【课后练习】6.2.3 组合与组合数公式 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第六章 计数原理
6．2.3　组合 & 6．2.4　组合数
第1课时　组合与组合数公式
[A　基础达标]
1．(多选)下列问题是组合问题的是(　　)
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2 020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四个元素的子集有多少个
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
2．下列计算结果为21的是(　　)
A．A＋C　　　　　　　　 B．C
C．A D．C
3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
5．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为(　　)
A．70 B．64
C．58 D．52
6．不等式C－n<5的解集为________．
7．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．(用数字作答)
8．将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
9．(1)解方程：A＝6C；
(2)解不等式：C>3C.
10．在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[B　能力提升]
11．(多选)当m，n∈N*，m>n时，下列选项正确的有(　　)
A．C＝C＋C
B．C＝C＋C
C．C＝C＋C
D．C＝C＋C
12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(　　)
A．35种 B．70种
C．30种 D．65种
13．对所有满足1≤m14．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
[C　拓展探究]
15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条．
16．某足球赛共32支球队参加，先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名．问：这次足球赛共进行了多少场比赛？
参考答案
1解析：选ABC.组合问题与次序无关，排列问题与次序有关．D项中，选出的2名学生， 如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，与次序有关，因此不是组合问题，A，B，C均是组合问题．
2解析：选D.C＝＝21.
3解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B.
4解析：选A.方法一(直接法)：一男两女，有CC＝5×6＝30种；两男一女，有CC＝10×4＝40种，共计70种．
方法二(间接法)：任意选取有C＝84种，其中都是男医生有C＝10种，都是女医生有C＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．
5解析：选C.四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C－12＝58.
6解析：由C－n<5，得－n<5，所以n2－3n－10<0.
解得－2所以n＝2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}．
答案：{2，3，4}
7解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112(种)分配方案．
答案：112
8解析：完成这件事需分两步．
第一步：从5名志愿者中选出2人在周六参加社区公益活动，有C种选法．
第二步：从余下的3人中选出2人在周日参加社区公益活动，有C种选法．
根据分步乘法计数原理，共有CC＝30(种)不同的安排方案．
答案：30
9解：(1)原方程等价于
m(m－1)(m－2)＝6×，
所以4＝m－3，解得m＝7.
(2)由已知得所以x≤8，且x∈N*，
因为C>3C，所以>.
即>，所以x>3(9－x)，解得x>，
所以x＝7，8.
所以原不等式的解集为{7，8}．
10解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3(种)选法；再从另外9人中选4人，有C种选法，共有C×C＝378(种)不同的选法．
11解析：选AB.由组合数的性质C＝C＋C及C要有意义知A，B正确，C，D错误．
12解析：选B.先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2C＝70(种)．
13解析：因为1≤m答案：6
14解：对3个既会唱歌又会跳舞的人进行分类：
第1类：若3人都不参加，共有C×C×C＝25(种)；
第2类：若3人都跳舞或都唱歌，共有2C×C×C＝50(种)；
第3类：若3人中有两人唱歌或跳舞，共有2C×C×C＝300(种)；
第4类：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有2C×C×C＝300(种)；
第5类：若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌，共有2C×C×C×C＝600(种)；
第6类：若3人中只有一人唱歌，又有一人跳舞，有C×C×C×C＝600(种)．
由分类加法计数原理得不同选法共有25＋50＋300＋300＋600＋600＝1 875(种)．
15解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．
答案：126
16解：可分为如下几类比赛：
(1)小组循环赛：每组有C＝6(场)，8个小组共有48场；
(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；
(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；
(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．
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