【课后练习】7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布
7.3.2　离散型随机变量的方差
[A　基础达标]
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)
A.E(X)＝0，D(X)＝1
B.E(X)＝，D(X)＝
C.E(X)＝0，D(X)＝
D.E(X)＝，D(X)＝1
3.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 3
P a
若随机变量Y满足Y＝3X－1，则Y的方差D(Y)＝(　　)
A.1　　　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.9
4.已知随机变量ξ的分布列为
ξ m n
P a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值为(　　)
A.0 B.2
C.1 D.
5.(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A.q＝0.1 B.E(X)＝2，D(X)＝1.4
C.E(X)＝2，D(X)＝1.8 D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
6.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
7.(2021·宁波期末)已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E(ξ)＝1，则a＝　　　　；又η＝3ξ－1，则D(η)＝　　　　.
ξ 0 1 2
P a b
8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(09.数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合.把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ.
(1)求巧合数ξ的分布列；
(2)求巧合数ξ的期望与方差.
10.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
[B　能力提升]
11.设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A. B.
C.3 D.
12.设10≤x1A.D(ξ1)>D(ξ2)
B.D(ξ1)＝D(ξ2)
C.D(ξ1)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
13.编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝　　　　，D(ξ)＝　　　　.
14.12个同类型的零件中有2个次品，现抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回.若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求X的分布列、均值及方差；
(2)求Y的分布列、均值及方差.
[C　拓展探究]
15.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为　　　　.
16.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
XA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
XB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
参考答案
1解析：选B.因为D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
2解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为
X －1 1
P
所以E(X)＝(－1)×＋1×＝0，
D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.
3解析：选D.由分布列的性质可知，＋＋a＝1，所以a＝，所以E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1，因为Y＝3X－1，所以D(Y)＝32D(X)＝9，故选D.
4解析：选A.由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
5解析：选ACD.由离散型随机变量X的分布列的性质得
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.
6解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7解析：根据ξ的分布列得＋a＋b＝1，①
因为E(ξ)＝1，所以0×＋1×a＋2×b＝1，②
由①②联立得a＝，b＝，
所以D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
因为η＝3ξ－1，
所以D(η)＝32D(ξ)＝.
答案：　
8解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且
P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.
从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝－＋.
因为0答案：　
9解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，
P(ξ＝0)＝eq \f(44,A)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(C×9,A)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C×2,A)＝，P(ξ＝3)＝eq \f(C,A)＝，P(ξ＝5)＝.
则巧合数ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 5
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1.
10解：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.
11解析：选C.由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以
解得或
所以x1＋x2＝3，故选C.
12解析：选A.由题意可知
E(ξ1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，
E(ξ2)＝(＋＋＋＋)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都设为m，
所以D(ξ1)＝[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]，
D(ξ2)＝，
因为10≤x1所以D(ξ1)>D(ξ2).故选A.
13解析：ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，
则P(ξ＝0)＝eq \f(2,A)＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝eq \f(C,A)＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝eq \f(1,A)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
答案：1　1
14解：(1)X的可能取值为0，1，2.
若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq \f(CC,C)＝，
同理，有P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
D(X)＝×＋×＋×＝.
(2)Y的可能取值为1，2，3，显然X＋Y＝3.
P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P
所以Y＝－X＋3，
所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝.
15解析：由题意可知P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1，所以随机变量Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
答案：9.8
16解：E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(XA)＝E(XB)，D(XA)故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好.
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