【课后练习】6.3.1　二项式定理 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第六章 计数原理
6．3.1　二项式定理
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A．(2x＋2)5　　　　　　　 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
2．在的二项展开式中，x的系数为(　　)
A．10 B．－10
C．40 D．－40
3．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
4．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　)
A．－6 B．－3
C．0 D．3
5.展开式中的常数项为(　　)
A．1 B．11
C．－19 D．51
7．设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
8．(2021·浙江省五校联考)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是________．
9．记的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n.
10．求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数．
11．(多选)二项式(x＋)n(n∈N*)的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
12．(2021·江西宜春市高三期末)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
13．设常数a∈R，若的二项展开式中x7的系数为－10，则a＝________，x4的系数为________．
14．设(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
15．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　)
A．a0＝－32 B．a2＝－80
C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1
16．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
参考答案
1解析：选D.原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
2解析：选D.Tr＋1＝C(2x2)5－r＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，令10－3r＝1，得r＝3.
所以x的系数为(－1)3·25－3·C＝－40.
3解析：选C.Tk＋1＝C·x·x－＝C·x12－k，则k＝0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项．
4解析：选A.因为(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，
所以x2的系数是－12＋6＝－6.
5解析：选B.方法一：＝，则其展开式的通项Tk＋1＝C(其中k＝0，1，2，3，4，5)．要求原式展开式中的常数项，需求的展开式中的常数项.的展开式的通项Tr＋1＝Cxk－r＝(－1)rCxk－2r(其中r＝0，1，2，…，k)，根据题意，令k－2r＝0，则k＝2r，即k是2的倍数，所以k＝0，2，4，所以原式的展开式中的常数项为C－C×C＋C×C＝11.故选B.
方法二：(c＋b＋a)n展开式的通项为CCcxbyan－x－y，所以的展开式中的常数项为15＋C×Cx··13＋C×Cx2··1＝1－20＋30＝11.故选B.
6．设n为自然数，化简C·2n－C·2n－1＋…＋(－1)k·C·2n－k＋…＋(－1)n·C＝________．
解析：原式＝C·2n·(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·C2n－k＋…＋(－1)n·C·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
7解析：对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C·(－a)2.因为B＝4A，a>0，所以a＝2.
答案：2
8解析：方法一：(双通项法)(1－)6的展开式的通项为C(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝Cx，则(1－)6(1＋)4的展开式的通项为C(－1)mCx＋，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
方法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．
于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
答案：－3
9解：(1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，
所以bm＝2n＋1－m·C.
(2)当n＝6时，的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝26－r·C·x6－2r.
依题意得，6－2r＝0，解得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.
(3)由(1)及b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.
10解：方法一：因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5(x＋1)5＝(Cx5＋Cx4×2＋…＋C×25)(Cx5＋Cx4＋…＋C)，所以展开以后含x的项为Cx×24×C＋C×25×Cx＝240x，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为240.
方法二：把(x2＋3x＋2)5看成5个(x2＋3x＋2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x，4个因式取2得到，即C3x×C×24＝240x，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数240.
11解析：选ACD.(x＋)n的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)n－k()k＝2()n－kCxn－k.结合选项，若n＝6或8，则当k＝0和6时，项的系数均为有理数，满足题意； 若n＝7，则只有当k＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n＝9，则当k＝3和9时，项的系数均为有理数，满足题意．故选ACD.
12解析：选A.(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5，
(1＋x)5中x2的系数为C＝10，
ax(1＋x)5中x2的系数为aC＝5a，
x2的系数为10＋5a＝5，解得a＝－1，故选A.
13解析：的展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－2r·＝Cx10－3rar.令10－3r＝7，得r＝1，所以x7的系数是aC1 5.因为x7的系数是－10，所以aC＝－10，解得a＝－2.令10－3r＝4，则r＝2.所以x4的系数是a2C＝(－2)2C＝40.
答案：－2　40
14解：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为
T2＝C·xn－1·(－)＝－nxn－1，
T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.
根据题意得到eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C)＝，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝4或n＝－1(舍去)．
设(x－)4的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，
则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0，1，2，3，4)，
根据题意有4－r＝2，解得r＝2，
所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.
15解析：选ABC.令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝Cy5－r(－2)r，故a2＝C·(－2)3＝－80，故B正确．a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，a3＋4a4＝40－40＝0，故C正确．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确．故选ABC.
16解：二项展开式的通项为Tk＋1＝C·
＝(－1)kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，
即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
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