【课后练习】7.4.1　二项分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
[A　基础达标]
1.(多选)下列随机变量X服从二项分布的是(　　)
A.投掷一枚质地均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2.设X为随机变量，且X～B(n，)，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
3.(2021·北京市东城区期末检测)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A.n＝4，p＝ B.n＝6，p＝
C.n＝8，p＝ D.n＝10，p＝
4.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1－p)n B.1－pn
C.pn D.1－(1－p)n
5.在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是，则这人3次射击恰有1次击中气球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2021·绵阳模拟)已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p，且各员工发表论文是否获奖相互独立.若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)＝0.96，E(X)>2，则p＝　　　　Ｗ.
7.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是　　　　.
8.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则乙恰好比甲多击中目标2次的概率为　　　　.
9.(2021·天津市第一中学高二期中)某高中生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X的分布列；
(2)求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率.
10.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；
(2)求ξ的均值.
[B　能力提升]
11.(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　　)
A.p＝ B.E(ξ)＝
C.D(η)＝1 D.P(η≥2)＝
12.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
A.× B.eq \f(CC,C)
C.× D.C××
13.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为　　　　.
14.某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为　　　　.
[C　拓展探究]
15.若X～B，则P(X＝k)(0≤k≤20，k∈N)取得最大值时，k＝　　　　.
16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件进行检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品进行检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品进行检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品进行检验？
参考答案
1解析：选ACD.选项A，实验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然在每一次试验的结果只有两种，且每一次试验相互独立且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率一定，且和为1，进行5次比赛，相当于进行了5次伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义可知，被感染次数X～B(n，0.3).
2解析：选D.因为X～B(n，)，所以E(X)＝＝2，所以n＝6，所以P(X＝2)＝C×()2×＝.
3解析：选D.随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝1.6，可得np＝2，np(1－p)＝1.6，解得p＝0.2，n＝10，故选D.
4解析：选D.所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
5解析：选C.射击3次相当于做了3次伯努利试验，击中气球(试验成功)次数X服从二项分布B，则恰有1次击中气球的概率为P(X＝1)＝C××＝.
6解析：由已知可得X～B(6，p)，
则D(X)＝6p(1－p)＝0.96，即25p2－25p＋4＝0，
解得p＝0.2或p＝0.8，
因为E(X)＝6p>2，可得p>，
所以p＝0.8.
答案：0.8
7解析：由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.
答案：[0.4，1)
8解析：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件，
则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C×()2××C×()3＋C×()3×C×()3＝，
所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
答案：
9解：(1)由已知有X～B，P(X＝k)＝C·(k＝0，1，2，3，4).所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)设“在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗”为事件A，它表示这名学生在上学途中前3个交通岗不是红灯，第4个交通岗遇到红灯的情况，则P(A)＝·＝.
10解：(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故ξ＝2时的概率为P＝C＝.
(2)方法一：　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
依题意知， P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4).
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二：　因为ξ服从二项分布，
即ξ～B，
所以E(ξ)＝4×＝.
11解析：选ABD.因为P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
所以C(1－p)2＋＝1，所以p＝.
所以E(ξ)＝2×＝，
D(η)＝3××＝.
P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝.
12解析：选A.由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球.故其概率为×.
13解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为P＝1－＝.
答案：
14解析：S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率为P＝C××＝.
答案：
15解析：由题意知，X服从二项分布，
所以P(X＝k)＝C＝C·，0≤k≤20且k∈N.
由不等式≤1(0≤k≤19且k∈N)，
得×≤1，解得k≥6.
所以当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；
当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k).
因为当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，所以当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值.
答案：6或7
16解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2(1－p)18.因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p).令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，
X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400，故应该对余下的产品进行检验.
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