【课后练习】7.6 第七章 随机变量及其分布 章末综合检测 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布 章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，则X的均值为(　　)
A.0.5分　　　　　　　　　 B.－0.5分
C.1分 D.5分
2.4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)＝(　　)
A. B.
C. D.
4.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)＝(　　)
X －1 0 1
P 0.5 0.2 p
A.0 B.－0.2
C.－1 D.－0.3
5.随机变量Y～B(n，p)，且E(Y)＝3.6，D(Y)＝2.16，则此二项分布是(　　)
A.Y～B(4，0.9) B.Y～B(9，0.4)
C.Y～B(18，0.2) D.Y～B(36，0.1)
6.某班有60名学生，一次考试后数学成绩X～N(110，102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
7.某商场进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖劵中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元.小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖劵，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E(ξ)＝(　　)
A.1 850 B.1 720
C.1 560 D.1 480
8.已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球，从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为ξ1，从乙盒中取1个球，记红球的个数为ξ2，从丙盒中取1个球，记红球的个数为ξ3，则下列说法正确的是(　　)
A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2)，D(ξ1)＝D(ξ2)>D(ξ3)
B.E(ξ1)D(ξ3)
C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2)，D(ξ1)＝D(ξ2)D.E(ξ1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a 4a 5a
则下列结论正确的是(　　)
A.a＝0.1 B.D(X)＝1.44
C.E(X)＝1.4 D.D(X)＝0.44
10.下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有(　　)
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取的方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M11.设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A.P(|ξ|－a)(a>0)
B.P(|ξ|0)
C.P(|ξ|0)
D.P(|ξ|0)
12.某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是(　　)
A.游客至多游览一个景点的概率是
B.P(X＝2)＝
C.P(X＝4)＝
D.E(X)＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上.
13.一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3 s后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为　　　　.
14.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为　　　.
15.商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量，其分布列如下表.
X 1 2 3 … 12
P …
每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元.该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获得的期望为　　　　Ｗ.
16.有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P(ξ＝9)＝　　　　，E(η)＝　　　　.(用数字作答)
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(A|B).
18.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”.若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同).
(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率.
19.(本小题满分12分)最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案.
第一种方案：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票.据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为.
第二种方案：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅的妻子认为，投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.
20.(本小题满分12分)某学校开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙共3名学生.
(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；
(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
(3)在这3名学生中，求选择选修课A的人数X的分布列.
21.(本小题满分12分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)写出X的可能取值的集合.
(2)假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列.
(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2.
①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
22.(本小题满分12分)生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标 [70，76) [76，82) [82，88) [88，94) [94，100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
(1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
(2)生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在(1)的前提下，
①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
参考答案
1解析：选B.E(X)＝10×＋(－11)×＝－0.5.
2解析：选B.方法一：记事件A＝“第一次取到合格的高尔夫球”，事件B＝“第二次取到合格的高尔夫球”.
由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.
方法二：记事件A＝“第一次取到合格的高尔夫球”，事件B＝“第二次取到合格的高尔夫球”，由题意可得事件B发生所包含的样本点数n(AB)＝3×2＝6，事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×3＝9.
所以P(B|A)＝ ＝ ＝.
3解析：选A.出现点数互不相同的共有n(A)＝6×5＝30(种)，出现一个5点共有n(AB)＝5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
4解析：选B.由分布列的性质可得0.5＋0.2＋p＝1，则p＝0.3，则由离散型随机变量的期望公式得E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋0.3×1＝－0.2.故选B.
5解析：选B.因为随机变量Y～B(n，p)，且E(Y)＝3.6，D(Y)＝2.16，所以
②除以①得1－p＝0.6，
即p＝0.4，代入①解得n＝9，
所以此二项分布是Y～B(9，0.4)，故选B.
6解析：选A.因为数学成绩X～N(110，102)，所以由P(100≤X≤110)＝0.35可得P(110≤X≤120)＝0.35，所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(X>120)＝1－0.5－0.35＝0.15，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9(人)，故选A.
7解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P(ξ＝2 450)＝＝，P(ξ＝1 450)＝C××＝，P(ξ＝450)＝C××＝，P(ξ＝－550)＝C×＝，所以E(ξ)＝2 450×＋1 450×＋450×＋(－550)×＝1 850.
8解析：选C.随机变量ξ1可能取值为0，1，其中P(ξ1＝0)＝，P(ξ1＝1)＝，故E(ξ1)＝，D(ξ1)＝－＝.
随机变量ξ2可能取值为0，1，P(ξ2＝0)＝，P(ξ2＝1)＝，
故E(ξ2)＝，D(ξ2)＝－＝.
随机变量ξ3可取值0，1，当ξ3＝0时，丙盒中无红球或有一个红球，无红球的概率为×＝，有一个红球的概率为＋＝，故P(ξ3＝0)＝××1＋×＝，P(ξ3＝1)＝1－＝，故E(ξ3)＝，D(ξ3)＝－＝.综上，E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2)，D(ξ1)＝D(ξ2)9解析：选ACD.由离散型随机变量分布列的性质知a＋4a＋5a＝1，所以a＝0.1，故A正确；由a＝0.1知，P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，所以均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，C正确；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44，故B错误，D正确.
10解析：选AC.对于A，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C××，符合二项分布的定义，即有ξ～B.
对于B，ξ的取值是1，2，3，…，n，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布.
C和D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于C有ξ～B.
11解析：选BD.因为P(|ξ|0)，所以A不正确；
因为P(|ξ|＝P(ξ0)，所以B正确，C不正确；
因为P(|ξ|所以P(|ξ|0)，所以D正确.
12解析：选ABD.记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，则P(A0)＝＝，P(A1)＝＋C··＝，
所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正确；随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××＋×C××＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C××＋×C×＝，
P(X＝4)＝×＝，故C错误；
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确.故选ABD.
13解析：由题意知，蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C＝.
答案：
14解析：设事件E＝“小明与第一代传播者接触”，事件F“小明与第二代传播者接触”，事件G＝“小明与第三代传播者接触”，事件D＝“小明被感染”，则P(E)＝0.5，P(F)＝0.3，P(G)＝0.2，P(D|E)＝0.9，P(D|F)＝0.8，P(D|G)＝0.7，所以P(D)＝P(D|E)P(E)＋P(D|F)P(F)＋P(D|G)P(G)＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋0.7×0.2＝0.83.所以所求概率为0.83.
答案：0.83
15解析：由题意知E(X)＝(1＋2＋3＋…＋12)×＝6.5.因为每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元，该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为6×300－(9－6)×100＝1 500(元).
答案：1 500元
16解析：P(ξ＝9)＝C××＝.
由题意可得ξ＝7，8，9，10，
P(ξ＝7)＝C×＝，P(ξ＝8)＝C××＝，
P(ξ＝9)＝C××＝，P(ξ＝10)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P
E(ξ)＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝32.
答案：　32
17解：(1)从6人中任选3人，选法共有C＝20(种)，其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为eq \f(C,20)＝.故男生甲或女生乙被选中的概率为1－＝.
(2)由题知，P(A)＝eq \f(C,20)＝.又P(B)＝P(A)＝，P(AB)＝eq \f(C,20)＝，所以P(A|B)＝＝.
18解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P1＝10×××＝.
(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P2＝10×C××＝.
由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P1＝，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
19解：选择方案二投资理财较为合理.理由如下：
若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列如表：
ξ 4 －2
P
ξ的数学期望E(ξ)＝4×＋(－2)×＝1.
若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列如表：
η 2 0 －1
P
η的数学期望E(η)＝2×＋0×＋(－1)×＝1.
若按方案三执行，收益y＝10×3%＝0.3(万元)，
因此E(ξ)＝E(η)＞y.
又D(ξ)＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9，
D(η)＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×＝.
由以上可知D(ξ)＞D(η).这说明虽然方案一、方案二平均收益相等，但方案二更稳妥.
所以建议李师傅家选择方案二投资理财较为合理.
20解：(1)每个学生有4种不同的选择，根据分步乘法计数原理知，选法总数N＝4×4×4＝64.
(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E，先选出没被3名学生选择的2门选修课，有C种情况，再选出2名选择同一门选修课的学生，有C种情况，最后把2门被选择的课程全排列，则
P(E)＝eq \f(CCA,43)＝，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为.
(3)X的所有可能取值为0，1，2，3，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝eq \f(C·32,43)＝，
P(X＝2)＝eq \f(C·3,43)＝，P(X＝3)＝eq \f(C,43)＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
21解：(1)在1，2，3，4中，奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数.因为|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶数相同.从而X＝(|1－a1|＋|3－a3|)＋(|2－a2|＋|4－a4|)必为偶数.又X的值非负，且易知其值不大于8，故X的可能取值的集合为{0，2，4，6，8}.
(2)可用列表或树状图列出1，2，3，4的24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
(3)①P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝＝.
将三轮测试都有X≤2的概率记为P，则P＝＝.②P＝<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师有良好的酒味鉴别功能，不是随机猜测.
22解：(1)元件A为正品的概率约为＝.
元件B为正品的概率约为＝.
(2)①因为生产1件元件A和1件元件B可以分为四种情况：A正B正，A次B正，A正B次，A次B次.
所以随机变量X的所有取值为90，45，30，－15.
因为P(X＝90)＝×＝；
P(X＝45)＝×＝；
P(X＝30)＝×＝；
P(X＝－15)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X 90 45 30 －15
P
E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66.
②设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有(5－n)件.
依题意得50n－10(5－n)≥140，
解得n≥.
所以n＝4或n＝5.
设“生产5件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P(A)＝C×＋＝.
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