波的形成
1．知道波的形成条件及过程。
2．能区分横波和纵波，知道什么是波峰和波谷、密部和疏部。
3．知道机械波在传播振动形式的同时也传播能量和信息。
知识点一 波的形成
[情境导学]
如图所示，用手分别沿着竖直方向、水平方向抖动一端拴在树上的绳子，你看到了什么现象？它是如何形成的？
提示：分别看到沿着竖直方向、水平方向且沿绳向前传播的绳波；它是由离手较近的绳上的质点带动离手较远的绳上的质点振动形成的。
[知识梳理]
1．波动：振动的传播称为波动，简称波。
2．形成原因(以绳波为例)
(1)绳子是有弹性的物体，把一条绳子分成一个个小段，将每一小段看作一个质点，质点间有弹性力作用。
(2)当手握绳端上下振动时，绳端带动相邻的质点振动，这个质点又带动更远的质点振动，然后绳上各质点都跟着振动起来，形成了凹凸相间的波形。
(3)t＝、、T、T的波形图。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)绳上各质点的振动是有先后顺序的。(√)
(2)绳上各质点振动的周期是相同的。(√)
(3)绳上各质点振动的平衡位置不断转换即形成波。(×)
2．用手抖动拴在树上的绳的另一端时，会看到在绳上形成的波沿绳向前传播，那么绳上的各质点是否也随波一起向前传播？
提示：各质点沿手抖动的方向振动，并不随波向前传播。
知识点二 横波和纵波、机械波
[情境导学]
(1)绳波的示意图如图甲所示，其中质点的振动方向与波的传播方向是什么关系？
(2)音叉发出的声波的示意图如图乙所示，其中质点的振动方向与波的传播方向是什么关系？
提示：(1)质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。
(2)质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上。
[知识梳理]
1．横波和纵波
定义 标识性物理量 实物波形
横波 质点的振动方向与波的传播方向互相垂直的波 (1)波峰：凸起的最高处(2)波谷：凹下的最低处
纵波 质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波 (1)密部：质点分布最密的位置(2)疏部：质点分布最疏的位置
2．机械波
(1)定义：机械振动在介质中的传播。
(2)介质：波借以传播的物质。
(3)介质中的质点发生振动，但并不随波迁移，传播的只是振动这种运动形式。
(4)波不但传递能量，而且可以传递信息。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)机械波传播的是能量和振动的形式。(√)
(2)机械波可以在真空中传播。(×)
(3)由于绳上质点的振动方向与波的传播方向垂直，故绳波是横波。(√)
(4)假如两个人能到月球上，两个人可以直接面对面对话交流。(×)
2．区分横波和纵波的主要依据是( )
A．是否沿水平方向传播
B．质点振动的方向和波传播的远近
C．质点振动的方向和波传播的方向是相互垂直还是在同一条直线上
D．质点振动的快慢
解析：选C 波的传播方向与质点的振动方向如果在同一条直线上就是纵波，如果两者的方向相互垂直，就是横波，故C正确。
机械波的形成及其特点
[问题探究]
扇舞是常见的文艺表演形式，扇舞中的一个精美的瞬间造型如图所示，表演者排成一行，从左边第一位表演者开始，手持扇子周期性地下蹲、起立，旁边的表演者重复他的动作，只是后边的一位总比前边的一位稍迟一点点，这样就会看到上下起伏扇子形成的波沿着队伍传播开来，形成优美的波浪造型。
情境设问： (1)要形成“扇子波浪”，是否需要一个表演者手持扇子先振动起来？
(2)后一表演者与前一表演者相比，他们的运动有何异同？
(3)“扇子波浪”沿水平方向传播，扇子随“扇子波浪”迁移了吗？
提示：(1)是需要有一个表演者手持扇子先振动起来。
(2)前一表演者带动后一表演者的运动，都同样振动，但后一表演者比前一表演者节奏稍迟。
(3)没有，扇子只是上下振动。
[要点归纳]
1．机械波的形成
2．机械波的特点
(1)机械波传播的是振动形式、能量和信息，介质中各质点本身并不随波传播而迁移，而是在各自的平衡位置附近振动。
(2)由于波的形成实际上是从波源开始依次带动介质中的各个质点参与振动，所以各个质点都在做受迫振动，因此各个质点振动的周期(频率)与波源的周期(频率)相同。
(3)在不考虑能量损失时，各质点振动的振幅相同，各质点的起振方向都与波源开始振动的方向相同。
3．振动和波动的区别与联系
振动 波动
区别 研究对象 单个质点在平衡位置附近的往复运动，研究的是单个质点的“个体行为” 振动在介质中的传播，研究的是大量质点振动的“群体行为”
力的来源 可以由作用在物体上的各种性质的力提供 联系介质中各质点的弹力
运动性质 质点做变加速运动 在同一种均匀介质中是匀速向前传播的
联系 ①振动是波动的原因，波动是振动的结果；有波动必然有振动，但有振动不一定有波动②波动的性质、频率和振幅都与振源相同
[例题1] 某绳波形成过程的示意图如图所示，质点1在外力作用下沿垂直直线方向做简谐运动，带动其余质点依次上下振动，把振动从绳的左端传到右端。已知t＝0时，质点1开始向上运动，t＝时，1到达最上方，5开始向上运动。问：
(1)t＝时，质点8、12、16的运动状态(是否运动、运动方向)如何？
(2)t＝时，质点8、12、16的运动状态如何？
[解析] 各质点在t＝、t＝的情况，分别如图甲、乙所示。
(1)由图甲可知，t＝时，质点8未到达波峰，正在向上振动，质点12、16未振动。
(2)由图乙可知，t＝时，质点8正在向下振动，质点12向上振动，质点16未振动。
[答案] 见解析
波动过程中介质中各质点的运动特点
(1)波动过程中介质中各质点的振动周期都与波源的振动周期相同。
(2)每个质点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(3)先振动的质点带动后振动的质点。
(4)后振动质点的振动状态落后于先振动的质点的振动状态。
[针对训练]
1．关于机械波的形成与传播，下列说法中错误的是( )
A．物体做机械振动，不一定产生机械波
B．后振动的质点总是跟着先振动的质点重复振动，只是时间落后一步
C．参与振动的质点都有相同的频率
D．机械波是质点随波迁移，也是振动能量的传递
解析：选D 机械波的形成必须具备两个条件：波源和介质，若只有物体做机械振动，而其周围没有传播这种振动的介质，远处的质点不可能振动起来形成机械波，A正确；先振动的质点带动与它相邻的后振动的质点，将振动传播开来，所以后一质点总是落后前一质点，但振动频率相同，B、C正确；形成机械波的各振动质点只在平衡位置附近往复运动，并没有随波迁移，离波源远的质点振动的能量是通过各质点的传递从波源获得的，D错误。
2．关于振动和波的关系，下列说法中正确的是( )
A．波是振动的成因，是振动的传播
B．振动是单个质点呈现的运动现象，波是许多质点联合起来呈现的运动现象
C．波的传播速度就是质点振动的速度
D．波源停止振动时，波立即停止传播
解析：选B 机械波的产生条件是有波源和介质，由于介质中的质点之间的相互作用，一个质点的振动带动相邻质点的振动，由近及远传播而形成波，B正确，A项错误；波的传播速度是波形由波源向外传播的速度，而质点振动的速度大小和方向都随时间周期性地发生变化，C项错误；波源一旦将振动传给了介质，振动就会在介质中向远处传播，当波源停止振动时，介质仍然继续传播波源振动的运动形式，不会随波源停止振动而立即停止传播，D项错误。
横波和纵波的比较
[问题探究]
地震是重大的自然灾害，地震后的情境如图所示。当地震发生时，地震波在地球内部和地表传播，有时使人感到左右摇晃，有时使人感到上下颠簸。请思考：
(1)地震波是横波还是纵波？
(2)横波与纵波的根本区别是什么？
提示：(1)地震波既有横波成分也有纵波成分。
(2)横波与纵波的根本区别是质点的振动方向与波的传播方向之间的关系。
[要点归纳]
横波与纵波的比较
名称项目 横波 纵波
概念 在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互垂直 在波动中，质点的振动方向和波的传播方向在一条直线上
介质 只能在固体介质中传播 在固体、液体和气体介质中均能传播
特征 在波动中交替、间隔出现波峰和波谷 在波动中交替、间隔出现密部和疏部
(1)在纵波中各质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上，而不是方向相同。
(2)绳波是横波，声波是纵波，但水波既不是横波也不是纵波，它属于比较复杂的机械波。
[例题2] 关于横波和纵波，下列说法正确的是( )
A．对于纵波，质点的振动方向和波的传播方向有时相同，有时相反
B．对于横波，质点的运动方向与波的传播方向不一定垂直
C．形成纵波的质点随波一起迁移
D．空气介质也能传播横波
[解析] 质点的振动方向与波的传播方向垂直的波是横波，质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波是纵波。纵波质点的运动方向与波的传播方向有时相同，有时相反，故A正确，B错误。无论横波还是纵波，质点都不随波迁移，故C错误。横波不能在空气中传播，空气只能传播纵波，故D错误。
[答案] A
[针对训练]
1．有关纵波与横波，下列说法正确的是( )
A．振源上下振动形成的波是横波
B．振源水平振动形成的波是纵波
C．波沿水平方向传播，质点上下振动，这类波是纵波
D．质点沿水平方向振动，波沿水平方向传播，并且质点的振动方向与波的传播方向平行，这类波是纵波
解析：选D 不论振源是沿水平方向振动，还是沿竖直方向振动，只要振动方向与波的传播方向垂直，则为横波；若振动方向与波的传播方向在同一条直线上，则为纵波。则A、B、C错误，D正确。
2．下列关于横波和纵波的说法中正确的是( )
A．横波中，质点的振动方向一定与波的传播方向垂直
B．横波中，质点的振动方向也可能与波的传播方向在同一直线上
C．纵波中，波的传播方向就是波中质点的移动方向
D．纵波中，质点的振动方向一定与波的传播方向垂直
解析：选A 横波的传播方向与质点的振动方向垂直，选项A正确，选项B错误；纵波中质点的振动方向与波的传播方向虽然在同一条直线上，但质点的振动方向与波的传播方向可能相同，也可能相反，故选项C、D错误。
1．关于机械波的以下说法中，正确的是( )
A．波动的发生只需要波源，可以没有介质
B．波动过程是介质质点由近及远移动的过程
C．波动过程是能量由近及远传递的过程
D．波源与介质质点的振动都是自由振动
解析：选C 要产生机械波，必须有波源和介质，A错误；波传播的过程就是波的能量和形式由近及远传递的过程，但质点并不随波迁移，B错误，C正确；介质中各质点的振动为受迫振动，D错误。
2．一列横波正沿水平方向由西向东传播，则下列说法中正确的是( )
A．波中的各个质点都在由西向东运动
B．波中的各个质点一定沿水平方向振动
C．波中的各个质点一定沿竖直方向振动
D．以上说法都错误
解析：选D 横波中各质点的振动方向与波的传播方向垂直，波在水平方向由西向东传播，质点的振动方向与其垂直，不一定沿水平方向，也不一定沿竖直方向，故A、B、C错误，D正确。
3．把闹钟放在密闭的玻璃罩内，在玻璃罩外仍然可以听到闹钟的铃声。但如果将玻璃罩内的空气用抽气机抽出去，就听不到闹钟的铃声。这说明( )
A．声波是纵波
B．抽去玻璃罩内的空气后，闹钟不再响铃了
C．气体和固体都能传播声音
D．声波也能在真空中传播
解析：选C 根据题中叙述的现象，无法说明声波是纵波，选项A错误；抽去玻璃罩内的空气，不会使闹钟停止响铃，选项B错误；抽去玻璃罩内的空气前，在玻璃罩外仍然可以听到闹钟的铃声，说明玻璃罩和空气都能传播声音，选项C正确；抽去玻璃罩内的空气后，就听不到闹钟的铃声，说明声波不能在真空中传播，选项D错误。
4．近海地震往往引发海啸，造成了重大的人员伤亡，海啸实际上是一种波浪运动，也可称为地震海浪，下列说法中正确的是( )
A．波源停止振动时，海啸和地震波的传播立即停止
B．地震波和海啸都是由机械振动引起的机械波
C．地震波的纵波速度等于横波速度
D．地震波和海啸具有能量，随着传播将愈来愈强
解析：选B 震源的机械振动带动与其相邻的其他质点振动，再带动更远的质点振动，使震源的振动由近及远向外传播，形成地震波，所以波源停止振动时，海啸和地震波的传播不会立即停止，A选项错误，B选项正确；地震波的纵波速度大于横波速度，故此性质可用于横波的预警，C选项错误；地震波和海啸具有能量，但由于质点由静止到运动需要增加动能，质点在运动的过程中要克服摩擦力做功，所以会有机械能转化为内能，故随着波的传播其能量将愈来愈弱，D选项错误。
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8波的描述
1．理解波的图像的意义。
2．能够由波的图像判断波的传播方向与质点的振动方向的关系及由有关信息画出波的图像。
3．知道波长、频率和波速的概念，理解其决定因素及它们之间的数量关系。
知识点一 波的图像
[知识梳理]
1．波的图像的画法：波的图像如图所示。
2．波的图像的物理意义
波的图像描述的是某一时刻，沿波的传播方向的各个质点偏离平衡位置的位移。
3．简谐波
波形图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也称为简谐波。简谐波在传播时，介质中各质点在做简谐运动。
4．波的图像与振动图像的区别
(1)波的图像表示介质中的“各个质点”在“某个时刻”的位移。类似于生活中的“照相”。
(2)振动图像表示介质中的“某一质点”在“各个时刻”的位移。类似于生活中的“录像”。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)波的图像表示质点在各个不同时刻的位移。(×)
(2)只有横波才能画出波的图像。(×)
(3)波的图像表示波中各质点在某一时刻的位移。(√)
(4)简谐波中各质点做简谐运动。(√)
2．思考题。
图甲为波的图像，图乙为振动图像，波的图像外形上与振动图像相似，如何辨别它们？
提示：可根据图像的横坐标的意义进行区别，若横坐标为时间t，表示振动图像；若横坐标为位置x，表示波的图像。
知识点二 波长、频率和波速
[情境导学]
某时刻波的图像如图所示。请思考：
(1)该时刻质点B与F间、D与H间、C与G间的距离有何关系？该距离有何意义？
(2)质点B与F、D与H、C与G的振动情况有何关系？
提示：(1)均相等，等于一个波长。
(2)质点B与F的振动情况相同；D与H的振动情况相同；C与G的振动情况相同。
[知识梳理]
1．波长λ
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)特征
①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。
②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
2．周期T或频率f
(1)定义：在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率叫作波的周期或频率。
(2)周期与波长的关系：经过一个周期T，振动在介质中传播的距离等于一个波长λ。
3．波速
(1)定义：机械波在介质中的传播速度。
(2)公式：v＝＝λf。
(3)决定因素：机械波的波速由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同的。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长。(×)
(2)两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长。(×)
(3)振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期。(√)
(4)频率越大的机械波在介质中传播得越快。(×)
2．一列沿x轴传播的横波如图所示，周期为2 s，则该波的( )
A．波长为2 m B．振幅为10 cm
C．频率为2 Hz D．波速为2 m/s
解析：选D 由题图可知，该波的波长为4 m，振幅为5 cm，故A、B错误；周期为2 s，则频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，故C错误；根据波速、波长和频率的关系可知，波速v＝λf＝4×0.5 m/s＝2 m/s，故D正确。
对波的图像的理解及应用
[要点归纳]
1．对波的图像的理解
(1)波的图像是某一时刻介质中各个质点离开平衡位置情况的“定格”。可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”。
(2)简谐波的图像是正(余)弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等，介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动。
2．波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同，质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化。经过一个周期，波的图像复原一次。
3．波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正方向传播，也有可能沿x轴负方向传播，具有双向性。
4．波的图像的应用
(1)可以直接看出在该时刻各个质点的位移。
(2)可以直接看出各质点的振幅A。
(3)可以读出波的波长λ。
(4)可以根据波形图、波的传播方向判断该时刻某个质点的振动方向。
[例题1] (2020·天津等级考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝时( )
A．质点a的速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1 m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为－5 cm
[解析] t＝时，质点a沿y轴正方向运动到平衡位置，其速度方向沿y轴正方向，选项A错误；根据简谐横波的传播特点可知，质点只在平衡位置附近上下振动，不沿传播方向迁移，选项B错误；t＝时，质点c运动到平衡位置，所受合外力为零，加速度为零，选项C正确；t＝时，质点d运动到正向最大位移处，位移为5 cm，选项D错误。
[答案] C
根据波形图、波的传播方向判断某时刻某个质点的振动方向的方法
方法解读 图像演示
“上下坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线的同侧
“微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
[特别提醒] 对于波形图、波的传播方向、质点的振动方向三个“要素”，只要知道其中任意两个“要素”，就能判断第三个“要素”。
[针对训练]
1.一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则( )
A．此刻a的加速度最小
B．此刻b的速度最小
C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
解析：选C 此刻a的位移最大，由a＝－知，此时a的加速度最大，A错。此刻b位于平衡位置，其速度最大，B错。若波沿x轴正方向传播，a比b离波源近，a比b先振动，故此时b向y轴正方向运动，C对。若波沿x轴负方向传播， c向y轴正方向运动， 故c比a先回到平衡位置，D错。
2. 某时刻横波的波形图如图所示，则( )
A．若质点a向下运动，则波是从右向左传播的
B．若质点b向下运动，则波是从左向右传播的
C．若波从右向左传播，则质点c向下运动
D．若波从右向左传播，则质点c向右运动
解析：选A 根据质点的振动方向与波的传播方向的关系，若a、b向下运动，则波向左传播，A项正确，B项错误；若波向左传播，则c向上运动，C、D项错误。
对波长、周期和频率、波速的理解
[要点归纳]
1．对波长的理解
(1)两个关键词：“相邻的”和“位移总是相等”，必须同时满足。
(2)两个有关推论：在波动过程中
①距离为波长的整数倍的两个质点的振动情况总是相同。即两个质点的位移、速度、加速度等各量总是大小相等、方向相同。
②平衡位置间距离为半波长的奇数倍的两个质点的振动情况总是相反。即两个质点的位移、速度、加速度等各量总是大小相等、方向相反。
2．对周期和频率的理解
(1)物理意义：波的周期(或频率)是反映波变化快慢的物理量，它不能反映波传播的快慢。
(2)波的周期(或频率)的三点说明：
①波的周期(或频率)由波源振动的周期(或频率)决定；
②每个质点振动的周期(或频率)由波源振动的周期(或频率)决定；
③波由一种介质进入另一种介质时，波的周期(或频率)不发生变化。
3．对波速的理解
(1)机械波的波速只与传播介质的性质有关。
①同一列波在不同介质中的传播速度不同；
②不同频率的同种机械波在同一介质中的传播速度相等。
(2)波在同一均匀介质中是匀速传播的。
(3)对波速公式v＝λf的理解
决定因素 关系
周期和频率 取决于波源，而与v、λ无关 v＝λf或v＝λ/T
波速 取决于介质本身的性质，它与T、λ无关
波长 由波源和介质共同决定，只要T、v有一个变化，波长一定变化
[例题2] 如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x轴上有P、M、Q三点，从波传到x＝5 m的M点时开始计时，已知t1＝0.7 s时M点第二次出现波峰，求：
(1)这列波传播的速度；
(2)从t＝0时刻起到t2＝1 s止，质点Q(x＝9 m)通过的路程。
[解析] (1)简谐横波沿x轴正方向传播，根据波动规律可知，M点开始振动时，沿y轴负方向振动。
t1＝0.7 s时M点第二次出现波峰，根据波动规律可知，M点振动了1个周期。
计算可知，周期T＝0.4 s
分析题图可知，波长λ＝4 m
根据波长、频率和周期的关系可知，波速v＝＝10 m/s。
(2)波沿x轴正方向匀速传播，质点Q开始振动的时间t′＝＝0.4 s
从t＝0时刻起到t2＝1 s止，质点Q振动的时间间隔Δt＝t2－t′＝0.6 s
此时质点Q振动了1个周期，
通过的路程s＝6A＝60 cm。
[答案] (1)10 m/s (2)60 cm
求解波速的两种方法
(1)在波的图像中读出波长，再利用v＝求波速。
(2)利用v＝求波速，其中x为波传播的距离，Δt为波传播距离x对应的时间。
[针对训练]
1．下列关于机械波的公式v＝λf的说法中正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速v也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有λ
D．由v＝λf知，波长为4 m的声波的传播速度是波长为2 m的声波的2倍
解析：选A 公式v＝λf适用于一切波，包含机械波和电磁波，选项A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f和波长λ无关，选项B、D错误；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，选项C错误。
2.一列简谐横波在t＝1.0 s时刻的波形图如图所示。已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，则以下说法错误的是( )
A．这列波的波速为10 m/s
B．这列波的频率为2.5 Hz
C．这列波沿x轴正方向传播
D．该时刻质点P正沿y轴负方向运动
解析：选C 由题意，从题图中可知波长λ＝4 m，T＝0.4 s，解得v＝＝10 m/s，A正确；根据f＝，可得f＝2.5 Hz，B正确；b点起振比a早，根据上下坡法可知波沿x轴负方向传播，C错误；根据波动与振动“上下坡”关系，该时刻质点P沿y轴负方向运动，D正确。
1．对于介质中正在传播的一列机械波，下列说法正确的是( )
A．传播速度等于波中某质点的振动速度
B．某质点在一个周期内走过的路程等于波长
C．波的周期与波源振动的周期可能不同
D．波在一个周期内传播的距离等于波长
解析：选D 波在介质中匀速传播，质点的振动是变速运动，二者不相等，A错误；质点在一个周期内走过的路程等于振幅的四倍，不一定等于波长，B错误；波的周期与波源振动的周期始终相等，C错误；根据λ＝vT知，D正确。
2．取一条较长的软绳，用手握住一端(O点)连续上下抖动，在绳上形成一列简谐横波。已知O点完成一次全振动所用的时间为T，某一时刻的波形如图所示，绳上a、b两点均处于平衡位置。下列说法正确的是( )
A．a、b两点间的距离等于一个波长
B．a、b两点的振动方向相同
C．再经，b质点将运动到波峰位置
D．再经，a质点将运动到b质点的位置
解析：选C 由题图可知，a、b两点间的距离一定小于一个波长，故A错误；根据波的传播规律利用带动法可知，a质点在向下运动，而b质点在向上运动，故B错误；b质点在平衡位置向上运动，所以再经，b质点将运动到波峰位置，故C正确；质点只在平衡位置上下振动，不会随波迁移，故D错误。
3．如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是( )
A．波速为8 m/s
B．频率为2 Hz
C．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
D．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
解析：选D 由题图可知简谐横波的波长为λ＝4 m。波沿x轴正方向传播，t＝0.5 s＝T，可得周期T＝ s，频率f＝＝1.5 Hz，波速v＝＝6 m/s，A、B项错误；t＝0时刻，x＝1 m处的质点在波峰，经过1 s＝T，一定在波谷，C项错误；t＝0时刻，x＝2 m处的质点在平衡位置，经过2 s＝3T，质点一定经过平衡位置，D项正确。
4．一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，已知t＝1.5 s时刻a质点第一次到达波谷，且从t＝0时刻起，a质点比b质点晚到达波谷，则下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的波速为4 m/s
C．0～20 s内，质点a通过的路程为1 m
D．质点a的振动方程为y＝5sinπt(cm)
解析：选D a质点比b质点第一次到达波谷的时间晚，说明在t＝0时刻a质点沿y轴正方向运动，故该波向x轴负方向传播，选项A错误；经分析可知＝1.5 s，解得T＝2 s，由题图可知，该波的波长λ＝4 m，故该波的波速v＝＝2 m/s，选项B错误；20 s内a质点完成10次全振动，其通过的路程为200 cm，即为2 m，选项C错误；质点a的振动方程为y＝Asin t＝5sinπt(cm)，选项D正确。
5．如图所示，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t＝0和t＝0.1 s时的波形图。已知平衡位置在x＝6 m处的质点，在0到0.1 s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为________ s，波速为________ m/s，传播方向沿x轴________(填“正方向”或“负方向”)。
解析：由题意x＝6 m处的质点在0到0.1 s时间内的运动方向不变，知该质点在该时间内振动的时间小于半个周期，结合题图可知该时间应为个周期，显然该时间内x＝6 m处的质点沿y轴负方向运动，则由波的传播方向以及质点的振动方向的关系可判断，该简谐横波沿x轴负方向传播；又由T＝0.1 s得T＝0.4 s；由波速与波长、周期的关系得v＝＝ m/s＝ 10 m/s。
答案：0.4 10 负方向
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9波的反射、折射和衍射
1．知道波的反射和反射规律。
2．了解波的折射现象。
3．知道波的衍射现象和波发生明显衍射现象的条件，知道衍射是波特有的现象。
知识点一 波的反射和折射
[情境导学]
我们一般都有这样的体验：
(1)如图甲所示，我们在山中对着山谷大声“你好……”时会听到“连绵不断”的“你好……”的回声；如图乙所示，在空旷的大房间里大声说话时，会听到“嗡嗡”的回声，导致不容易听清声音，这些属于波的什么现象？
(2)如图丙所示，我们对着家中的鱼缸大喊，会看见鱼缸中的鱼儿的游泳速度发生突然变化，好像听到了我们的喊声。这属于波的什么现象？
提示：(1)都是声波的反射现象。
(2)是声波的折射现象。
[知识梳理]
1．波的反射
(1)定义：波遇到介质界面会返回来继续传播的现象。
(2)波的反射定律：反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，如图所示。
2．波的折射
(1)定义：波从一种介质进入另一种介质时，波的传播方向发生改变的现象。
(2)一切波都会发生折射现象。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)在空旷的房间里往往听不清对方说的话，这是墙壁对声音多次反射的结果。(√)
(2)潜水员能听到岸上人的喊声，是声波反射的结果。(×)
(3)潜水员能听到岸上人的喊声，是声波折射的结果。(√)
2．思考题。
人们听不清对方说话时，除了让一只耳朵转向对方，还习惯性地把同侧的手附在耳旁，这样做是利用声波的什么特点提高耳朵的接收能力的？
提示：在耳廓原有形状、面积的基础上增加一个手的面积是为了增加波的反射来提高耳朵的接收能力的。
知识点二 波的衍射
[情境导学]
我们常说“隔墙有耳”“未见其人先闻其声”，这些现象的发生是什么原因？
提示：声波发生了衍射现象。
[知识梳理]
1．定义：波绕过障碍物继续传播的现象。
2．实验及现象
(1)实验器材：在水槽里放两块挡板，中间留个狭缝。
(2)现象
①狭缝宽度比波长大得多时：波的传播如同光沿直线传播一样，挡板后面产生一个阴影区。
②狭缝宽度与波长相差不多或狭缝宽度比波长更小时，波绕到挡板后面继续传播。
3．发生明显衍射的条件
缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小。
4．一切波都能发生衍射，衍射是波特有的现象。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)雷雨天总是“先看见闪电后听到雷声”是声波的衍射现象。(×)
(2)“闻其声而不见其人”，是指声波的衍射现象。(√)
(3)缝或孔的宽度较大时，不能发生衍射现象。(×)
(4)一切波都能发生衍射现象。(√)
2．下列现象不属于波的明显衍射现象的是( )
A．“隔墙有耳”
B．“空山不见人，但闻人语声”
C．河中芦苇后面没有留下无波的区域
D．池中假山前有水波，假山后无水波
解析：选D 假山前有水波，假山后无水波，说明波没有绕过障碍物，因此不属于明显衍射现象，其余都属于波的明显衍射现象，故选D。
对波的反射和折射现象的理解及应用
[要点归纳]
1．波的反射的应用
(1)回声测距：常见的有如下三种情况：
①当声源不动时，声波遇到了静止障碍物会被反射回来继续传播，由于反射波与入射波在同一介质中的传播速度相同，因此，入射波和反射波在传播距离一样的情况下，用的时间相等。设经过时间t听到回声，则声源距障碍物的距离为s＝v声。
②当声源以速度v向静止的障碍物运动或障碍物以速度v向静止的声源运动时，声源发声时障碍物到声源的距离为s＝(v声＋v)。
③当声源以速度v远离静止的障碍物或障碍物以速度v远离静止的声源时，声源发声时障碍物到声源的距离为s＝(v声－v)。
(2)超声波定位：蝙蝠、海豚能发出超声波。超声波遇到障碍物或捕食目标时会被反射回来。蝙蝠、海豚就是根据接收到的反射回来的超声波来确定障碍物或食物的位置，从而确定飞行或游动方向的。
2．频率、波速和波长的决定因素
(1)频率f由波源决定，故无论是反射波的频率还是折射波的频率都与入射波的频率，即波源的振动频率相同。
(2)波速v由介质决定，因反射波与入射波在同一介质中传播，故波速不变，而折射波与入射波在不同介质中传播，所以波速变化。
(3)根据v＝λf知，波长λ与v及f有关，即与介质和波源有关，反射波与入射波在同一介质中波速相同，频率相同，故波长相同。折射波与入射波在不同介质中传播，v不同，f相同，故λ不同。
[例题1] 某物体发出的声音在空气中的波长为1 m，波速为340 m/s，在海水中的波长为4.5 m。
(1)该波的频率为________ Hz，在海水中的波速为________m/s。
(2)若物体在海面上发出的声音经0.5 s听到回声，则海水深为多少？
(3)若物体以5 m/s的速度由海面向海底运动，则经过多长时间听到回声？
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两点：?
(1)波的频率、波速与介质的关系；?
(2)回声时间与波程的对应关系。?
[解析] (1)由f＝得f＝ Hz＝340 Hz。
因波的频率不变，则在海水中的波速为
v海＝λf＝4.5×340 m/s＝1 530 m/s。
(2)入射声波和反射声波用时相同，则海水深为
s＝v海＝1 530× m＝382.5 m。
(3)物体与声音运动的过程示意图如图所示。
设听到回声的时间为t，则v物t＋v海t＝2s。
代入数据解得t＝0.498 s。
[答案] (1)340 1 530 (2)382.5 m (3)0.498 s
[例题2] 一列声波在介质Ⅰ中的波长为0.2 m。当该声波从空气中以某一角度传入介质Ⅱ中时，波长变为0.6 m，如图所示，若介质Ⅰ中的声速是340 m/s。求：
(1)该声波在介质Ⅱ中传播时的频率；
(2)该声波在介质Ⅱ中传播的速度。
[解析] (1)声波在介质Ⅰ中传播时，由v＝λf得
f＝＝ Hz＝1 700 Hz，
由于声波在不同介质中传播时，频率不变，所以声波在介质Ⅱ中传播时，频率为 1 700 Hz。
(2)由v＝λf得声波在介质Ⅱ中的传播速度为
v2＝λ2f＝0.6×1 700 m/s＝1 020 m/s。
[答案] (1)1 700 Hz (2)1 020 m/s
(1)在波的折射中，波的频率不发生改变，波速和波长都发生变化。
(2)波在两种介质的界面上发生折射的原因是因为波在不同介质中的速度不同。
(3)水波的传播速度与水深有关，水越浅，水波的传播速度越小。
[针对训练]
1．当一个探险者进入一个山谷后，为了估测出山谷的宽度，他吼一声后，经过0.5 s听到右边山坡反射回来的声音，又经过1.5 s后听到左边山坡反射回来的声音，若声速为 340 m/s，则这个山谷的宽度约为( )
A．170 m B．340 m
C．425 m D．680 m
解析：选C 由d＝v·＋v·，可得山谷的宽度约为d＝425 m，故选项C正确。
2.图中1、2、3分别代表入射波、反射波、折射波的波线，则( )
A．2与1的波长、频率相等，波速不等
B．2与1的波速、频率相等，波长不等
C．3与1的波速、频率、波长均相等
D．3与1的频率相等，波速、波长均不等
解析：选D 波1、2都在介质a中传播，故1、2的频率、波速、波长均相等，A、B错。波1、3是在两种不同介质中传播，波速不同，但波源没变，因而频率相等，由λ＝得波长不同，故C错，D对。
对波的衍射现象的理解
[问题探究]
声波能绕过障碍物到达后面的情境如图甲所示；军舰发出的探测超声波遇到水下潜艇的传播情境如图乙所示。
请思考：衍射声波有什么特点？
提示：衍射波与原波具有相同的频率，在传播过程中波形没变，只是传播范围进入到了障碍物后面的“阴影”区域。
[要点归纳]
1．发生明显衍射现象的条件
(1)水波遇到障碍物的情况
当障碍物较小时发现波绕过障碍物继续前进，如同障碍物不存在一样。如图甲所示，衍射现象明显。
(2)水波遇到小孔的情况
当孔较小时发现孔后的整个区域里传播着以孔为中心的圆形波。如图乙所示，衍射现象明显。
(3)产生明显衍射的条件
障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。
注意：衍射是波特有的现象，一切波都可以发生衍射。衍射现象只有“明显”与“不明显”之分。
2．波的衍射现象的本质
波传到小孔(或障碍物)时，小孔(或障碍物)仿佛是一个新的波源，由它发出与原来同频率的波(称为子波)，在孔(或障碍物)后传播，于是就出现了偏离直线传播的衍射现象。波的直线传播是衍射不明显时的近似情形。
[例题3] 如图所示，正中有一O点是水面上一波源，实、虚线分别表示该时刻的波峰、波谷，A是挡板，B是小孔，经过一段时间，水面上的波形发生明显衍射的区域是( )
A．阴影Ⅰ区域 B．阴影Ⅱ、Ⅲ区域
C．阴影Ⅰ、Ⅱ区域 D．无明显衍射区域
[解析] 水波在传播过程中遇到了小孔B，与水波波长相比，小孔B的尺寸比较小，所以能发生明显的衍射现象，水面上的波能明显进入阴影Ⅱ、Ⅲ区域；但与水波波长相比，A挡板的尺寸较大，不能发生明显的衍射现象，所以水面上波分布于除阴影Ⅰ以外区域，故A、C、D错误，B正确。
[答案] B
(1)波的衍射是不需要条件的，但要发生明显的衍射必须满足一定的条件。
(2)波长比小孔(或障碍物)尺寸大得越多，衍射现象越明显。
[针对训练]
1．水波通过小孔，发生了一定程度的衍射，为使衍射现象更明显，下列做法可取的是( )
A．增大小孔尺寸 B．增大小孔尺寸
C．增大水波频率 D．减小水波频率
解析：选D 根据发生明显衍射现象的条件，可知本题中要使现象更明显，可采取：减小小孔尺寸或增大水波波长，或同时减小小孔尺寸、增大水波波长，所以A、B错误；介质已确定，波速是确定的，由v＝λf知：若f改变了，λ也会改变，就会影响衍射发生的明显程度，因此欲增大波长，必须减小水波频率，故C错误，D正确。
2.观察水面波衍射的实验装置如图所示，AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹(图中曲线)之间距离表示一个波长，相邻波纹间距离与AB间距相等。下列说法正确的是( )
A．水面波经过孔后波速减小
B．水面波经过孔后波纹间距离可能变大
C．若波源频率增大，衍射现象更明显
D．如果将孔扩大，可能观察不到明显的衍射现象
解析：选D 在同一介质水中，波速不变，A错误；频率由波源决定，保持不变，由λ＝可知波长不变，即水面波经过孔后波纹间距离不变，B错误；若波源频率增大，波长变短，孔的尺寸大于波长，衍射现象会变得不明显，C错误；如果将孔扩大，大于波长，衍射现象会变得不明显，可能观察不到明显的衍射现象，D正确。
1．以下关于波的认识，错误的是( )
A．潜水艇利用声呐探测周围物体的分布情况，用的是波的反射原理
B．隐形飞机怪异的外形及表面涂特殊吸波材料，是为了减少波的反射，从而达到隐形的目的的
C．雷达的工作原理是利用波的直线传播
D．水波从深水区传到浅水区改变传播方向的现象，是波的折射现象
解析：选C 声呐、雷达都是利用接收反射波来进行定位的，故A正确，C错误；隐形飞机是通过减少波的反射达到隐形的目的的，故B正确；水波的传播方向发生改变属于波的折射现象，故D正确。
2．下列现象属于波的衍射现象的是( )
A．在空旷的山谷里喊叫，可以听到回声
B．只闻其声，不见其人
C．余音绕梁，三日而不绝
D．夏日的雷声有时轰鸣不绝
解析：选B 空旷的山谷里叫喊，可以听到回声，这是声波的反射现象，故A错误；波遇到障碍物或小孔后继续传播的现象叫做波的衍射，“只闻其声，不见其人”是声波的衍射现象，故B正确；“余音绕梁，三日而不绝”，是声波的反射，故C错误；雷声有时轰鸣不绝，也是声波的反射，故D错误。
3．下列说法中正确的是( )
A．孔的尺寸比波长大得多时不会发生衍射现象
B．孔的尺寸比波长小才发生衍射现象
C．只有孔的尺寸跟波长相差不多或者比波长更小时，才能出现衍射现象
D．只有波才有衍射现象
解析：选D 波绕过障碍物的现象称为波的衍射现象，发生明显衍射的条件是孔或障碍物的尺寸跟波长差不多或者比波长更小。孔径大并不是不发生衍射，只是波的衍射现象不明显，所以A、B、C项错误。衍射现象是波的特有的现象，所以D项正确。
4．两列不同频率的水波通过相同的小孔形成的衍射图样如图所示，由图可知，两列波的波长和频率的大小关系是( )
A．λ甲>λ乙，f甲>f乙 B．λ甲<λ乙，f甲C．λ甲>λ乙，f甲f乙
解析：选C 题图甲中衍射现象比题图乙中明显，所以甲中水波的波长大于乙中水波的波长，而相同的介质中，水波的传播速度相同，根据v＝λf可知，波长越长，则频率越低，故C正确，A、B、D错误。
5．一列波在第一种均匀介质中的波长为λ1，在第二种均匀介质中的波长为λ2，且λ1＝3λ2，那么波在这两种介质中的频率之比和波速之比分别为( )
A．3∶1,1∶1 B．1∶3,1∶4
C．1∶1,3∶1 D．1∶1,1∶3
解析：选C 由于波的频率由波源决定，因此f1＝f2，已知 λ1＝3λ2，由v＝λf可得＝＝。
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8波的干涉 多普勒效应
1．知道波的叠加原理。
2．知道波的干涉现象、干涉条件及干涉图样，知道波的干涉也是波的特有现象。
3．知道多普勒效应及产生原因，了解多普勒效应的一些应用。
知识点一 波的干涉
[情境导学]
两列水波的干涉图样如图所示，观察其有什么规律？
提示：振动加强点和减弱点互相间隔且稳定不变。
[知识梳理]
1．波的叠加
(1)波的独立传播：两列波在彼此相遇并穿过后，仍然保持各自的运动特征，继续传播。
(2)波的叠加原理：几列波相遇时能够保持各自的运动特征，继续传播，在它们重叠的区域里，介质中的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉
(1)定义
频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强，某些区域的振动总是减弱的现象。
(2)稳定干涉条件
①两列波的频率必须相同。
②两个波源的相位差必须保持不变。
(3)一切波都能够发生干涉，干涉是波特有的现象。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)只要频率相同的两列波才可以叠加。(×)
(2)两列波叠加时，质点的位移一定增大。(×)
(3)转动敲击后正在发声的音叉，听到声音忽强忽弱是声波的干涉现象。(√)
(4)两个人一起说话，不会发生干涉现象。(√)
2．两波源S1、S2在水槽中形成的波形如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，则( )
A．在两波相遇的区域中会产生稳定干涉
B．在两波相遇的区域中不会产生稳定干涉
C．a点的振动始终加强
D．a点的振动始终减弱
解析：选B 由题图可知，两列波的波长不相等，由v＝λf知f不相等。不满足波产生稳定干涉的条件，故B正确。
知识点二 多普勒效应
[情境导学]
我国已经进入高铁时代，普通列车的时代已成过去。如图所示，列车匀速驶过，对于站在路旁的护路工人师傅，列车由远而近鸣喇叭时他会听到喇叭声的音调比较高，远去的列车鸣喇叭时他会听到喇叭声的音调比较低。请思考这是什么现象？
提示：是多普勒效应。
[知识梳理]
1．定义：波源与观察者互相靠近或者互相远离时，接收到的波的频率都会发生变化的现象。
2．产生原因
(1)波源与观察者相对静止时，单位时间内通过观察者的波峰(或密部)的数目是一定的，观察者观测到的频率等于波源振动的频率。
(2)波源与观察者相互靠近时，单位时间内通过观察者的波峰(或密部)的数目增加，观察者观测到的频率大于波源的频率，即观察到的频率变大。
(3)波源与观察者相互远离时，单位时间内通过观察者的波峰(或密部)的数目减少，观察者观测到的频率小于波源的频率，观察到的频率变小。
3．应用
(1)测车辆速度：交警向行进中的车辆发射频率已知的超声波，同时测量反射波的频率，根据反射波频率变化的多少就能知道车辆的速度。
(2)测血流速度：向人体内发射已知频率的超声波，超声波被血管中的血流反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就可得血流速度。
(3)测星球速度：测量星球上某些元素发出的光波的频率，然后与地球上这些元素静止时发光的频率对照，可得星球的速度。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)发生多普勒效应是因为波源的频率发生了变化。(×)
(2)当波源和观察者向同一个方向运动时，一定发生多普勒效应。(×)
(3)只有横波才能发生多普勒效应。(×)
2．下面哪些应用不是利用多普勒效应( )
A．利用地球上接收到遥远星体发出的光波的频率来判断遥远星体相对于地球的运动速度
B．交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，电磁波被运动的汽车反射回来，根据接收到的电磁波的频率发生的变化，就知道汽车的速度，以便于进行交通管理
C．铁路工人把耳朵贴在铁轨上可判断火车的运动情况
D．有经验的战士从炮弹飞行的尖叫声判断飞行炮弹是接近还是远去
解析：选C 凡是波都具有多普勒效应，因此利用光波的多普勒效应便可以测定遥远星体相对于地球运动的速度；被反射的电磁波，相当于一个运动的物体发出的电磁波，其频率发生变化，由多普勒效应的计算公式可以求出运动物体的速度；铁路工人把耳朵贴在铁轨上可判断火车的运行情况，是利用声音在固体中传播得快的特点，与多普勒效应无关；炮弹飞行，与空气摩擦产生声波，人耳接收到的频率与炮弹的相对运动方向有关，故选C。
对波的叠加的理解
[要点归纳]
1．波的叠加原理
(1)几列波相遇前后能够保持各自的运动状态，继续传播。
(2)在它们相遇时重叠的区域里，介质中的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。图a表示了分别向右、向左传播的两列波1和2在相遇区域内的叠加过程。
2．波的叠加原理是波具有独立传播性的必然结果，由于总位移是两个位移的矢量和，所以叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。
(1)两列同相波的叠加，振动加强，振幅增大。(如图a所示)
(2)两列反相波的叠加，振动减弱，振幅减小。(如图b所示)
[例题1] 波源甲、乙分别在一根水平放置的绳的左右两端，两波源发出的波在绳中的传播速度均是1 m/s。在t＝0时刻绳上的波形如图所示。则根据波的叠加原理，以下叙述正确的是( )
A．当t＝2 s时，波形如图①所示；当t＝4 s时，波形如图②所示
B．当t＝2 s时，波形如图①所示；当t＝4 s时，波形如图③所示
C．当t＝2 s时，波形如图②所示；当t＝4 s时，波形如图①所示
D．当t＝2 s时，波形如图②所示；当t＝4 s时，波形如图③所示
[解析] 当t＝2 s时，根据传播速度可知，它们相互重叠，由于振动方向相反，则振动减弱，波形如图②所示；当t＝4 s 时，各自传播了4 m，由于互不干扰，所以波形如图③所示，故选项D正确。
[答案] D
[针对训练]
1．如图甲，两列振幅和波长相同而传播方向相反的波，在相遇的某一时刻(如图乙)，两列波“消失”，此时介质中M、N两质点的运动方向是( )
A．M、N都静止 B．M、N都向上
C．M向下，N向上 D．M向上，N向下
解析：选C 由题图可知，两列波的波峰与波谷叠加，振动减弱，两波的振幅相等，所以题图乙所示的时刻两列波“消失”。根据波形平移法判断可知，向右传播的波单独引起M的运动方向向下，N的运动方向向上，向左传播的波单独引起M的运动方向向下，N的运动方向向上，根据叠加原理可知，此时M质点的运动方向向下，N质点的运动方向向上，故C正确，A、B、D错误。
2.波源S1在绳的左端发出频率为f1、振幅为A1的半个波形a，同时另一个波源S2在绳的右端发出频率为f2、振幅为A2的半个波形b(f1A．b波将先到达P点
B．两列波在P点叠加时P点的位移最大可达A1＋A2
C．a的波峰到达S2时，b的波峰也恰好到达S1
D．两列波相遇时，绳上位移可达A1＋A2的点只有一个，此点在P点的左侧
解析：选D 两列波在同一介质中传播，波速相等，同时到达中点P，故A错误；由于a的波长大于b的波长，两列波在P点叠加时两列波的波峰不可能同时到达P点，所以P点的位移最大不可能达A1＋A2，故B错误；a的波峰到达S2时，b的波峰已越过S1，故C错误；两列波相遇时，两列波峰同时到达P点的左侧，叠加后位移达到最大值，所以两列波相遇时，绳上位移可达A1＋A2的点只有一个，而且此点在P点的左侧，故D正确。
对波的干涉的理解
[问题探究]声波干涉演示仪的原理图如图所示，两个U形管A和B套在一起，A管两侧各有一小孔。声波从左侧小孔传入管内，从右侧小孔传出。
问题：(1)声波从左侧传入管内，被分成两列波的频率有何关系？能否发生干涉？
(2)若两列波传到右侧小孔时，两列波传播的路程相差一个波长，则此处声波是加强的还是减弱的？若传播的路程相差半个波长，则此处的声波是加强的还是减弱的？
提示：(1)由同一波源分成的两列波频率相同，这符合波干涉的条件。
(2)当两波的路程差等于波长时，此处两列声波的振动情况相同，振动加强，则此处声波是加强的；当两波的路程差等于半个波长时，此处两列声波的振动情况相反，振动减弱，则此处声波是减弱的。
[要点归纳]
1．产生干涉的必要条件
(1)两列波的频率必须相同。
(2)两个波源的相位差必须保持不变。
注意：波的干涉是波的叠加中的特例。
2．关于加强点(区)和减弱点(区)
(1)加强点
在某些点两列波引起的振动始终加强，质点的振动最剧烈，振动的振幅等于两列波的振幅之和，A＝A1＋A2。
(2)减弱点
在某些点两列波引起的振动始终相互削弱，质点振动的振幅等于两列波的振幅之差，A＝|A1－A2|，若两列波振幅相同，则质点振动的合振幅就等于零。
3．干涉图样及其特征
(1)干涉图样如图所示。
(2)特征：①加强区和减弱区的位置固定不变。
②加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间的变化而改变)。
③加强区与减弱区互相间隔。
[例题2] 两列波叠加的示意图如图所示，这两列波的振动方向、振幅、频率等完全相同。M、N、Q为叠加区域的三个点，Q为两个波谷相遇，M为两个波峰相遇，M、P、Q三点在同一条直线上，N点为波峰和波谷相遇，则下列说法正确的是( )
A．P点为振动减弱点
B．N点始终静止不动
C．经周期，质点Q传播到N点
D．M点为振动加强点，过，此点振动减弱
[解析] 在波峰和波峰或波谷和波谷相遇的地方，振动加强，波峰和波谷相遇的地方振动减弱，则M、Q点均为振动加强点，N点为振动减弱点。MQ连线为振动加强区，所以P点也是振动加强点，振动加强点的振幅等于两列波的振幅之和，振动减弱点的振幅等于两列波的振幅之差的绝对值。由于两列波的振幅相同，故N点振幅为零，即N点静止不动，A错误，B正确。在波的传播过程中，质点不随波迁移，C错误。M点振动始终加强，D错误。
[答案] B
[例题3] 如图(a)，在xy平面内有两个沿z方向做简谐振动的点波源S1(0,4)和S2(0，－2)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点A(8，－2)的路程差为________ m，两列波引起的点B(4,1)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)，点C(0,0.5)处质点的振动相互________(填“加强”或“减弱”)。
[解析] 点波源S1(0,4)的振动形式传播到点A(8，－2)的路程为L1＝10 m，点波源 S2(0，－2)的振动形式传播到点A(8，－2)的路程为L2＝8 m，两列波从波源传播到点 A(8，－2)的路程差为ΔL＝L1－L2＝2 m。由于两列波的波源到点B(4,1)的路程相等，路程差为零，且t＝0时两列波的波源的振动方向相反，所以两列波到达点B时振动方向相反，引起点B处质点的振动相互减弱；由振动图线可知，波动周期为T＝2 s，波长λ＝vT＝2 m。由于两列波的波源到点C(0,0.5)的路程分别为3.5 m和2.5 m，路程差为1 m，而t＝0时两列波的波源的振动方向相反，所以两列波到达点C时振动方向相同，引起点C处质点的振动相互加强。
[答案] 2 减弱 加强
振动加强点和减弱点的判断方法
(1)条件判断法：频率相同、振动情况完全相同的两波源产生的波叠加时，设某点到两波源的距离差为Δr：
①则当Δr＝kλ，k＝0,1,2，…时为加强点；
②当Δr＝(2k＋1)，k＝0,1,2，…时为减弱点。
注意：若两波源频率相同、振动步调相反，则上述结论相反。
(2)波形判断法
①若某点是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇，该点为加强点；
②若某点是波峰与波谷相遇，该点为减弱点。
③若某点是平衡位置和平衡位置相遇，则看两列波再传播T时，看该点是波峰和波峰(波谷和波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，从而判断该点是加强点还是减弱点。
[针对训练]
1．如图所示，表示两列同频率相干水波在t＝0时刻的叠加情况，图中实线表示波峰，虚线表示波谷。已知两列波的振幅均为2 cm，波速均为2 m/s，波长均为0.4 m，E点为B、D连线和A、C连线的交点，下列说法错误的是( )
A．A、C两点是振动减弱点
B．A、C、E点是振动加强点
C．B、D两点在该时刻的竖直高度差为8 cm
D．t＝0.05 s时，E点离平衡位置的位移大小为4 cm
解析：选B 题图中B、D均为振动加强点，E位于B、D的中线上，故E也是振动加强点，而A、C两点为波峰与波谷相遇，故是振动减弱点。题图中所示时刻，B点偏离平衡位置－4 cm，而D点偏离平衡位置4 cm，故二者竖直高度差为8 cm，再过0.05 s，两列波的波峰恰在E点相遇，故E点偏离平衡位置的距离将达到4 cm。故选A、C、D。
2.如图所示，在均匀介质中，A、B是振动情况完全相同的两个波源，其简谐运动表达式均为x＝0.1sin 20πt(m)，形成的机械波的波速都是10 m/s。介质中P点与A、B两波源间的距离分别为4 m和5 m。则( )
A．波的周期为0.2 s
B．波的波长为2 m
C．P点一定是振动加强点
D．P点可能是振动减弱点
解析：选C 设简谐波的波速为v，周期为T，由题意知T＝＝ s＝0.1 s，A错误；根据v＝可得λ＝vT＝1 m，B错误；根据题意可知，P点到A、B两个波源的路程差Δs＝5 m－4 m＝1 m＝λ，所以P点一定为振动加强点，C正确，D错误。
对多普勒效应的理解
[要点归纳]
1．多普勒效应的成因
波源与观察者之间发生了相对运动。
2．相对位置变化对f波源与f观察者的关系的影响
相对位置 图示 f波源与f观察者的关系
波源S和观察者A相对静止 f波源＝f观察者，音调不变
波源S不动，观察者A运动，由A→B或A→C (1)若靠近波源，由A→B，则f波源＜f观察者，音调变高；(2)若远离波源，由A→C，则f波源＞f观察者，音调变低
观察者A不动，波源S运动，由S→S2 f波源＜f观察者，音调变高
[例题4] 如图甲所示，男同学站立不动吹口哨，一位女同学坐在秋千上来回摆动，据图乙，下列关于女同学的感受的说法正确的是( )
A．女同学从A向B运动过程中，她感觉哨声音调变低
B．女同学从E向D运动过程中，她感觉哨声音调变高
C．女同学在点C向右运动时，她感觉哨声音调不变
D．女同学在点C向左运动时，她感觉哨声音调变低
[解析] 女同学荡秋千的过程中，只要她有向右的速度，她都有靠近声源的趋势，根据多普勒效应，她都会感到哨声音调变高；反之，女同学向左运动时，她感到音调变低，选项A、B、C错误，选项D正确。
[答案] D
(1)在多普勒效应中，波源的频率是不改变的，只是由于波源和观察者之间有相对运动，观察者接收到的频率发生了变化。
(2)多普勒效应是波特有的现象，电磁波和光波也会发生多普勒效应。
[针对训练]
1．下列选项与多普勒效应有关的是( )
A．科学家用激光测量月球与地球间的距离
B．工程技术人员用激光测建筑物高度
C．技术人员用超声波探测金属、陶瓷、混凝土中是否有气泡
D．交通警察向车辆发射超声波并通过测量反射波的频率确定车辆行进的速度
解析：选D 当观察者与测量对象无相对运动时，不发生多普勒效应，故A、B、C错误；当观察者与测量对象相对运动时，发生多普勒效应，我们可以根据接收频率的变化来测速，故D正确。
2．产生机械波的波源O做匀速运动的情况如图所示，图中的圆表示波峰。则观察到的波的频率最低的点是( )
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
解析：选B 由于波源远离B点，由题图分析可知在B点观察到波的频率最低，即B选项正确。
1．如图所示，两列相向传播的、振幅和波长都相同的横波，它们在O点相遇，此后可能出现的状态是( )
解析：选D 当左列波的波峰和右列波的波谷相遇时，叠加后的图像为一条直线；当两列波的波峰相遇时，叠加后的图像为D；而A、B、C是不可能出现的。
2．如图所示，两列水波波源S1和S2的振幅分别为2A、A，波长分别为λ1、λ2，且λ1>λ2，某时刻它们形成的波峰和波谷分别由实线和虚线表示。下列说法正确的是( )
A．两列波在相遇区域会发生稳定干涉
B．B点此时位移为2A
C．C点此刻的振动减弱
D．两列波的振动频率相等
解析：选C 两列机械波在同一介质中传播，波速相同，但两列波的波长不等，说明两列波的频率不等，不会在相遇区域发生稳定干涉，故A、D错误；由题图可知，此时B点是两列波的波峰相遇，此时B点位移为xB＝2A＋A＝3A，此时C点是两列波的波峰与波谷相遇，所以C点此刻的振动减弱，故B错误，C正确。
3．关于多普勒效应，以下说法正确的有( )
A．只有机械波才能产生多普勒效应
B．电磁波、光波等不能产生多普勒效应
C．产生多普勒效应的原因是波源的频率发生了变化
D．产生多普勒效应的原因是观察者接收到的频率发生了变化
解析：选D 多普勒效应不仅仅适用于机械波，它也适用于所有类型的波，包括电磁波，故A、B错误；产生多普勒效应的原因是观察者与波源的相对运动导致观察者接收的频率发生了变化，故C错误，D正确。
4．汽车无人驾驶技术已逐渐成熟，最常用的是ACC自适应巡航控制系统，它可以控制无人车在前车减速时自动减速、前车加速时自动跟上去。其使用的传感器主要是毫米波雷达，该雷达会发射和接收调制过的无线电波，再通过两波的时间差和多普勒效应造成的频率变化来测量目标的相对距离和相对速度。若该雷达发射的无线电波的频率为f，接收到的回波的频率为f′，则( )
A．当f＝f′时，表明前车与无人车速度相同
B．当f＝f′时，表明前车一定处于静止状态
C．当f′>f时，表明前车在加速行驶
D．当f′解析：选A 当波源和观察者之间的距离不变化时，观察者接收到的频率和波源发出的频率相等，故当f＝f′时，说明两者之间的距离不变，表明前车与无人车的速度相同，但不一定静止，故A正确，B错误；当f′>f时，说明接收到的频率增大，说明两车距离减小，表明前车相对于后车在减速行驶，故C错误；当f′PAGE
11习题课二 波的图像与振动图像的综合问题 波的多解问题
1．进一步理解波的图像问题。
2．会区别波的图像和振动图像。
3．理解波的多解问题成因及解决问题的思路。
波的图像与振动图像的综合问题
[要点归纳]
1．振动图像与波的图像的比较
特点 振动图像 波的图像
相同点 图线形状 正(余)弦曲线 正(余)弦曲线
纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中所有质点的位移
纵坐标最大值 振幅 振幅
不同点 描述对象 某一个振动质点 一群质点(x轴上各个点)
物理意义 振动位移y随时间t的变化关系 x轴上所有质点在某一时刻振动的位移y
横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x
横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义 表示周期T 表示波长λ
其他 频率和周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时，根据图中λ可求出T＝
两者联系 ①质点的振动是组成波动的基本要素之一②波动由许多质点振动所组成，但在图像上波形变化无法直接看出③若已知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况
2．求解波的图像与振动图像综合问题的三关键：“一分、一看、二找”
[例题1] 一列简谐横波沿x轴方向传播，在t＝0.25 s时的波形如图甲所示，图乙为x＝1.5 m处质点b的振动图像，下列说法正确的是( )
A．该波的波速为2 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．质点a(x＝1 m)在t＝0.25 s到t＝1.25 s的时间内沿x轴正方向运动了2 m
D．质点d(x＝3 m)在t＝0.75 s时处于平衡位置，并沿y轴负方向运动
[解析] 根据题图甲可得λ＝4 m，根据题图乙可得T＝2 s，则波的速度为v＝＝2 m/s，A正确；在t＝0.25 s时，b点振动方向向上，由波形平移法知该波沿x轴正方向传播，B错误；质点a只在自己的平衡位置附近上下振动，并不随着波向右迁移，C错误；题图甲为t＝0.25 s时的波形图，到t＝0.75 s时经过了的时间是，即t＝0.75 s时，质点d处于平衡位置，并正在向y轴正方向运动，D错误。
[答案] A
解决y t和y x图像综合问题的基本思路
(1)由y t图像可以获取振幅A、振动周期(即波的周期)T；
(2)由y x图像可以获取振幅A、波长λ。
3 进而由公式v＝\f(λ,T)求得波速。
4 明确y t图像描述的是哪个质点的振动；y x图像是哪一时刻的图像，然后根据y t图像确定y x图像对应时刻该质点的位移和振动方向，最后根据y x图像确定波的传播方向。进而判断其他有关问题。
[针对训练]
1．一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)表示介质中某质点的振动图像。下列说法错误的是( )
A．质点Q的振动图像与图(b)相同
B．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
C．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示
D．在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
解析：选A t＝时刻，题图(b)表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图(a)中质点Q在t＝时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质点Q的振动图像与题图(b)不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如题图(b)所示，选项A错误，选项C正确；在t＝0时刻，质点P处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离最大，加速度最大，而质点Q运动到平衡位置，速度最大，加速度为零，即在t＝0时刻，质点P的加速度比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，选项B、D正确。
2．一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.75 s时的波形图如图甲所示，x＝1.5 m处的质点P的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A．图甲中质点N速度方向沿y轴正方向
B．图甲中质点M的速度与加速度均为零
C．再经过t＝0.5 s质点L与质点N的位移相同
D．再经过t＝1.75 s质点P第一次到达波谷
解析：选A 由题图乙可知质点P在t＝0.75 s时沿y轴负方向运动，结合上下坡法可得该波沿x轴负方向运动，故题图甲中N点速度方向沿y轴正方向，故A正确；题图甲中质点M的速度为零，加速度最大，故B错误；再经过t＝0.5 s质点L与质点N分别位于波谷与波峰，位移不同，故C错误；P点距离最近的波峰Δx＝3.5 m，波速v＝＝2 m/s，故传播到P点的时间为Δt＝＝ s＝1.75 s，故D错误。
波的多解问题
[要点归纳]
1．波的多解问题形成的原因
(1)波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2．解决波动多解问题应注意的问题
(1)质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。
(3)只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
[例题2] 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.1 s时刻的波形如图中的虚线所示。波源不在坐标原点，P是传播介质中离坐标原点2.5 m处的一个质点。则以下说法错误的是( )
A．波的频率可能为12.5 Hz
B．波的传播速度可能为50 m/s
C．质点P的振幅为0.1 m
D．在t＝0.1 s时刻与P相距5 m处的质点也一定向上振动
[解析] 波沿x轴正方向传播，则t＝nT＋，周期为T＝ s，频率为f＝＝ Hz，(n＝0,1,2，3，…)，所以波的频率可能为12.5 Hz(n＝1)，选项A正确；波速为v＝＝4(10n＋2.5)m/s(n＝0,1,2,3，…)，波的传播速度可能为50 m/s(n＝1)，选项B正确；由题图可知振幅A＝0.1 m，选项C正确；波沿x轴正方向传播，t＝0.1 s，质点P的速度沿y轴正方向，左侧与P相距5 m处的质点的速度沿y轴负方向，选项D错误。
[答案] D
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
[针对训练]
1．地震波既有横波，也有纵波，某监测站截获了一列沿x轴负方向传播的地震横波，在t s与(t＋0.2)s两个时刻x轴上－3 km～3 km区间内的波形图分别如图中实线和虚线所示，则下列说法正确的是( )
A．x＝1.5 km处质点离开平衡位置的最大距离是2A
B．该地震波的最大周期与摆长为0.16 m的小角度单摆的周期相等(当地重力加速度g＝π2)
C．该地震波最小波速为3 km/s
D．在t s到(t＋0.2) s的时间内，x＝3 km的质点沿x轴负方向迁移到x＝2 km的位置
解析：选B 机械波在传播时，质点离开平衡位置的最大距离等于振幅，由题图知振幅为A，故A错误；根据题图可知，该地震波的周期为T＝＝ s，可得Tmax＝0.8 s，摆长为0.16 m的小角度单摆的周期为T′＝2π ＝2π× ＝0.8 s，故B正确；由题图知波长λ＝4 km，v＝＝ km/s，当n＝0时，该地震波最小波速为5 km/s，故C错误；横波波形图上介质中所有质点都不随波向x轴负方向迁移，故D错误。
2．一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形分别如图中的实线和虚线所示。
(1)设周期大于(t2－t1)，求波速；
(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s，求波的传播方向。
解析：当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长，当波传播时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于一个波长，这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离。
(1)因Δt＝t2－t1若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝＝400 m/s。
若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝＝1 200 m/s。
(2)因Δt＝t2－t1>T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m。
而＝＝3，即Δx＝3λ＋λ。
因此可得波的传播方向沿x轴负方向。
答案：(1)波向右传播时v＝400 m/s；波向左传播时v＝1 200 m/s (2)x轴负方向
1．一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是波中某质点的振动位移随时间变化的振动图像(两图均用同一时刻计时)，图乙的振动图像对应图甲上的质点可能是( )
A．x＝1 m处的质点 B．x＝2 m处的质点
C．x＝3 m处的质点 D．x＝4 m处的质点
解析：选B 波沿x轴正方向传播，由题图乙可得在t＝1 s 时刻，质点在平衡位置，且向y轴负方向运动，由题图甲及简谐波沿x轴正方向传播可判断x＝2 m处的质点在平衡位置，正沿y轴负方向运动，故B正确，A、C、D错误。
2．如图所示，甲图为t＝0 s 时某一列沿x轴正方向传播的横波的图像，乙图为该波传播方向上某一质点的振动图像，下列说法正确的是( )
A．这列波传播的速度是1 m/s
B．乙图描述的质点在t＝0 s时位移为A
C．乙图描述质点的平衡位置可能在x＝0.25 m处
D．平衡位置在x＝1.25 m处的质点在t＝1 s时经过y＝A处并向y轴正方向运动
解析：选A 由题图可知，波长为2 m，周期为2 s，则波速为v＝＝1 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0.25 s时质点的位移为A，则有A＝Asin(ωt＋θ)，其中t＝，解得 θ＝，所以当t＝0时质点的位移为y＝Asin ＝A，故B错误；由题图甲结合“上下坡法”可知x＝0.25 m处质点在t＝0时的振动方向沿y轴负方向，故C错误；由题图甲可知，t＝0时x＝0.25 m处质点的位移为y＝Asin ＝A，由同侧法可知，此时该质点沿y轴负方向运动，根据平移法可知，经过1 s此振动形式刚好传到x＝1.25 m处，则平衡位置在x＝1.25 m处的质点在t＝1 s时经过y＝A处并向y轴负方向运动，故D错误。
3.介质中坐标原点O处的波源在t＝0时刻开始振动，产生的简谐波沿x轴正方向传播，t0时刻传到L处，波形如图所示。下列能描述x0处质点振动图像的是( )
解析：选C 因波沿x轴正向传播，由“上下坡”法可知t＝t0时L处的质点的振动方向向下，可知x0处的起振方向向下，故A、B两项均错误；还可判断t0时刻x0处的质点振动方向也向下，故C项正确，D项错误。
4．有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10 Hz。振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其平衡位置右方相距0.6 m处的质点Q刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向不可能的是( )
A．4.8 m/s，向右传播 B．8 m/s，向左传播
C．24 m/s，向右传播 D．24 m/s，向左传播
解析：选D 若波向右传播，则PQ＝0.6 m＝＋nλ，T＝＝0.1 s，可得v＝ m/s，v可能为24 m/s，4.8 m/s；若波向左传播，则PQ＝0.6 m＝λ＋nλ，可得
v＝ m/s，则v可能为8 m/s，故波速和传播方向不可能的是D，故选D。
5．如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝ 0.6 s 时的波形图，已知质点P的坐标x1＝4 m，质点Q的坐标x2＝5 m，波的周期T>0.6 s。下列说法正确的是( )
A．该波的波长一定为6 m
B．波的周期可能为2.4 s
C．波速一定是10 m/s
D．经过0.1 s，质点Q可能运动到的位置x1处
解析：选B 由题图可知，波长为8 m，A错误；如果波向右传播，这段时间内传播的距离为λ＝2 m，由于每经过一个周期波向前传播一个波长，因此T＝0.6 s，可得T＝2.4 s，因此波速为v1＝＝ m/s＝ m/s，如果波向左传播，这段时间内传播的距离为λ＝6 m，因此T＝0.6 s，可得T＝0.8 s，波速为v2＝＝ m/s＝10 m/s，B正确，C错误；无论波向右传播还是向左传播，质点不会随波迁移，经过0.1 s，质点Q不可能运动到位置x1处，D错误。
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