双曲线的简单几何性质
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课件40张PPT。 2.3.2 双曲线的
简单几何性质| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）复习回顾：oYX关于X,Y轴,
原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2 ; B1B2|x|?a,|y|≤b
F1F2A1A2B2B1椭圆的图像与性质范围、对称性、顶点、离心率.渐近线类比椭圆,探讨双曲线
的几何性质:x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
2、对称性 一、探究双曲线 的简单几何性质1、范围以-x代x方程不变，故图像关于 轴对称；
(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)3、顶点(与对称轴的交点)以-y代y方程不变，故图像关于 轴对称；。以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 对称yx原点3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；
线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）4、渐近线xyoab思考（1）双曲线 的渐近线方程是？渐进线方程可由双曲线方程怎样得到？b(a,b)令 中的 1 为 0,
得 － ＝0
再化简所得的直线方程.求法:
名师点睛4、渐近线xyoab（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？b(a,b)画矩形画渐进线画双曲线的草图【例2】 题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程【变式2】5、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大等轴双曲线的离心率e= ?
名师点睛| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）双曲线定义的简单几何性质(0,－a) (0, a)
(－a, 0) (a, 0)
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）y= ± x ( ± = 0)双曲线的几何性质
自学导引续表F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)|F1F2|＝2cA1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)2a2b关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0) F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（- a，0），A2（a，0）渐进线无例3： 1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长等于 虚半轴长等于 顶点坐
标是 渐近线方是 .
离心率e= 。432、离心率e= 是双曲线为等轴双曲线的
条件 。（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空。） 充要课本 61页 练习 1（1）（3）课本 61页 练习 2解：xy..FO.M.例5、点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。双曲线的第二定义：x课本 61页 练习 3课本 61页 练习 4例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|AB例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|AB*活页规范训练1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 ( )．
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲
线方程可化为 ，则a2＝1，
a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，
∴ ，∴m＝－ ，故选A.
答案 A2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ( )．
A．y＝±3x B．y＝± x
C．y＝± x D．y＝± x
解析 令 ，则y＝± x.
答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为 ( )．
A. B.
C. D
解析 由离心率为 ，
∴e2 ，即a＝b，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)
在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
∴所求双曲线的标准方程为 .故选D.
答案 D4．与双曲线 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
解析 依题意设双曲线的方程
x2－ ＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为
.
答案
名师点睛7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上， 一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为 ( )．
A. B. C. D．2
解析 由题意知，这条渐近线的斜率为 ，
即 ，
而e ，故选A.
答案 A10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．
解析 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，
|PF1|＝2 c，|PF2|＝2c，
又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝ ＋1.
答案 ＋1
简单几何性质| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）复习回顾：oYX关于X,Y轴,
原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2 ; B1B2|x|?a,|y|≤b
F1F2A1A2B2B1椭圆的图像与性质范围、对称性、顶点、离心率.渐近线类比椭圆,探讨双曲线
的几何性质:x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
2、对称性 一、探究双曲线 的简单几何性质1、范围以-x代x方程不变，故图像关于 轴对称；
(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)3、顶点(与对称轴的交点)以-y代y方程不变，故图像关于 轴对称；。以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 对称yx原点3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；
线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）4、渐近线xyoab思考（1）双曲线 的渐近线方程是？渐进线方程可由双曲线方程怎样得到？b(a,b)令 中的 1 为 0,
得 － ＝0
再化简所得的直线方程.求法:
名师点睛4、渐近线xyoab（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？b(a,b)画矩形画渐进线画双曲线的草图【例2】 题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程【变式2】5、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大等轴双曲线的离心率e= ?
名师点睛| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）双曲线定义的简单几何性质(0,－a) (0, a)
(－a, 0) (a, 0)
x≤－a或x≥a
y≤－a或y≥a关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）y= ± x ( ± = 0)双曲线的几何性质
自学导引续表F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)|F1F2|＝2cA1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)2a2b关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0) F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（- a，0），A2（a，0）渐进线无例3： 1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长等于 虚半轴长等于 顶点坐
标是 渐近线方是 .
离心率e= 。432、离心率e= 是双曲线为等轴双曲线的
条件 。（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空。） 充要课本 61页 练习 1（1）（3）课本 61页 练习 2解：xy..FO.M.例5、点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。双曲线的第二定义：x课本 61页 练习 3课本 61页 练习 4例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|AB例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|AB*活页规范训练1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 ( )．
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲
线方程可化为 ，则a2＝1，
a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，
∴ ，∴m＝－ ，故选A.
答案 A2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ( )．
A．y＝±3x B．y＝± x
C．y＝± x D．y＝± x
解析 令 ，则y＝± x.
答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为 ( )．
A. B.
C. D
解析 由离心率为 ，
∴e2 ，即a＝b，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)
在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
∴所求双曲线的标准方程为 .故选D.
答案 D4．与双曲线 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
解析 依题意设双曲线的方程
x2－ ＝λ(λ≠0)，
将点(2，2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为
.
答案
名师点睛7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上， 一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为 ( )．
A. B. C. D．2
解析 由题意知，这条渐近线的斜率为 ，
即 ，
而e ，故选A.
答案 A10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．
解析 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，
|PF1|＝2 c，|PF2|＝2c，
又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝ ＋1.
答案 ＋1