【课后练习】6.2.4 组合的综合应用(习题课) 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】6.2.4 组合的综合应用(习题课) 6.2.3 组合& 6.2.4 组合数第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 185.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 09:44:55 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第2课时 组合的综合应用(习题课)
[A 基础达标]
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84
C．52 D．48
2．(2021·湖南师范大学附属中学月考)若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同)，现将这五张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各拿一张，恰有1人拿到自己写的卡片的方法有( )
A．20种 B．90种
C．15种 D．45种
3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试．若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
4．(2021·山东省菏泽市高三上学期期末)2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是( )
A．3 B．8
C．12 D．6
5．平面内有4个红点、6个蓝点，其中只有1个红点和2个蓝点共线，其余任意3点不共线．过这10个点中的任意2点所确定的直线中，至少过1个红点的直线的条数是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
6．(2021·泰安高二检测)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
7．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．
8．(2021·天津市静海区第一中学第二期末)将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为____________．
9．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
10．某车间有11名工人，其中5名钳工、4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工．现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
[B 能力提升]
11．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多 B．乙多
C．一样多 D．不确定
12．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
13．(2020·高考全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
14．8张奖券中有一、二、三等奖券各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
[C 拓展探究]
15．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中且不允许有空盒子的放法有( )
A．CCCC种 B．CA种
C．CCA种 D．18种
16．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
参考答案
1解析：选C.间接法：C－C＝52种．
2解析：选D.根据题意，分两步分析：①先从5个人里选1人，恰好拿到自己写的卡片，有C种选法．②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被第一个人拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一．所以恰有1人拿到自己写的卡片的方法有C·CC＝45(种)．故选D.
3解析：选D.从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C＝1(种)．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种)．
4解析：选C.若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为CA＝6种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为CA＝6种．
综上所述，不同的分配方法种数为6＋6＝12种．故选C.
5解析：选B.过一个红点有CC－1＝23(条)直线；过2个红点有C＝6(条)直线，所以共有23＋6＝29(条)直线，故选B.
6解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
答案：336
7解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C·C种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C·C种方法．所以满足条件的三角形共有C·C＋C·C＝70(个)．
答案：70
8解析：分两步进行计算：①选出盒子的编号与小球编号相同的3个编号，共有C＝35种选法；②对余下的4个编号的球，将它们放置到不同盒子中，且盒子的编号与球的编号不同，有3×3＝9种方法，故不同的放法总数为35×9＝315.
答案：315
9解：分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1，2，3，4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1，1，4，4时，不同的排法有C·C·A种．
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2，2，3，3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
10解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．
11解析：选C.两只是同色手套的取法有C＋C＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C·C＝150(种)．
12解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.
13解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
14解析：定向分配问题，先分组后分配．将8张奖券分四组，再分配给4个人．分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)，(二等奖，无奖)，(三等奖，无奖)，(无奖，无奖)四组，分给4个人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4个人有CA种分法．所以不同的获奖情况有A＋CA＝24＋36＝60(种)．
答案：60
15解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：
方法一：分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CA种．
方法二：分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CCA种．
故选BC.
16解：(1)所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有
C·C＋C·C＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．
故最多可作的三棱锥有
C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
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第六章 计数原理
6．2.3 组合 & 6．2.4 组合数
第2课时 组合的综合应用(习题课)
[A 基础达标]
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84
C．52 D．48
2．(2021·湖南师范大学附属中学月考)若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同)，现将这五张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各拿一张，恰有1人拿到自己写的卡片的方法有( )
A．20种 B．90种
C．15种 D．45种
3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试．若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
4．(2021·山东省菏泽市高三上学期期末)2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是( )
A．3 B．8
C．12 D．6
5．平面内有4个红点、6个蓝点，其中只有1个红点和2个蓝点共线，其余任意3点不共线．过这10个点中的任意2点所确定的直线中，至少过1个红点的直线的条数是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
6．(2021·泰安高二检测)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
7．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．
8．(2021·天津市静海区第一中学第二期末)将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为____________．
9．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
10．某车间有11名工人，其中5名钳工、4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工．现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
[B 能力提升]
11．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多 B．乙多
C．一样多 D．不确定
12．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
13．(2020·高考全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
14．8张奖券中有一、二、三等奖券各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
[C 拓展探究]
15．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中且不允许有空盒子的放法有( )
A．CCCC种 B．CA种
C．CCA种 D．18种
16．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
参考答案
1解析：选C.间接法：C－C＝52种．
2解析：选D.根据题意，分两步分析：①先从5个人里选1人，恰好拿到自己写的卡片，有C种选法．②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被第一个人拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一．所以恰有1人拿到自己写的卡片的方法有C·CC＝45(种)．故选D.
3解析：选D.从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C＝1(种)．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种)．
4解析：选C.若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为CA＝6种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为CA＝6种．
综上所述，不同的分配方法种数为6＋6＝12种．故选C.
5解析：选B.过一个红点有CC－1＝23(条)直线；过2个红点有C＝6(条)直线，所以共有23＋6＝29(条)直线，故选B.
6解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
答案：336
7解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C·C种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C·C种方法．所以满足条件的三角形共有C·C＋C·C＝70(个)．
答案：70
8解析：分两步进行计算：①选出盒子的编号与小球编号相同的3个编号，共有C＝35种选法；②对余下的4个编号的球，将它们放置到不同盒子中，且盒子的编号与球的编号不同，有3×3＝9种方法，故不同的放法总数为35×9＝315.
答案：315
9解：分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1，2，3，4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1，1，4，4时，不同的排法有C·C·A种．
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2，2，3，3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
10解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．
11解析：选C.两只是同色手套的取法有C＋C＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C·C＝150(种)．
12解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.
13解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
14解析：定向分配问题，先分组后分配．将8张奖券分四组，再分配给4个人．分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)，(二等奖，无奖)，(三等奖，无奖)，(无奖，无奖)四组，分给4个人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4个人有CA种分法．所以不同的获奖情况有A＋CA＝24＋36＝60(种)．
答案：60
15解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：
方法一：分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CA种．
方法二：分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法；
则没有空盒的放法有CCA种．
故选BC.
16解：(1)所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有
C·C＋C·C＋2＝98(个)．
(2)所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．
故最多可作的三棱锥有
C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．
(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．
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