【课后练习】7.5　正态分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布
7.5　正态分布
[A　基础达标]
1.(多选)对于标准正态分布N(0，1)的正态密度函数f(x)＝·e－，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最大值是
C.f(x)在x≥0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数
D.f(x)关于x＝1对称
2.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　)
A.1　　　　　　　　　　　 B.
C.2 D.4
3.已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X≤3)＝(　　)
A. B.
C. D.
4.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)≈0.682 7，则P(X>4)＝(　　)
A.0.158 8 B.0.158 65
C.0.158 6 D.0.158 5
5.(2021·山东省聊城市期末)某工厂制造的某种机器零件的尺寸X～N(100，0.01)，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为(　　)
A.2 718 B.1 359
C.430 D.215
6.设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，则P(X＜0)＝　　　　.
7.若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ>3)≈0.158 65，则σ＝　　　　.
8.据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第　　　　名.
9.已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64≤X≤72).
10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的正态密度函数的表达式；
(2)求此地农民工年均收入在[8 000，8 500]元的人数所占的百分比.
[B　能力提升]
11.(多选)(2021·黑龙江省实验中学模拟)如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下列选项中表示图中阴影部分面积的为(　　)
(注：Φ(a)＝P(X≤a))
A.－Φ(－a) B.Φ(1－a)
C.Φ(a)－ D.Φ(0)
12.(多选)(2021·辽宁本溪满族自治县高级中学高二期末考试)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的是(　　)
A.φ(－x)＝1－φ(x)
B.φ(2x)＝2φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)＝2－φ(x)
13.(2021·山东临沂高考模拟)在某校高三年级的模拟考试中，所有学生考试成绩的取值X(单位：分)是服从正态分布N(502，144)的随机变量，若重点线为490分(490分及490分以上都是重点)，则随机抽取该校一名高三考生，这位考生的成绩不低于重点线的概率为(　　)
(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.0.682 7 B.0.658 65
C.0.841 35 D.0.341 35
14.某品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为　　　　.
[C　拓展探究]
15.(2021·四川棠湖中学高三月考)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12).现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在10～10.2 kg的袋数，则X的数学期望约为(　　)
附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.171 B.239
C.341 D.477
16.一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(3，22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
参考答案
1解析：选ABC.由题意知f(x)关于x＝0，对称，所以f(x)为偶函数，当x＝0时，f(x)取最大值，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，故选ABC.
2解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1.
3解析：选D.X服从正态分布N(3，σ2)，则正态曲线关于直线x＝3对称，所以P(X≤3)＝.
4解析：选B.由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为直线x＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝≈
＝0.158 65.
5解析：选B.因为X～N(100，0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1，则P(99.8≤X≤99.9)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.故随机抽取的10 000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.
6解析：正态密度曲线关于直线x＝4对称，在x＝4右边的概率为0.5，在x＝0左边的概率等于在x＝8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
答案：0.2
7解析：因为P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(ξ>μ＋σ)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65.因为ξ～N(1，σ2)，P(ξ>1＋σ)≈0.158 65，所以1＋σ＝3，即σ＝2.
答案：2
8解析：依题意，P(60－20≤X≤60＋20)≈0.954 5，P(X>80)≈(1－0.954 5)≈0.022 8，
故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8＝228.所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.
答案：229
9解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.
结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，可知σ＝8.
(2)因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(64≤X≤96)≈0.954 5.
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(72≤X≤88)≈0.682 7，所以P(64≤X≤72)＝[P(64≤X≤96)－P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
10解：设此地农民工年均收入为X～N(μ，σ2)，
结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态密度函数的表达式为f(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞).
(2)因为P(7 500≤X≤8 500)＝P(8 000－500≤X≤8 000＋500)≈0.682 7.
所以P(8 000≤X≤8 500)＝P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 4＝34.14%.
即此地农民工年均收入在[8 000，8 500]元的人数所占的百分比为34.14%.
11解析：选AC.因为Φ(－a)＝P(X≤－a)，所以图中阴影部分的面积为－P(X≤－a)＝－Φ(－a)，又根据性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1，可得－Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－.所以A，C正确.
12解析：选AC.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于直线x＝0对称，如图所示.又φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，根据曲线的对称性，所以φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A正确；φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，故B错误；P(|ξ|x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D错误.故选AC.
13解析：选C.因为P(502－12≤X≤502＋12)≈0.682 7，所以P(X<490)≈＝0.158 65，所以P(X≥490)＝1－0.158 65＝0.841 35.故选C.
14解析：由题意知P(ξ>2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，所以P(ξ≤2)＝P(ξ≥6)＝0.2，所以正态曲线的对称轴为直线x＝4，所以P(ξ≥4)＝0.5，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为0.5×0.5＝0.25.
答案：0.25
15解析：选B.设每袋面粉的质量为Z kg，则由题意得Z～N(10，0.12)，所以P(10≤Z≤10.2)＝P(9.8≤Z≤10.2)＝P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.477 25.由题意得X～B(500，0.477 25)，所以E(X)＝500×0.477 25＝238.625≈239.故选B.
16解：由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案.对于第一套方案ξ～N(8，32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3≤ξ≤8＋3)＝P(5≤ξ≤11)≈0.682 7.
所以P(ξ<5)＝[1－P(5≤ξ≤11)]
≈(1－0.682 7)＝0.158 65.
所以P(ξ>5)＝1－0.158 65＝0.841 35.
对于第二套方案ξ～N(3，22)，则μ＝3，σ＝2.
于是P(3－2≤ξ≤3＋2)＝P(1≤ξ≤5)≈0.682 7，
所以P(ξ>5)＝[1－P(1≤ξ≤5)]
≈(1－0.682 7)＝0.158 65.
因为0.158 65<0.841 35，
所以应选择第一套方案.
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