【课后练习】7.3.1　离散型随机变量的均值 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
[A　基础达标]
1.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
2.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A. B.
C.2 D.
3.今有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　)
A.0.765 B.1.75
C.1.765 D.0.22
4.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)
A. B.
C. D.
5.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6.现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为　　　　.
6.(2021·河北唐山高二期末)某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其概率分布列如表，均值E(X)＝2，则ab＝　　　　.
X 0 3 6
P a b
7.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是　　　　元.
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
8.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值.
9.盒子中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求：
(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池.
[B　能力提升]
10.(多选)(2021·城厢区校级期中)设0ξ 0 1 2
P p－p2 p2 1－p
A.E(ξ)随着p的增大而增大
B.E(ξ)随着p的增大而减小
C.P(ξ＝0)D.P(ξ＝2)的值最大
11.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.2
12.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个球，记总分为ξ，则P(ξ＝4)＝　　　　，E(ξ)＝　　　　.
13.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试通知的概率为，得到乙、丙两公司面试通知的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试通知的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝　　　　.
[C　拓展探究]
14.(多选)已知随机变量ξ的分布列如表：
ξ －1 0 1
P a b
记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有(　　)
A.E(ξ)＝－2a B.E(ξ2)＝
C.P(A)＝ D.P(A)＝
15.(2021·山东省模拟)某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数 8 9 10 11
频数 20 40 20 20
以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数.
(1)求X的分布列；
(2)以销售该食品所得利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？
参考答案
1解析：选D.E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
2解析：选D.X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝eq \f(1,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(C,C)＝.
所以E(X)＝×2＋×3＝2＋＝.
3解析：选B.P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
4解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
5解析：X的可能取值为3，2，1，0，
P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
答案：2.376
6解析：根据题意可得方程组解得所以ab＝.
答案：
7解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，
所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元).
答案：706
8解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq \f(CCC,C)＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
9解：(1)由题意知，X取值为1，2，3.
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝×＝；
P(X＝3)＝×＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，
即平均抽取1.5次可取到好电池.
10解析：选BC.因为E(ξ)＝p2＋2－2p，0所以E(ξ)随着p的增大而减小，故A错误，B正确；
因为0所以p(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝p－p2－1＋p＝－p2＋2p－1<0，
所以p(ξ＝0)因为0所以当0，
故当P(ξ＝2)，故D错误.故选BC.
11解析：选A.设白球有x个，则黑球有(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(ξ＝1)＝eq \f(C·C,C)＝，
P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)＝，
所以0×＋1×＋2×＝，解得x＝3.
12解析：由题意知ξ的所有可能取值为3，4，5，6，
P(ξ＝3)＝eq \f(C,C)＝，
P(ξ＝4)＝eq \f(CC,C)＝，
P(ξ＝5)＝eq \f(CC,C)＝，
P(ξ＝6)＝eq \f(C,C)＝，
E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.
答案：　
13解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，所以p＝.随机变量X的可能取值为0，1，2，3，因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，
P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，
因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
14解析：选ABD.由随机变量ξ的分布列知：
E(ξ)＝－a＋b，E(ξ2)＝a＋b＝1－＝，
所以E(ξ)＝－2a，
因为“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，ξ的所有取值为－1，0，1，满足事件A的ξ的可能取值为－1，1，所以P(A)＝.故选ABD.
15解：(1)易知一家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概率分别为，，，，
X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P(X＝16)＝×＝.
P(X＝17)＝××2＝，
P(X＝18)＝×＋××2＝，
P(X＝19)＝××2＋××2＝，
P(X＝20)＝×＋××2＝＝，
P(X＝21)＝××2＝，
P(X＝22)＝×＝，
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P
(2)当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为
Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1 950 2 000 2 050
P
E(Y1)＝1 450×＋1 600×＋1 750×＋1 900×＋1 950×＋2 000×＋2 050×＝1 822.
当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为
Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100
P
E(Y2)＝1 400×＋1 550×＋1 700×＋1 850×＋2 000×＋2 050×＋2 100×＝1 804.
因为E(Y1)>E(Y2)，所以应选n＝19.
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