4.1.2圆的一般式方程
图片预览
文档简介
课件24张PPT。圆的一般方程 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作一、回顾复习圆的标准方程 : (x-a)2+(y-b)2=r2圆心A(a,b),半径为rx2+y2=r2圆心是O(0,0),半径为r1、思考 （1） 方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？（2）x2+y2-2x-4y+6=0呢？圆的一般方程配方得不一定是圆以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆配方得不是圆2、探究 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？配方得(1)D2+E2-4F > 0时，表示以 为圆心
为半径的圆 (2)D2+E2-4F=0时，表示一个点(3)D2+E2-4F<0时，不表示任何图形3、当D2+E2-4F＞0时
x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?(1)形式不同.(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0（２）圆的一般方程的特点:
(a)x2 , y2 的系数为1(b)没有x y项(c)D2 +E2 -4F＞01. A ＝ C ≠ 0 2. B=03. D2＋E2－4F＞0 二元二次方程表示圆的一般方程4、圆的一般方程与二元二次方程的关系思考问题:当D=0，E=0或F=0时，
圆 的位置分别有什么特点？ D=0E=0F=0随堂练习一：4-6-3例4、求经过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
根据所给条件用待定系数法可得方程:
{F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0解这个方程组,得F=0,D=-8,E=6.
于是得到所求圆的方程 x2+y2-8x+6y=0
圆心坐标是(4,-3),半径r=评注:求圆的方程时
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.(2)若已知三点求圆的方程,我们常采用
圆的一般方程用待定系数法求解. (3)解题时也可以根据圆的几何性质 ，求出圆心 坐标和半径 。(即:直译法。参考补充例题1。)用“待定系数法”求圆的方程步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程:
②根据条件列出关于a, b, r或D,E,F的方程组:
③解出a, b, r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ?
C? P解法一：求圆心、求半径解法二：直译法P点满足PA⊥PB即随堂练习二:①②例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在
圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。说明:相关点法步骤。 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在X轴和Y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。解：则：x2+y2=a2所以，中点的轨迹方程为以（0,0）为圆心，r=a为半径的圆。设线段AB的中点M 的坐标为（x,y), A（ ,0),B( 0, ).=2x, =2y随堂练习三： 例1 已知一曲线是与两个定点 距离的比
为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.由两点间距离公式，上式可用坐标表示为两边平方并化简，得曲线方程为将方程配方，得 所以所求曲线是以 为圆心，半径为 的圆.补充例题 解 在给定的坐标系中，设 是曲线上的任意一点，点 在曲线上当且仅当直译法总结:用直译法求轨迹方程的步骤。
1.设动点的坐标为为(x,y)
2.找到几何关系
3.用方程表示几何关系
4.整理化简
5.下结论
例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.
分析:先求过A?B?C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.解:设A?B?C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A?B?C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A?B?C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A?B?C?D四点在同一圆上.解:∵点P(m,2)在圆外,例3:已知定点P(m,2)在圆x2+y2-2mx-y+m2+m=0的
外部,求实数m的取值范围. 例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.课堂小结1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 为半径为3.方程形式的选用：①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.2.一般方程 标准方程配方展开4、用”待定系数法”求圆的方程。课后练习：P134 练习1、2、3,
P135. 3. 作业布置1、圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是
2、点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是 提高练习
高中数学老师欧阳文丰制作一、回顾复习圆的标准方程 : (x-a)2+(y-b)2=r2圆心A(a,b),半径为rx2+y2=r2圆心是O(0,0),半径为r1、思考 （1） 方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？（2）x2+y2-2x-4y+6=0呢？圆的一般方程配方得不一定是圆以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆配方得不是圆2、探究 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？配方得(1)D2+E2-4F > 0时，表示以 为圆心
为半径的圆 (2)D2+E2-4F=0时，表示一个点(3)D2+E2-4F<0时，不表示任何图形3、当D2+E2-4F＞0时
x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程思考:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?(1)形式不同.(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0（２）圆的一般方程的特点:
(a)x2 , y2 的系数为1(b)没有x y项(c)D2 +E2 -4F＞01. A ＝ C ≠ 0 2. B=03. D2＋E2－4F＞0 二元二次方程表示圆的一般方程4、圆的一般方程与二元二次方程的关系思考问题:当D=0，E=0或F=0时，
圆 的位置分别有什么特点？ D=0E=0F=0随堂练习一：4-6-3例4、求经过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
根据所给条件用待定系数法可得方程:
{F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0解这个方程组,得F=0,D=-8,E=6.
于是得到所求圆的方程 x2+y2-8x+6y=0
圆心坐标是(4,-3),半径r=评注:求圆的方程时
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.(2)若已知三点求圆的方程,我们常采用
圆的一般方程用待定系数法求解. (3)解题时也可以根据圆的几何性质 ，求出圆心 坐标和半径 。(即:直译法。参考补充例题1。)用“待定系数法”求圆的方程步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程:
②根据条件列出关于a, b, r或D,E,F的方程组:
③解出a, b, r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ?
C? P解法一：求圆心、求半径解法二：直译法P点满足PA⊥PB即随堂练习二:①②例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在
圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。说明:相关点法步骤。 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在X轴和Y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。解：则：x2+y2=a2所以，中点的轨迹方程为以（0,0）为圆心，r=a为半径的圆。设线段AB的中点M 的坐标为（x,y), A（ ,0),B( 0, ).=2x, =2y随堂练习三： 例1 已知一曲线是与两个定点 距离的比
为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.由两点间距离公式，上式可用坐标表示为两边平方并化简，得曲线方程为将方程配方，得 所以所求曲线是以 为圆心，半径为 的圆.补充例题 解 在给定的坐标系中，设 是曲线上的任意一点，点 在曲线上当且仅当直译法总结:用直译法求轨迹方程的步骤。
1.设动点的坐标为为(x,y)
2.找到几何关系
3.用方程表示几何关系
4.整理化简
5.下结论
例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.
分析:先求过A?B?C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.解:设A?B?C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A?B?C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A?B?C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A?B?C?D四点在同一圆上.解:∵点P(m,2)在圆外,例3:已知定点P(m,2)在圆x2+y2-2mx-y+m2+m=0的
外部,求实数m的取值范围. 例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.课堂小结1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 为半径为3.方程形式的选用：①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.2.一般方程 标准方程配方展开4、用”待定系数法”求圆的方程。课后练习：P134 练习1、2、3,
P135. 3. 作业布置1、圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是
2、点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是 提高练习