4.1.1圆的标准方程
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课件26张PPT。 4.1.1圆的标准方程湖南省耒阳市振兴学校 高中数学老师欧阳文丰制作教学目标知识与技能：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。一、引入新课1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合。定点定长圆心半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．圆的标准方程xy|MC|= r则P = { M | |MC| = r }圆上所有点的集合 如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b) 的距离． 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．问题圆的标准方程 把 称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.说明：1.特点：明确给出了圆心和半径。2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件，即圆心的横坐标，圆心的纵坐标和半径。特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：问题 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得：3、已知 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在 （ ）
A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定 1、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ）
A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 B2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ ）
A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2
C C（0，2） r = D C（2，0） r = D练习B 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？点与圆的位置关系探究 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．已知点 和圆C： ,则有： 归纳
待定系数法解法一：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解法二A(5,1)B(7,-3)C(2,-8)MAB的中垂线方程:BC的中垂线方程：则半径所求圆的方程为圆心半径圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标准方程． 解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标直线AB的斜率:典型例题解方程组得所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是补充例题1：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.
圆心：已知半径：圆心到切线的距离解：设所求圆的半径为r则：=∴所求圆的方程为：yxOM补充例题2 :已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
解:由题意知,所求圆的方程可设为(x-a)2+y2=25,
∵圆截y轴所得线段长为8,
∴圆过点A(0,4)代入圆的方程得
a2+16=25,∴a=±3,
故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上.
(1)求 的最小值;
(2)求 的最大值.
解:(1)式子 的几何意义是圆上的点P(x,y)与定点(0,2)的距离.
因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是
又圆半径为
所以 的最小值为探究拓展 (2)利用 的几何意义.
因为 的几何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,如右图所示,易求得 的最大值为1.圆的标准方程（圆心C(a,b),半径r）2.点与圆的位置关系3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法
②几何性质法归纳总结作 业P134 习题4.1 A2、31.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
解析:已知圆的圆心为C(1,0),易知PC⊥AB,kPC=
,∴kAB=1,
依点斜式知AB的方程为x-y-3=0.
答案:A能力提升2.一圆在x,y轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线2x+3y=0上,求此圆方程.
解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有
又∵圆心在直线2x+3y=0上,
∴2a+3b=0.③
∴适合题意的圆的方程为(x-9)2+(y+6)2=85
或(x+9)2+(y-6)2=85.3.(2009·上海)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+2)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0),
则有x02+y02=4.
设连线中点的坐标为(x,y),则
代入x02+y02=4,得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:A
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。一、引入新课1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合。定点定长圆心半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．圆的标准方程xy|MC|= r则P = { M | |MC| = r }圆上所有点的集合 如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b) 的距离． 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？圆的标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．问题圆的标准方程 把 称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.说明：1.特点：明确给出了圆心和半径。2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件，即圆心的横坐标，圆心的纵坐标和半径。特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：问题 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得：3、已知 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在 （ ）
A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定 1、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ）
A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 B2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ ）
A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2
C C（0，2） r = D C（2，0） r = D练习B 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？点与圆的位置关系探究 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．已知点 和圆C： ,则有： 归纳
待定系数法解法一：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解法二A(5,1)B(7,-3)C(2,-8)MAB的中垂线方程:BC的中垂线方程：则半径所求圆的方程为圆心半径圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标准方程． 解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标直线AB的斜率:典型例题解方程组得所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是补充例题1：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.
圆心：已知半径：圆心到切线的距离解：设所求圆的半径为r则：=∴所求圆的方程为：yxOM补充例题2 :已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
解:由题意知,所求圆的方程可设为(x-a)2+y2=25,
∵圆截y轴所得线段长为8,
∴圆过点A(0,4)代入圆的方程得
a2+16=25,∴a=±3,
故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上.
(1)求 的最小值;
(2)求 的最大值.
解:(1)式子 的几何意义是圆上的点P(x,y)与定点(0,2)的距离.
因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是
又圆半径为
所以 的最小值为探究拓展 (2)利用 的几何意义.
因为 的几何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,如右图所示,易求得 的最大值为1.圆的标准方程（圆心C(a,b),半径r）2.点与圆的位置关系3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法
②几何性质法归纳总结作 业P134 习题4.1 A2、31.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
解析:已知圆的圆心为C(1,0),易知PC⊥AB,kPC=
,∴kAB=1,
依点斜式知AB的方程为x-y-3=0.
答案:A能力提升2.一圆在x,y轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线2x+3y=0上,求此圆方程.
解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有
又∵圆心在直线2x+3y=0上,
∴2a+3b=0.③
∴适合题意的圆的方程为(x-9)2+(y+6)2=85
或(x+9)2+(y-6)2=85.3.(2009·上海)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+2)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0),
则有x02+y02=4.
设连线中点的坐标为(x,y),则
代入x02+y02=4,得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:A