【课后练习】7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 258.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 09:05:59 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布
7.4.2 超几何分布
[A 基础达标]
1.一批产品共50件，其中5件次品、45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )
A. B.
C. D.以上都不对
2.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.eq \f(CC,C) B.eq \f(CC,C)
C.eq \f(CC,C) D.eq \f(CC,C)
3.(多选)(2021·上海市浦东新区联考)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( )
A.1－eq \f(C＋CC,C) B.eq \f(CC＋CC,C)
C.1－eq \f(C,C) D.eq \f(CC,C)
4.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5μm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级；在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级；在75μg/m3以上空气质量为超标.
从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(μg/m3) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85]
频数 3 1 1 1 1 3
从这10天的数据中任取3天数据.记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是( )
A. B.
C. D.
5.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝( )
A.1 B.3
C.2 D.8
6.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝ .
7.在10个排球中有6个正品、4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为 .
8.生产方提供的50箱产品中，有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率是 .
9.袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.
10.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
性别专业 中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、数学期望及方差.
[B 能力提升]
11.为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛.某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人.现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于eq \f(CC,C)的是( )
A.P(X＝2) B.P(X≤2)
C.P(X＝4) D.P(X≤4)
12.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中.①放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；②放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为Pi(i＝1，2)，则( )
A.P1＞P2，E(ξ1)＜E(ξ2)
B.P1＜P2，E(ξ1)＞E(ξ2)
C.P1＞P2，E(ξ1)＞E(ξ2)
D.P1＜P2，E(ξ1)＜E(ξ2)
13.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. 设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，事件A发生的概率是 ；设X为选出的4人中种子选手的人数，则E(X)＝ .
[C 拓展探究]
14.(2021·广东清远高三期末)某校为了解高三学生的身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n名学生的成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.已知成绩在[90，100)的学生人数为8，且有4名女生的成绩在[50，60)中，则n＝ ；现从成绩在[50，60)的学生中随机抽取2名作指导工作，记所抽取的学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是 .
15.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选
方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
(1)在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；
(2)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为ξ1，ξ2，求ξ1，ξ2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？
参考答案
1解析：选A.设抽到次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
2解析：选D.从袋中任取10个球，其中红球的个数X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，故恰有6个红球的概率为P(X＝6)＝eq \f(CC,C).
3解析：选AD.任意抽取4个产品有C种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有CC种，故所求事件的概率为eq \f(CC,C)，故D选项正确.“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也正确.
4解析：选A.依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝＝＝.
5解析：选CD.由题意得eq \f(CC,C)＝，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选CD.
6解析：易知P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝.
答案：
7解析：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品.由超几何分布的概率公式可知，当有0个正品4个次品时，P＝eq \f(C,C)＝，当有1个正品3个次品时，P＝eq \f(CC,C)＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.
答案：
8解析：用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.
因为这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，
所以这批产品被接收的概率为P(X≤1)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝.
答案：
9解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)＝eq \f(CCCC,C)＝.
(2)由题意知，X的所有可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝5)＝eq \f(CC＋CC,C)＝.
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，
则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
10解：(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝＝，解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(B)＝eq \f(CC＋1,C)＝.
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝2)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝3)＝eq \f(C,C)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(ξ)＝3×＝.
方差为D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.
11解析：选C.15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生，所以P(X＝4)＝eq \f(CC,C).
12解析：选A.随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：
ξ1 1 2
P
ξ2 1 2 3
P eq \f(C,C) eq \f(CC,C) eq \f(C,C)
E(ξ1)＝＋＝，
E(ξ2)＝eq \f(C,C)＋eq \f(2CC,C)＋eq \f(3C,C)＝，
所以E(ξ1)＜E(ξ2).
因为P1＝＋×＝，P2＝eq \f(C,C)＋eq \f(CC,C)×＋eq \f(C,C)×＝，
所以P1－P2＝＞0，故P1＞P2.
13解析：由已知得P(A)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
所以事件A发生的概率为.
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝eq \f(CC,C)(k＝1，2，3，4).
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝或E(X)＝4×＝.
答案：
14解析：由0.016×10n＝8，得n＝50.成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4名为女生，2名为男生.易知ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：50
15解：(1)甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为P＝eq \f(CC,C)＝＝.
(2)ξ1的分布列为
ξ1 5 10 15 20
P
E(ξ1)＝5×＋10×＋15×＋20×＝10；
ξ2的分布列为
ξ2 4 8 12 16
P
E(ξ2)＝4×＋8×＋12×＋16×＝.
因为E(ξ1)＜E(ξ2)，
所以公司应选培训方式一.
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第七章 随机变量及其分布
7.4.2 超几何分布
[A 基础达标]
1.一批产品共50件，其中5件次品、45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )
A. B.
C. D.以上都不对
2.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.eq \f(CC,C) B.eq \f(CC,C)
C.eq \f(CC,C) D.eq \f(CC,C)
3.(多选)(2021·上海市浦东新区联考)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( )
A.1－eq \f(C＋CC,C) B.eq \f(CC＋CC,C)
C.1－eq \f(C,C) D.eq \f(CC,C)
4.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5μm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级；在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级；在75μg/m3以上空气质量为超标.
从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(μg/m3) (25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85]
频数 3 1 1 1 1 3
从这10天的数据中任取3天数据.记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是( )
A. B.
C. D.
5.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a＝( )
A.1 B.3
C.2 D.8
6.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝ .
7.在10个排球中有6个正品、4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为 .
8.生产方提供的50箱产品中，有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率是 .
9.袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.
10.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
性别专业 中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、数学期望及方差.
[B 能力提升]
11.为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛.某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人.现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于eq \f(CC,C)的是( )
A.P(X＝2) B.P(X≤2)
C.P(X＝4) D.P(X≤4)
12.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中.①放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；②放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为Pi(i＝1，2)，则( )
A.P1＞P2，E(ξ1)＜E(ξ2)
B.P1＜P2，E(ξ1)＞E(ξ2)
C.P1＞P2，E(ξ1)＞E(ξ2)
D.P1＜P2，E(ξ1)＜E(ξ2)
13.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. 设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，事件A发生的概率是 ；设X为选出的4人中种子选手的人数，则E(X)＝ .
[C 拓展探究]
14.(2021·广东清远高三期末)某校为了解高三学生的身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n名学生的成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.已知成绩在[90，100)的学生人数为8，且有4名女生的成绩在[50，60)中，则n＝ ；现从成绩在[50，60)的学生中随机抽取2名作指导工作，记所抽取的学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是 .
15.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选
方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
(1)在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；
(2)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为ξ1，ξ2，求ξ1，ξ2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？
参考答案
1解析：选A.设抽到次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
2解析：选D.从袋中任取10个球，其中红球的个数X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，故恰有6个红球的概率为P(X＝6)＝eq \f(CC,C).
3解析：选AD.任意抽取4个产品有C种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有CC种，故所求事件的概率为eq \f(CC,C)，故D选项正确.“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也正确.
4解析：选A.依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝＝＝.
5解析：选CD.由题意得eq \f(CC,C)＝，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选CD.
6解析：易知P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝.
答案：
7解析：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品.由超几何分布的概率公式可知，当有0个正品4个次品时，P＝eq \f(C,C)＝，当有1个正品3个次品时，P＝eq \f(CC,C)＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.
答案：
8解析：用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.
因为这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，
所以这批产品被接收的概率为P(X≤1)＝eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)＝.
答案：
9解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)＝eq \f(CCCC,C)＝.
(2)由题意知，X的所有可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(X＝5)＝eq \f(CC＋CC,C)＝.
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，
则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
10解：(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝＝，解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(B)＝eq \f(CC＋1,C)＝.
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝2)＝eq \f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝3)＝eq \f(C,C)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(ξ)＝3×＝.
方差为D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.
11解析：选C.15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生，所以P(X＝4)＝eq \f(CC,C).
12解析：选A.随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：
ξ1 1 2
P
ξ2 1 2 3
P eq \f(C,C) eq \f(CC,C) eq \f(C,C)
E(ξ1)＝＋＝，
E(ξ2)＝eq \f(C,C)＋eq \f(2CC,C)＋eq \f(3C,C)＝，
所以E(ξ1)＜E(ξ2).
因为P1＝＋×＝，P2＝eq \f(C,C)＋eq \f(CC,C)×＋eq \f(C,C)×＝，
所以P1－P2＝＞0，故P1＞P2.
13解析：由已知得P(A)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
所以事件A发生的概率为.
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝eq \f(CC,C)(k＝1，2，3，4).
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝或E(X)＝4×＝.
答案：
14解析：由0.016×10n＝8，得n＝50.成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4名为女生，2名为男生.易知ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：50
15解：(1)甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为P＝eq \f(CC,C)＝＝.
(2)ξ1的分布列为
ξ1 5 10 15 20
P
E(ξ1)＝5×＋10×＋15×＋20×＝10；
ξ2的分布列为
ξ2 4 8 12 16
P
E(ξ2)＝4×＋8×＋12×＋16×＝.
因为E(ξ1)＜E(ξ2)，
所以公司应选培训方式一.
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