD∥BM.∴四边形ODME是平行四边形.
∵OD＝OE，∴四边形ODME是菱形.(共17张PPT)
构造圆的基本性质的基本图形的六种常用作辅助线的技巧
阶段核心技巧
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
1
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如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC，若∠DOE＝72°，求∠A的度数．
1
解：如图，连接OB.∵点B，E在⊙O上，CD是⊙O的直径，
∴OB＝OE＝OC.
又∵AB＝OC，∴OB＝AB＝OE，
∴∠A＝∠AOB，∠E＝∠EBO.
又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，∴∠EBO＝∠E＝2∠A.
又∵∠DOE＝∠A＋∠E，
∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°，
∴∠A＝24°.
【2021秋·南京月考】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径．
2
如图，在⊙O中，OA，OB是⊙O的半径，C是优弧AB的中点，AD＝BE，求证：CD＝CE.
3
︵
︵
如图，点A，B，C是⊙O的三等分点．
(1)求∠AOB的度数；
4
︵
︵
︵
(2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
【2021·南阳淅川县一模】如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，B是AC上一点，且DF＝BC，连接AB，BC，CD.
5
︵
︵
︵
(1)求证：△CDE≌△ABC；
︵
︵
(2)若AC是⊙O的直径，填空：
①当∠E＝________时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝________时，四边形ABCD为正方形．
60°
45°
正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证：
6
(1)四边形EBFD是矩形；
证明：如图，连接BD.∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°，
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°，
∴四边形EBFD是矩形.
(2)DG＝BE.
证明：如图，连接OA.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO⊥BD，即∠AOD＝90°.∴∠AFD＝45°
(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
∵∠EDF＝90°，∴∠DGF＝∠DFG＝45°，
∴DG＝DF.
∵四边形EBFD是矩形，∴BE＝DF.∴DG＝BE.(共19张PPT)
确定圆的条件
2.3
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
D
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2
3
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6
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8
3
答 案 呈 现
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9
C
C
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
1
C
确定一个圆的条件是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．过两个已知点
D．过一个三角形的三个顶点
2
D
平面上有四个点，过其中任意三个点一共能确定圆的个数为( )
A．0或3或4 B．0或1或3
C．0或1或3或4 D．0或1或4
3
【点拨】
如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作1个圆，当三点在同一直
线上时，可以作3个圆，当四点不共圆时，
且没有三点共线时，能确定4个圆.
【答案】C
【2020秋·盐城亭湖区校级期末】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为________．
4
5
【2021·南京鼓楼区一模】如图，O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，M，N分别是OD，OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝_______．
5
8
【2021·北京海淀区校级模拟】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)，若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有________个．
6
3
7
【点拨】
由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，当△ABC为锐角三角形时，如图中的△A2BC.连接A1A2，交BC于点D.
∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，
∴A1A2垂直平分BC.
∴A1A2是⊙O的直径，BD＝CD＝1.
【答案】C
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，求⊙O的半径．
8
解：连接OA，OB.
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，
∴AO⊥BC，∴∠BAO＝60°.
又∵OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，
∴OA＝AB＝8，即⊙O的半径为8.
如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为(2，2)，(－6，4)，(2，－4)．
(1)求△ABC的外接圆的圆心M的坐标；
9
解：∵点B，C的坐标分别为(－6，－4)，(2，－4)，
∴线段BC的垂直平分线是直线x＝－2.
∵点A，C的坐标分别为(2，2)，(2，－4)，
∴线段AC的垂直平分线是直线y＝－1，
∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为(－2，－1).
(2)求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．
【2020·嘉兴】如图，等边三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，求它们重叠部分的面积．
10
解：过点O作AM⊥BC，垂足为M，如图，易知重叠部分是正六边形，连接点O和正六边形的各个顶点，则所得的三角形都是全等的等边三角形.(共17张PPT)
圆周角的概念与圆周角定理
2.4.1
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
B
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C
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35
C
11
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9
40°或140°
C
下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
1
C
【2021·阜新】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O＝70°，则∠C的度数是( )
A．40°
B．35°
C．30°
D．25°
2
B
【2021·常州】如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
3
C
4
C
【2021·丹阳二模】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为________°.
5
35
【2021·盐城建湖县二模】如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，若∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是( )
A．15°
B．24°
C．39°
D．63°
6
C
在⊙O中，点A，B在⊙O上，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角为____________．
7
40°或140°
【点拨】
如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为E.求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.
8
证明：连接AC.∵圆周角∠BAC与圆心角∠BOC同是BC
所对的角，
∴∠BOC＝2∠BAC.
∵圆周角∠ACD与圆心角∠AOD同是AD所对的角，
∴∠AOD＝2∠ACD.
在Rt△ACE中，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，
即∠BAC＋∠ACD＝90°.∴∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋
2∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD)＝2×90°＝180°.
︵
︵
【2020·襄阳】在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，求弦BC所对的圆周角的度数．
9
︵
如图，点A，B，C，D在⊙O上，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°.
∴∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°
(同弧所对的圆周角相等).
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
10
(2)求证：∠1＝∠2.
证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.
∵∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，
∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.
∵∠BAE＝∠CDB＝∠CBD，
∴∠1＝∠2.
【2021·临沂】如图，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC与AD相交于点E.求证：
(1)AD∥BC；
11
证明：连接BD.∵AB＝CD，
∴∠ADB＝∠CBD.
∴AD∥BC.
︵
︵
︵
︵
︵
(2)四边形BCDE是菱形．
证明：设BD交OC于点F.
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BCF.
∵BC＝CD，OC经过圆心，∴BF＝DF，OC⊥BD.
又∵∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF(AAS)，∴DE＝BC.
∵AD∥BC，即DE∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形.
又∵OC⊥BD，即EC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形.
︵
︵(共26张PPT)
圆锥的侧面积
2.8
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
1
50
1
2
3
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5
D
6
7
8
10
C
B
6
11
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9
B
A
【2020·宿迁】用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
1
1
2
50
3
A
【中考·荆州】如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且BDl∶ADl＝1∶3(BDl表示BD的长)，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )
A．1∶3 B．1∶π
C．1∶4 D．2∶9
4
︵
︵
︵
︵
︵
【点拨】
【答案】D
︵
︵
5
B
【2021·淮安】若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是________．
6
6
【2021·启东模拟】如图是某几何体的三种视图，其表面积为( )
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
7
B
8
【点拨】
误认为以斜边所在的直线为轴将直角三角形旋转一周所形成的几何体的表面积是两个共底面的圆锥的侧面积与一个底面积之和.
【答案】C
【2020秋·盐城赣榆区期中】如图①，已知圆锥的母线长l＝16 cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°.
9
(1)求圆锥的底面半径；
(2)求圆锥的表面积．(结果保留π)
【2021·邵阳】某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1∶2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
10
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)
如图，有一块圆形铁皮，BC是⊙O的直径，AB＝AC，在此圆形铁皮中剪下一个扇形(阴影部分)．
11
︵
︵
(1)当⊙O的半径为2时，求这个扇形(阴影部分)的面积；(结果保留π)
︵
︵
(2)当⊙O的半径为R(R＞0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
【点拨】
本题的难点在于第(2)问，解决问题的关键是找到余料中所能剪出的最大圆并求其周长，再与扇形的弧长比较大小来判断.(共21张PPT)
弧长及扇形的面积
2.7
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
2π
B
1
2
3
4
5
2π
6
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8
10
D
C
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9
D
【2021·泰州】扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为________cm.
1
2π
【2021·广州】一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径为24 cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是( )
A．8π cm
B．16π cm
C．32π cm
D．192π cm
2
B
︵
将一个半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )
A．30 B．60
C．105 D．210
3
D
【2021·盘锦】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________．(结果保留π)
4
2π
5
D
6
C
已知AB所对的圆周角为30°，AB所在圆的半径为30cm，求AB的长．
7
︵
︵
︵
︵
︵
︵
【易错总结】
︵
【2021·扬州】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E.
8
(1)试判断直线CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
解：直线CD与⊙B相切．过点B作BF⊥CD，
垂足为F.∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB.
解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°.
∵AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°.
在Rt△BAD中，AB＝2，设AD＝x，则BD＝2x.
【中考·长春】如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G.
9
(1)求证：△ABE≌△BCG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，AB是⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，AB＝BC，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF.
(2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求BF的长．(结果保留π)
︵
︵
【2020·黔西南州改编】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，D是AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，求图中阴影部分的面积．
10
︵(共24张PPT)
与圆有关的概念
2.1.2
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
10
C
D
12
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9
140°
B
30
12
13
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下图中∠ACB是圆心角的是( )
1
C
【2020秋·武安期末】如图，是⊙O弦的是( )
A．线段AB
B．线段AC
C．线段AE
D．线段DE
2
A
如图，图中的弦共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3
B
如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任意一点(不包括点O，B)，CD，EF是过点P的两条弦，则图中的弦有____________________，以B为端点的劣弧有______________________．
4
AB，CD，EF
BD，BC，BE，BF
︵
︵
︵
︵
【2020秋·扬州期末】A，B是半径为5 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是( )
A．AB＞0 B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10
5
D
如图，在平面直角坐标系中，动点P在以点O为圆心，10为半径的圆上运动，整数点(横、纵坐标均为整数)P有______个．
6
12
如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是正方形．
(1)求证：OC＝OF；
7
证明：如图，连接OD，OE，则OD＝OE.
∵∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，
∴Rt△ODC≌Rt△OEF(HL)，
∴OC＝OF.
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，点H在半圆上，点K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．
解：如图，连接OH.∵CF＝EF＝2，OC＝OF，
∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝OF2＋EF2＝12＋22＝5.
设FG＝GH＝x，
则OG＝x＋1.∵OG2＋GH2＝OH2，
∴(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去).
∴S正方形FGHK＝FG2＝12＝1.
【2021春·荷泽巨野县期末】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆．其中错误的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8
【点拨】
①直径是弦，故错误，符合题意；②半圆是弧，正确，不符合题意；③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；④圆心相同，半径相等的两个圆是等圆，故错误，符合题意，错误的有3个.
【答案】C
【2020秋·咸宁嘉鱼县期末】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数为_____．
9
140°
如图，OA，OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝______°.
30
10
【点拨】
如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF.OE与OF相等吗？为什么？
11
解：OE与OF相等．理由如下：
连接OA，OB，则OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
又∵AE＝BF，
∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE＝OF.
如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，P是弦AB上一动点，当OP长为整数时，满足题意的P点共有几个？
12
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的⊙O交AB于点D，P是⊙O上一动点，连接AP，则AP的最大值和最小值分别是多少？
13
解：由题意知，AP为点A到⊙O上的距离，
如图，连接AO，OP，且AO交⊙O于点E.
在△APO中，
∵AP＋PO>AO＝AE＋EO，且PO＝EO.
∴AP>AE，且当点P与点E重合时有AP＝AE.
∴当点P在点E处时，AP取得最小值.(共28张PPT)
圆的认识
2.1.1
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
A
B
1
2
3
4
5
A
6
7
8
10
6.5 cm或2.5 cm
B
D
11
答 案 呈 现
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9
8 cm
B
C
12
B
8 cm＜r＜10 cm
D
13
14
15
答 案 呈 现
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3.5
平面内已知点P，以点P为圆心，3 cm为半径作圆，这样的圆可以作( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
1
A
【2021春·杭州萧山月考】下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是( )
A．矩形，菱形 B．矩形，正方形
C．菱形，正方形 D．平行四边形，菱形
2
B
【2021春·泰州兴化期末】已知⊙O的半径为4 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
3
C
【2020秋·徐州期末】已知⊙O的半径为3 cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
4
A
在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，⊙O的半径为10，则点P(－10，1)与⊙O的位置关系为( )
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外
C．点P在⊙O内 D．无法确定
5
B
6
【点拨】
【答案】D
已知⊙O的半径为6 cm，OP＝2 cm，则点P到⊙O上的最大距离为________．
7
8 cm
【2021·青海】点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是______________．
8
6.5 cm或2.5 cm
在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，0)，(a，0)，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A．当a＝－1时，点B在⊙A上
B．当a＜1时，点B在⊙A内
C．当a＜－1时，点B在⊙A外
D．当－1＜a＜3时，点B在⊙A内
9
【点拨】
如图．∵A(1，0)，⊙A的半径是2，
∴AC＝AE＝2.∴OE＝1，OC＝3.
A中当a＝－1时，点B在E处，即点B在⊙A上，正确；B中当a＝－3时，点B在⊙A外，即当a＜1时，点B在⊙A内错误；C中当a＜－1时，AB＞2，即点B在⊙A外正确；D中当－1＜a＜3时，点B在⊙A内正确.
【答案】B
A，B两点的距离为4厘米，用图形表示具有下列性质的点的集合，并指出它们是怎样的图形：
(1)到点A的距离等于3厘米的点的集合；
解：到点A的距离等于3厘米的点的集合，如图①；
10
(2)到点B的距离等于3厘米的点的集合；
解：到点B的距离等于3厘米的点的集合，如图②；
(3)到A，B两点的距离都等于3厘米的点的集合；
解：点C，D即为符合条件的点的集合，如图③；
(4)到A，B两点的距离都不大于3厘米的点的集合．
解：阴影部分即为符合条件的点的集合(含边界)，如图④.
如图，∠ABC＝∠ADC＝∠AEC＝90°.求证：点A，B，C，D，E在同一个圆上．
11
已知点C在线段AB上(不与点A，B重合)，过点A，B的圆记作⊙O1，过点B，C的圆记作⊙O2，过点C，A的圆记作⊙O3，则下列说法中正确的是( )
A．⊙O1经过点C B．点C在⊙O1的内部
C．点A在⊙O2的内部 D．点B在⊙O3的内部
12
【点拨】
∵点C在线段AB上(不与点A，B重合)，过点A，B的圆记作⊙O1，∴点C在⊙O1的内部，故A错误，B正确.∵过点B，C的圆记作⊙O2，∴点A在⊙O2的外部，故C错误；∵过点C，A的圆记作⊙O3，∴点B在⊙O3的外部，故D错误.
【答案】B
如图，已知矩形ABCD的边AB＝6 cm，AD＝8 cm.若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中有两个点在⊙A内，有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是_______________．
13
8 cm＜r＜10 cm
如图，若正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是( )
A．LA＞LB＞LC
B．LA＜LB＜LC
C．LB＞LC＞LA
D．LC＜LA＜LB
14
【点拨】
【答案】D
【2021·西昌模拟】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，4)，(3，0)，以点A为圆心，2为半径作⊙A，P为⊙A上一动点，M为OP的中点，则BM的最大值为________．
15
3.5
【点拨】(共18张PPT)
证明圆的切线的常用方法
阶段核心方法
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
1
2
3
4
5
6
7
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如图，⊙O的直径AB＝12，P是AB延长线上一点，且PB＝4，C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
1
证明：如图，连接OC.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，
∵PC2＋CO2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2，∴∠OCP＝90°，即PC⊥OC.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线.
如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
2
解：直线PD与⊙O相切．如图，连接PO.
∵AP＝AP，∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°，
∴∠POD＝∠OAP＋∠OPA＝60°.
∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即PD⊥OP.
∴PD与⊙O相切(经过半径的外端并且垂直于这条直径
的直线是圆的切线).
︵
︵
【2021·沈阳】如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，E是半径OA上一点(不与点O，A重合)．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA＝CD，∠ABC＝∠D.求证：AD是⊙O的切线．
3
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
又∵CA＝CD，∴∠D＝∠CAD.
又∵∠ABC＝∠D，∴∠ABC＝∠CAD.
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，即AD⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.
【2021·西宁】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD.求证：DF是⊙O的切线．
4
证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，
即∠ABC＋∠CBD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵∠ADB＝∠C，∴∠ABC＝∠ADB.
∵DF∥BC，∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB＋∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线.
【2021·通辽】如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
5
(1)求证：PD是⊙O的切线；
证明：连接OD.∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，
∵BD∥OP，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
解：由(1)知，△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD.
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB.
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，∴∠APO＝∠AOP.
∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC，垂足为E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B.求证：直线CD与⊙O相切．
6
证明：如图，过点O作OH⊥CD，垂足为H.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，
即AD⊥OA.
∵DO平分∠ADC，∴OH＝OA.
∴直线CD与⊙O相切.
已知：如图所示，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.
求证：CD是小圆的切线．
7(共25张PPT)
圆周角定理的推论
2.4.2
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
B
32
1
2
3
4
5
13°
6
7
8
10
①③
60°或120°
答 案 呈 现
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9
D
【2021·桂林】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠C的度数是( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
1
B
【2021·徐州】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝________°.
2
32
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥
C．②③④⑥ D．①③④⑤
3
【点拨】
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.因此①正确；∠AOC＝2∠ABC，∠AEC＝∠ABC＋∠BAD，若∠AOC＝∠AEC，则∠BAD＝∠ABC，则
AC＝BD，而由已知无法推断出AC＝BD，因此②错误；∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠CBD＝∠OBC.即BC平分∠ABD.因此③正确；
︵
︵
︵
︵
∵AD⊥BD，OC∥BD，∴OC⊥AD.∵点O为圆心，∴AF＝DF.因此④正确；∵AF＝DF，AO＝BO，
∴BD＝2OF.因此⑤正确；若△CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由已知无法推断出CF＝2OF，故⑥错误，因此①③④⑤一定成立，故选D.
【答案】D
【2021·宿迁】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E两点，B是CD的中点，则∠ABE＝_______．
4
13°
︵
【2021秋·泰州海陵区校级月考】如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法：①BD⊥AF；②AC平分∠BAF；
③FP⊥AB；④FP平分∠AFB.其中一定
正确的序号为________．
5
①③
6
60°或120°
【点拨】
如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2，∠AOC＝∠BOC.
【2021春·盐城亭湖区校级期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E.
7
(1)求证：E是BC的中点；
证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，即E是BC的中点.
(2)若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
【2020秋·扬州期末】如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
8
︵
(1)求证：CF＝BF；
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°.
∴∠2＝90°－∠ABC＝∠A.
又∵C是BD的中点，∴∠1＝∠A.
∴∠1＝∠2.∴CF＝BF.
︵
(2)若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．
︵
︵
︵
如图，已知ED是⊙O的直径且ED＝4，A(不与点E，D重合)是⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F是⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.
9
(1)求证：△EFB≌△ADE；
证明：如图，连接FA.∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.
∵BE＝AE，∴BF＝AF.
∵∠FEA＝∠FEB＝90°，
∴AF是⊙O的直径．∴AF＝DE.∴BF＝ED.
∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.
(2)当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．
解：四边形FCDE的最大面积为8.
【中考·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆形交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
10
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
证明：∵AB为半圆形的直径，
∴∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC是平行四边形.
又∵AB＝AC，∴平行四边形ABFC是菱形.
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．
解：设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x，
∵CE＝BE＝2，
∴BC＝4.
连接BD，如图，(共17张PPT)
圆中常见的计算题型
阶段核心题型
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
1
2
3
4
5
6
7
A
答 案 呈 现
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【2021·天津】已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝42°，D是⊙O上一点．
(1)如图①，若BD是⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的度数；
1
(2)如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的度数．
解：连接OD.∵CD∥BA，∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠B＝180°－69°＝111°，
∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝180°－42°－
111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°，即∠DOE＝54°.
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°.
∴∠E＝90°－∠DOE＝90°－54°＝36°.
【2021·河南】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为_______．
(结果保留π)
2
︵
︵
【2021·宜昌】“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2 cm的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 __________cm2.(结果保留π)
3
【2021·凉山州】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为________．(结果保留π)
4
【2021·青海】如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10 cm，AB＝16 cm.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为( )
A．1.0 cm/min B．0.8 cm/min
C．1.2 cm/min D．1.4 cm/min
5
A
如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的点C处有一个以点C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
6
解：修建的这条水渠不会穿过公园.
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题易得∠CBA＝45°，
∴∠BCD＝45°.
∴CD＝BD.
设CD＝x km，则BD＝x km.
由题易得∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2x km，
7(共21张PPT)
圆心角、弧、弦之间的关系
2.2.1
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
圆心
42°
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
C
36°
3
11
答 案 呈 现
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9
D
A
12
圆是中心对称图形，它的对称中心是________．
1
圆心
【2021秋·南京玄武区校级月考】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，若AB＝2DE，∠E＝14°，则AC的度数为________．
2
42°
︵
如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)( )
A．54° B．55°
C．56° D．57°
3
【点拨】
连接O1P，O2P，如图.∵点P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O2O1，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝
180°－∠O1PO2－∠O1O2P＝
∠180°－63°－63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°(只考虑小于90°的角).
【答案】A
【2020·苏州姑苏区月考】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
4
B
︵
︵
【2020秋·南京玄武区校级月考】已知弦AB把圆周分成1∶9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为______．
5
36°
如图，AB，DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝________．
6
3
如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )
①AB＝CD；②BD＝AC；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7
D
︵
︵
︵
︵
如图，在⊙O中，AC＝2AB，则下列数量关系正确的是( )
A．AB＝AC
B．AC＝2AB
C．AC＜2AB
D．AC＞2AB
8
︵
︵
【点拨】
如图．连接BC.
∵AC＝2AB，∴AB＝BC.
∴AB＝BC.∴AB＋BC＞AC.
∴2AB＞AC.
【答案】C
︵
︵
︵
︵
【2021秋·扬州邗江区校级月考】如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC.
9
证明：∵AB＝CD，
∴AB＝CD.
∴AB－BD＝CD－BD.
∴AD＝BC.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AC＝DB.求证：∠OEF＝∠OFE.
10
︵
︵
证明：连接OA，OB，如图.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
∵AC＝DB，∴∠AOE＝∠BOF.
︵
︵
如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G.
11
(1)求证：EF＝FG；
证明：连接AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B.
∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠GAF，∴EF＝FG.
︵
︵
︵
︵
(2)若EG为140°，求∠EGB的度数．
︵
︵
(1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD；
12
︵
证明：连接AC，BD.∵C，D是AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∴AC＝CD＝BD.
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
︵
︵
︵
︵
(2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：成立．证明过程同(1).(共33张PPT)
全章高频考点专训
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
D
B
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
A
B
11
答 案 呈 现
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9
A
C
C
D
B
12
A
13
14
15
16
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15°或75°
下列说法中正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
1
D
【2021·柳州】往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )
A．5 cm
B．8 cm
C．10 cm
D．12 cm
2
B
【2021·南通海门市模拟】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE＝( )
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
3
C
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点E在AB上，过点E的切线分别交PA，PB于点C，D，若PC＋CE＝4，则△PCD的周长为( )
A．5
B．7
C．8
D．10
4
C
︵
【2020秋·苏州期末】已知⊙O的半径为4 cm，若OA＝5 cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．不能确定
5
A
【2020秋·扬州邗江区期末】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相交，则d的取值范围为( )
A．d＝0 B．d＜5
C．d＝5 D．d＞5
6
B
【2021·贵阳】如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数为( )
A．144°
B．130°
C．129°
D．108°
7
A
如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，且AE＝DE，BC＝CE，连接CD.
8
(1)求∠ACB的度数；
解：在⊙O中，∠A＝∠D.
∵∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC(ASA).
∴BE＝CE.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC是等边三角形．∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC，垂足为F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC是等边三角形，∴∠GEF＝60°.
∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝DE＝3，∴CF＝AF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.
9
【点拨】
【答案】C
【2021·牡丹江】一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3 cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为( )
A．45 cm B．40 cm
C．35 cm D．30 cm
B
10
11
D
【2020秋·无锡期末】已知一个圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．12π cm2 B．16π cm2
C．20π cm2 D．24π cm2
12
A
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
13
证明：如图，连接AE.
∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝90°.
∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)若∠B＝70°，求DE的度数；
解：如图，连接OD，OE.在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝90°－∠B＝
90°－70°＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°.
∴DE的度数为40°.
︵
︵
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD.由(1)知BE＝CE，
∴BC＝2BE＝6.设AC＝x，则AD＝x－2.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.
在Rt△ADC中，∵AD2＋CD2＝AC2，
∴(x－2)2＋32＝x2.解得x＝9.即AC的长为9.
如图，AB是⊙O的直径，PQ是⊙O的切线，切点为E，AC⊥PQ，垂足为C.
(1)求证：AE平分∠BAC；
14
证明：如图，连接OE.
∴OA＝OE.∴∠OEA＝∠OAE.
∵PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥OE.
又∵AC⊥PQ，∴OE∥AC.∴∠OEA＝∠EAC.
∴∠OAE＝∠EAC.∴AE平分∠BAC.
解：如图，连接BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAE＝∠EAC＝30°.
∴AB＝2BE.
15
15°或75°
【点拨】
【2020·咸宁】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F.
16
(1)求证：BF＝DF；
证明：连接OD，如图.
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，∴∠ODF＝90°.
∴∠ADO＋∠BDF＝90°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＋∠BDF＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠OAD＋∠B＝90°.
∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF.
(2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径．(共28张PPT)
正多边形与圆
2.6
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
24
1
2
3
4
5
72
6
7
8
10
A
D
11
答 案 呈 现
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9
30°
12
【2020秋·江阴期末】一个半径为4 cm的圆内接正六边形的周长等于________cm.
1
24
【2021·绥化】边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是________．
2
【2021·徐州模拟】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是________．
3
30°
【2021·南京玄武区二模】如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB，CD边分别交于点P，Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为________°.
4
72
【2020秋·苏州期末】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为Δn，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则Δ8－Δ12＝________．
5
6
D
如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
(1)正三角形；(2)正方形；(3)正六边形；(4)正八边形．
7
解：(作法不唯一)如图所示.
8
【答案】A
【点拨】
【2021·南京鼓楼区二模】如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP，DP与BC分别交于点M，N.
(1)∠BAM＝________°；
9
15
【点拨】
在正六边形ABCDEF中，∠DAB＝60°，在正
方形APDQ中，∠DAP＝45°，∴∠BAM＝∠DAB－
∠DAP＝60°－45°＝15°.
解：如图，连接BE交AD于点O，连接OP交BC于点H.
在正六边形ABCDEF 中，
∵CD＝BC＝AB＝4，
∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，
AO，BO 平分∠BAF，∠ABC，AO＝BO，
【2021·武汉模拟】如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC的中点，连接AE，DE，CE.
10
︵
(1)求证：AE＝DE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB＝CD，
∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∴AB＋BE＝CD＋EC，
∴AE＝DE，∴AE＝DE.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
(2)若CE＝1，求四边形AECD的面积．
解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC.
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°－∠DEC＝45°，∴DE＝DF.
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝∠CDE＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF.
∵∠AED＝∠AOD＝45°，∴∠AED＝∠F＝45°.
如图，⊙O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t s.
11
(1)求证：四边形PEQB是平行四边形；
证明：由题意易得AB＝BC＝CD＝DE＝
EF＝FA＝4 cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝
∠D＝∠DEF＝∠F.
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度
沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t cm，
PF＝QC＝(4－t) cm，
(2)①当t＝____时，四边形PBQE为菱形；②当t＝______时，四边形PBQE为矩形．
2
0或4
如图①②③④分别是⊙O的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n边形，点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
12
(1)图①中，∠APN＝________；
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________；
60°
90°
108°
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n(n≥3)的关系．
(直接写答案)(共20张PPT)
切线长定理
2.5.4
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
D
D
1
2
3
4
5
A
6
7
8
3
1
答 案 呈 现
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9
D
如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若PA＝5，则PB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
1
D
【中考·益阳】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
2
D
3
D
4
A
【2021·哈尔滨模拟】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C在AB上，过点C的切线分别交PA，PB于点E，F.若△PEF的周长为6，则线段PA的长为________．
5
3
︵
【2020·青海】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝________．
6
1
【点拨】
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点
分别为D，E，F，连接OD，OE，OF.
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
可得矩形EOFC，根据切线长定理，得CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形.
设CE＝CF＝r，
则AF＝AD＝AC－FC＝3－r，
BE＝BD＝BC－CE＝4－r，
∵AD＋BD＝AB，
∴3－r＋4－r＝5，解得r＝1.
∴△ABC的内切圆半径r＝1.
【2021·盐城滨海县一模】如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点E在AB上，过点E的切线分别交PA，PB于点C，D.△PCD的周长为12，∠APB＝60°.求：
7
︵
(1)求PA的长；
解：∵CA、CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE(过圆外一点所画的圆的两条切线长相等).
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝
PD＋CE＋DE＋PC＝PD＋CA＋
DB＋PC＝PA＋PB＝2PA＝12，
即PA的长为6.
(2)求∠COD的度数．
(1)如图①，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系；
8
解：由切线长定理，得AE＝AH，
BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋
DG＝AH＋BF＋CF＋DH＝
AH＋DH＋BF＋CF＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD.
(2)如图②，四边形ABCD的三边与⊙O分别相切于点F，G，H，说明AB＋CD与BC＋AD的大小关系．
解：过点B作⊙O的切线，交AD于点M.
由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.
∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
∴AB＋CD＜BC＋AD.
已知：AB是⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，过点D的切线交BC于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；
9
证明：如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形.
∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠BOE＝∠OED＝60°.
∴△AOD和△BOE都是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.
∴△CDE是等边三角形.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.
∴∠ODF＝90°.
∴∠EDF＝90°－∠CED＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠CED＝180°－30°－
60°＝90°.∴DF⊥CE.∴CF＝EF.
(2)如图②，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．
解：CF与BF相等.当点E与运动至与点B重合时，
BC与⊙O只有一个公共点，即BC是⊙O的切线.
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF(过圆外一点所画的圆的两条切线长相等).
∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∴∠BDF＋∠FDC＝∠C＋∠DBF＝90°.
∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.(共25张PPT)
圆的切线的判定与性质
2.5.2
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
B
答 案 呈 现
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9
A
下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1
C
如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
2
A
【2021·镇江】如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于( )
A．27°
B．29°
C．35°
D．37°
3
A
【2021·苏州二模】如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A，C，点D在⊙O上，则∠B的度数是( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
4
C
5
如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
6
【点拨】
【答案】B
【2021·郴州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.
7
︵
(1)求证：直线DE与⊙O相切；
证明：连接OD，如图.
∵D是BC的中点，∴OD⊥BC.
∵DE∥BC，∴DE⊥OD，
∴直线DE与⊙O相切
(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).
︵
(2)若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB为半径作⊙D.求证：直线AC与⊙D相切．
8
证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
又∵AD平分∠BAC，BD⊥AB，
∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于
⊙D的半径，
∴直线AC与⊙D相切.
【中考·绥化】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.求证：
9
(1)DE⊥AE；
证明：连接OD，如图.
∵OA＝OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE⊥AE.
(2)AE＋CE＝AB.
︵
︵
【2021·锦州】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.
10
(1)求证：CE是⊙O的切线；
证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圆内接四边形的对角互补).
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC，即∠CDE＝∠OCB.
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°.
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB＋∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(2)若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．(共23张PPT)
垂径定理
2.2.2
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
A
1
2
3
4
5
12
6
7
8
10
B
D
11
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9
A
下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形，而不是中心对称图形的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1
A
【2021·牡丹江】半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦长为_________．
2
【2021·西宁】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝_______．
3
【2020·南通】⊙O的半径为13，弦AB的长度是10，则圆心O到弦AB的距离为________．
4
12
【2021·凉山州】点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5
B
【2021·淄博】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是( )
A．12寸 B．24寸
C．13寸 D．26寸
6
D
下列说法正确的是( )
A．在同圆中，等弧所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
7
【点拨】
选项B是错误的，应该是平分弦(此弦非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧；选项C是错误的，必须在同圆或等圆中；选项D是错误的，必须在同圆或等圆中.
【答案】A
【2020秋·南京玄武区期中】如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24 m，点O是AB所在圆的圆心，⊙O的半径为13 m，求桥拱的高度．(弧的中点到弦的距离)
8
︵
︵
如图，⊙O的半径OA⊥OC，垂足为O，点D在AC上，且AD＝2CD，OA＝4.
(1)∠COD＝________°；
9
30
︵
︵
︵
(2)求弦AD的长；
解：∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.
又∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝4.
(3)P是半径OC上一动点，连接AP，PD，请求出AP＋PD的最小值，并说明理由．
解：如图，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P，
连接AP，此时AP＋PD的值最小.
∵OA⊥OC，OA＝OB，
∴PA＝PB.∴PA＋PD＝PB＋PD.
∵两点之间，线段最短，
∴AP＋PD的最小值为BD的长.
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，求弦AF的长．
10
︵
︵
︵
︵
如图，A，C为半径是8的圆周上的两动点，B是AC的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，求该菱形的边长．
11
︵
︵(共17张PPT)
直线与圆的位置关系
2.5.1
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
A
C
答 案 呈 现
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9
3 cm或5 cm
D
若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相离
1
C
【2021·江阴模拟】已知⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
2
A
【2021·嘉兴】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
3
D
【中考·广州】⊙O的半径为1，点P到点O的距离为2，过点P可作⊙O切线的条数为( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
4
C
【2020秋·扬州高邮市期末】若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足( )
A．d＜5 B．d＞5
C．d＝5 D．d≤5
5
A
已知⊙O的半径为r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．5
6
C
【2020·泰州】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4 cm，O为直线b上一动点，若以1 cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为____________．
7
3 cm或5 cm
【点拨】
需要分两种情况讨论，点O在直线a的左侧和点O在直线a的右侧.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
8
解：如图所示.
(2)请你判断直线BC与(1)中⊙P的位置关系，并说明理由．
解：直线BC与⊙P相切.
如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP是∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD＝PA.
∴点P到BC的距离等于⊙P的半径.
∴直线BC与⊙P相切.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC的中点，过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.
9
︵
(1)求证：∠A＝∠DOB；
︵
︵
︵
(2)直线DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
解：直线DE与⊙O相切.
∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，
∴直线DE与⊙O相切(经过半径的外端并
且垂直于这条半径的直线是圆的切线).
已知∠MAN＝30°，点O在AN上，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于点D，E，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，直线AM与⊙O相切？
解：如图①，过点O作OF⊥AM，垂足为F，当OF＝r＝2时，直线AM与⊙O相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，直线AM与⊙O相切.
10
(2)如图②，当x取何值时，直线AM交⊙O于点B、C，且∠BOC＝90°？(共24张PPT)
三角形的内切圆
2.5.3
苏科版 九年级上
第2章 对称图形——圆
C
(2，3)
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
A
C
答 案 呈 现
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9
1.5
下列说法中错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
1
C
【2020·泰州】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC的内心的坐标为________．
2
(2，3)
【2020秋·无锡滨湖区期末】设两直角边分别为3，4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R－r＝________．
3
1.5
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有一个问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
4
C
5
A
6
【点拨】
如图．∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D.设AC与△ABC的内切圆切于点E，连接OE，易知AD⊥BC，
则OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R＋r，故A正确；
【答案】C
如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：O是△ABC的内心．
7
证明：如图，过点O作OD⊥AB，OP⊥BC，OQ⊥AC，垂
足分别为D，P，Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF≌△OGH≌△OMN(SSS).
∴OD＝OP＝OQ.
∴O是△ABC的内心.
8
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆的半径r.
【中考·鄂州节选】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.求证：
9
(1)PB是⊙O的切线；
(2)点E是△PAB的内心．
证明：连接AE，如图.∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠DAE＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
易知PD平分∠APB交∠PAD的平分线于点E.
∴E是△PAB的内心.
【2021·南京鼓楼区一模】如图①，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，DO，EO，FO的延长线分别交⊙O于点G，H，I，过点G，H，I分别作AB，BC，AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ.通常，在六边形中，我们把
相间两个内角的内角称为六边形的对角，
把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边
称为六边形的对边．
10
(1)求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
证明：∵JQ∥AB，∴∠A＋∠AJQ＝180°，
∵NP∥AC，
∴∠A＋∠ANP＝180°，
∴∠AJQ＝∠ANP，同理可得∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，即六边形JKMNPQ的对角相等.
(2)小明在完成(1)的证明后继续探索，如图②，连接OJ，OM，ON，OQ，他发现△DOM≌△GOQ，△DON≌
△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．
