【课后练习】6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 184.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 09:23:30 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[A 基础达标]
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
2．(2021·天津河西区高二期中)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是( )
A．9 B．10 C．20 D．40
3．(2021·江苏南京高二阶段性考试)体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )
A．12种 B．7种
C．14种 D．49种
4．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．81 B．64
C．48 D．24
5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )
A．15 B．12
C．5 D．4
6．(2021·江苏无锡普通高中高二下期末)已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后．已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有________个不同的编号．(用数字作答)
7．如图所示为一电路图，则从A到B共有________条不同的单支线路可通电．
8.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有________种．
9．(2021·湛江一中高二月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(2)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
10．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法？
[B 能力提升]
11．(2021·浙江杭州期中)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个吉祥物作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A．30种 B．50种
C．60种 D．90种
12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且使得关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴有________种不同结果．
14．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？
[C 拓展探究]
15．(2021·河南省南阳市期末)若直线方程Ax＋By＝0中的A，B是从0，1，2，3，5这5个数中任取的2个不同的数，则方程所表示的不同直线共有________条．
16．现有四个组的学生34人，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每组选1名为组长，有多少种不同的选法？
(3)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的组，有多少种不同的选法？
参考答案
1解析：选B.分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．
2解析：选A.用第1种方法有5种选法，用第2种方法有4种选法．故共有5＋4＝9(种)选法．故选A.
3解析：选D.由题意知某人从体育场进门有4＋3＝7(种)方式，出门有4＋3＝7(种)方式，根据分步乘法计数原理可知，他进、出门的方案有7×7＝49(种)．故选D.
4解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)．
5解析：选A.分三类情况讨论：第一类：当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；
第二类：当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；
第三类：当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．
由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.
6解析：对于英文字母来说，共有5种可能；对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法计数原理，可知共有5×9＝45(个)不同的编号．
答案：45
7解析：按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4(条)．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．
答案：8
8解析：随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个螺丝只有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法，拧紧第四个螺丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有2种方法，拧紧第六个螺丝只有1种方法，所以不同的固定方式有6×1×4×1×2×1＝48(种)．
答案：48
9解：(1)因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．
(2)因为P表示不在直线y＝x上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．
10解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有
8＋6＝14(种)坐法．
(2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成：
第一步，小明先就座，从东西面共8＋6＝14个空闲凳子中选一个坐下，共14种坐法(小明坐下后，空闲凳子数变成13)；
第二步，小明爸爸再就座，从东西面共13个空间凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有14×13＝182种坐法．
11解析：选B.①若甲同学选择牛，则乙同学有2种不同的选法，丙同学有10种不同的选法，共1×2×10＝20(种)不同的选法．
②若甲同学选择马，则乙同学有3种，丙同学有10种不同的选法，共有1×3×10＝30(种)不同的选法．
综上可知，共有20＋30＝50(种)不同的选法．故选B.
12解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小关系．
若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，
此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
所以满足条件的(a，b)的个数为4＋9＝13.
13解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：
(1)幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400(种)结果．
(2)幸运之星在乙信箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．
所以共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．
答案：28 800
14解：方法一：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．
方法二：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
15解析：方法一：本题中有特殊数0，所以以A，B中是否有0为标准进行分类，可分为两类．
第一类，当A，B中有一个为0时，表示直线x＝0或y＝0，共2条不同直线．
第二类，当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需要分两步完成：
第一步，确定A的值，有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，可以确定的不同直线有4×3＝12(条)．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．
方法二(间接法)分两步：
第一步，确定A的值，有5种不同的方法；
第二步，确定B的值，有4种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，可以确定的直线有5×4＝20(条)．
在这20条直线中，当A＝0，B＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线y＝0)；当B＝0，A＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线x＝0)．因此有2条直线分别被多计算3次，故符合条件的不同直线共有20－2×3＝14(条)．
答案：14
16解：(1)分四类：第一类，从一组学生中选1人，有7种选法；第二类，从二组学生中选1人，有8种选法；第三类，从三组学生中选1人，有9种选法；第四类，从四组学生中选1人，有10种选法．
所以共有不同的选法N1＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组学生中选1名为组长．
所以共有不同的选法N2＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二组学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三组学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四组学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三组学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四组学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四组学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N3＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
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第六章 计数原理
6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[A 基础达标]
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
2．(2021·天津河西区高二期中)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是( )
A．9 B．10 C．20 D．40
3．(2021·江苏南京高二阶段性考试)体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )
A．12种 B．7种
C．14种 D．49种
4．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．81 B．64
C．48 D．24
5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )
A．15 B．12
C．5 D．4
6．(2021·江苏无锡普通高中高二下期末)已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后．已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有________个不同的编号．(用数字作答)
7．如图所示为一电路图，则从A到B共有________条不同的单支线路可通电．
8.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有________种．
9．(2021·湛江一中高二月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(2)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
10．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法？
[B 能力提升]
11．(2021·浙江杭州期中)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个吉祥物作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A．30种 B．50种
C．60种 D．90种
12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且使得关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴有________种不同结果．
14．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？
[C 拓展探究]
15．(2021·河南省南阳市期末)若直线方程Ax＋By＝0中的A，B是从0，1，2，3，5这5个数中任取的2个不同的数，则方程所表示的不同直线共有________条．
16．现有四个组的学生34人，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每组选1名为组长，有多少种不同的选法？
(3)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的组，有多少种不同的选法？
参考答案
1解析：选B.分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．
2解析：选A.用第1种方法有5种选法，用第2种方法有4种选法．故共有5＋4＝9(种)选法．故选A.
3解析：选D.由题意知某人从体育场进门有4＋3＝7(种)方式，出门有4＋3＝7(种)方式，根据分步乘法计数原理可知，他进、出门的方案有7×7＝49(种)．故选D.
4解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)．
5解析：选A.分三类情况讨论：第一类：当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；
第二类：当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；
第三类：当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．
由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.
6解析：对于英文字母来说，共有5种可能；对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法计数原理，可知共有5×9＝45(个)不同的编号．
答案：45
7解析：按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4(条)．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．
答案：8
8解析：随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个螺丝只有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法，拧紧第四个螺丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有2种方法，拧紧第六个螺丝只有1种方法，所以不同的固定方式有6×1×4×1×2×1＝48(种)．
答案：48
9解：(1)因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．
(2)因为P表示不在直线y＝x上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．
10解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有
8＋6＝14(种)坐法．
(2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成：
第一步，小明先就座，从东西面共8＋6＝14个空闲凳子中选一个坐下，共14种坐法(小明坐下后，空闲凳子数变成13)；
第二步，小明爸爸再就座，从东西面共13个空间凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有14×13＝182种坐法．
11解析：选B.①若甲同学选择牛，则乙同学有2种不同的选法，丙同学有10种不同的选法，共1×2×10＝20(种)不同的选法．
②若甲同学选择马，则乙同学有3种，丙同学有10种不同的选法，共有1×3×10＝30(种)不同的选法．
综上可知，共有20＋30＝50(种)不同的选法．故选B.
12解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小关系．
若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，
此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
所以满足条件的(a，b)的个数为4＋9＝13.
13解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：
(1)幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400(种)结果．
(2)幸运之星在乙信箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．
所以共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．
答案：28 800
14解：方法一：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．
方法二：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
15解析：方法一：本题中有特殊数0，所以以A，B中是否有0为标准进行分类，可分为两类．
第一类，当A，B中有一个为0时，表示直线x＝0或y＝0，共2条不同直线．
第二类，当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需要分两步完成：
第一步，确定A的值，有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，可以确定的不同直线有4×3＝12(条)．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条)．
方法二(间接法)分两步：
第一步，确定A的值，有5种不同的方法；
第二步，确定B的值，有4种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，可以确定的直线有5×4＝20(条)．
在这20条直线中，当A＝0，B＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线y＝0)；当B＝0，A＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线x＝0)．因此有2条直线分别被多计算3次，故符合条件的不同直线共有20－2×3＝14(条)．
答案：14
16解：(1)分四类：第一类，从一组学生中选1人，有7种选法；第二类，从二组学生中选1人，有8种选法；第三类，从三组学生中选1人，有9种选法；第四类，从四组学生中选1人，有10种选法．
所以共有不同的选法N1＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组学生中选1名为组长．
所以共有不同的选法N2＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二组学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三组学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四组学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三组学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四组学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四组学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N3＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
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