【课后练习】6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【课后练习】6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 206.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 09:48:21 | ||
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文档简介
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第六章 计数原理
6．3.2 二项式系数的性质
[A 基础达标]
1.的展开式中系数最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第5项、第6项 D．第6项、第7项
2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
3．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
4．883＋6被49除所得的余数是( )
A．0 B．14
C．－14 D．35
5．(多选)(2021·天一中学高二期中)(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为( )
A．a＝2，n＝5 B．a＝1，n＝6
C．a＝－1，n＝5 D．a＝1，n＝5
6．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________．
7．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
8．若二项式(3－x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为________．
9．已知(2x－1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64.
(1)求该展开式中各项的系数之和；
(2)求该展开式中所有偶数项的系数之和．
10．已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[B 能力提升]
11．若(1－3x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
12．(多选)(2021·枣庄三中高二月考)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9.则下列结论成立的是( )
A．a2＝144
B．a0＝1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
13．(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________，展开式中x2项的系数为________．
14．32 016除以100的余数为________．
[C 拓展探究]
15．(多选)设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(mod m)，已知a＝1＋C×2＋C×22＋C×23＋…＋C×220，a≡b(mod 10)，则b的值可能是( )
A．2 011 B．2 019
C．2 021 D．2 029
16．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4.
(1)求n的值；
(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．
参考答案
1解析：选B.由的展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－2k，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即C最大，所以k＝5，即第6项的系数最大．故选B.
2解析：选B.由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.
3解析：选D.由题意可得C＝C，所以n＝4.
令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.所以a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.
4解析：选A.由二项式定理，得883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋C×782＋…＋C×72＋C×71＋1＋6＝72×(781＋C×780＋…＋C)＋83×7＋7＝49×(781＋C×780＋…＋C)＋49×12＝49×(781＋C×780＋…＋C＋12)，所以883＋6被49除所得的余数是0.故选A.
5解析：选CD.方法一：(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)相乘，每个(1＋ax＋by)中各取1，ax，by中的一个，将其相乘构成展开式的每一项．因为(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，所以C＋C|a|＋C|a|2＋…＋C|a|n＝32，即(1＋|a|)n＝32，结合四个选项可知a，n的值可能为a＝－1，n＝5或a＝1，n＝5.故选CD.
方法二：令y＝0，得(1＋ax＋by)n＝(1＋ax)n.若a>0，令x＝1，则(1＋a)n＝32，结合选项可知a＝1，n＝5满足题意，故D正确；若a<0，令x＝－1，则(1－a)n＝32，结合选项可知a＝－1，n＝5满足题意，故C正确．故选CD.
6解析：因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，
由已知可得41＋29＝a＋b，
所以a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
7解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
答案：2
8解析：令x＝1，可求得a＝2n；令x＝－1，可求得b＝4n，所以＋＝2n＋.设t＝2n(n∈N*)，则＋＝t＋，t≥2.又函数y＝s＋在[2，＋∞)上单调递增，所以ymin＝2＋＝，即＝.
答案：
9解：(1)由题可知，2n＝64，解得n＝6，
令x＝1，得该展开式中各项的系数之和为(2－1)6＝1.
(2)记(2x－1)6＝a0x6＋a1x5＋…＋a5x＋a6.
由(1)知a0＋a1＋…＋a5＋a6＝1，
令x＝－1，可得a0－a1＋…－a5＋a6＝(－3)6＝729.
所以该展开式中所有偶数项的系数之和为＝－364.
10解：(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数的和为2n，
所以22n－2n＝992，解得n＝5.
所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3rC≥3r－1C，,3rC≥3r＋1C)) ≤r≤.又r∈N，所以r＝4.
即展开式中第5项系数最大，
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
11解析：选B.由题意，知(1－3x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，令x＝0，可得a0＝1.令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.故选B.
12解析：选CD.对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－C×22＝－144，故A不正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确．故选CD.
13解析：设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ①，令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ②，②－①得(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)．又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍去)，则(1＋3x)2(1－x)5的展开式中x2项的系数为C32＋C×3×C(－1)＋C×30×C(－1)2＝－11.
答案：3 －11
14解析：32 016＝91 008＝(－1＋10)1 008＝C(－1)1 008100＋C(－1)1 007101＋C(－1)1 006102＋…＋C·(－1)0101 008，展开式中只有第1，2项不能被100整除，故32 016除以100的余数等价于C(－1)1 008100＋C(－1)1 007101＝－10 079除以100的余数，得21.
答案：21
15解析：选AC.因为a＝1＋C×2＋C×22＋C×23＋…＋C×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C·1010－C·109＋C·108＋…－C·10＋C，所以a被10除得的余数为1，又2 021，2 011被10除得的余数是1，故选AC.
16解：(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，
所以a2＝C＝，a3＝C＝，
a4＝C＝.
因为a＝2a2a4，
所以
＝2××，
解得n＝5.
(2)由(1)知，n＝5.
(1＋)n＝(1＋)5
＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝a＋b.
方法一：因为a，b∈N*，所以a＝C＋3C＋9C＝76，
b＝C＋3C＋9C＝44，
从而a2－3b2＝762－3×442＝－32.
方法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5.
因为a，b∈N*，所以(1－)5＝a－b.
因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32.
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第六章 计数原理
6．3.2 二项式系数的性质
[A 基础达标]
1.的展开式中系数最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第5项、第6项 D．第6项、第7项
2．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
3．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
4．883＋6被49除所得的余数是( )
A．0 B．14
C．－14 D．35
5．(多选)(2021·天一中学高二期中)(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为( )
A．a＝2，n＝5 B．a＝1，n＝6
C．a＝－1，n＝5 D．a＝1，n＝5
6．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________．
7．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
8．若二项式(3－x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为________．
9．已知(2x－1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64.
(1)求该展开式中各项的系数之和；
(2)求该展开式中所有偶数项的系数之和．
10．已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[B 能力提升]
11．若(1－3x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
12．(多选)(2021·枣庄三中高二月考)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9.则下列结论成立的是( )
A．a2＝144
B．a0＝1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
13．(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________，展开式中x2项的系数为________．
14．32 016除以100的余数为________．
[C 拓展探究]
15．(多选)设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(mod m)，已知a＝1＋C×2＋C×22＋C×23＋…＋C×220，a≡b(mod 10)，则b的值可能是( )
A．2 011 B．2 019
C．2 021 D．2 029
16．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4.
(1)求n的值；
(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．
参考答案
1解析：选B.由的展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－2k，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即C最大，所以k＝5，即第6项的系数最大．故选B.
2解析：选B.由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.
3解析：选D.由题意可得C＝C，所以n＝4.
令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.所以a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.
4解析：选A.由二项式定理，得883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋C×782＋…＋C×72＋C×71＋1＋6＝72×(781＋C×780＋…＋C)＋83×7＋7＝49×(781＋C×780＋…＋C)＋49×12＝49×(781＋C×780＋…＋C＋12)，所以883＋6被49除所得的余数是0.故选A.
5解析：选CD.方法一：(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)相乘，每个(1＋ax＋by)中各取1，ax，by中的一个，将其相乘构成展开式的每一项．因为(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，所以C＋C|a|＋C|a|2＋…＋C|a|n＝32，即(1＋|a|)n＝32，结合四个选项可知a，n的值可能为a＝－1，n＝5或a＝1，n＝5.故选CD.
方法二：令y＝0，得(1＋ax＋by)n＝(1＋ax)n.若a>0，令x＝1，则(1＋a)n＝32，结合选项可知a＝1，n＝5满足题意，故D正确；若a<0，令x＝－1，则(1－a)n＝32，结合选项可知a＝－1，n＝5满足题意，故C正确．故选CD.
6解析：因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，
由已知可得41＋29＝a＋b，
所以a＋b＝41＋29＝70.
答案：70
7解析：令x＝1，得a0＝－2.
令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
答案：2
8解析：令x＝1，可求得a＝2n；令x＝－1，可求得b＝4n，所以＋＝2n＋.设t＝2n(n∈N*)，则＋＝t＋，t≥2.又函数y＝s＋在[2，＋∞)上单调递增，所以ymin＝2＋＝，即＝.
答案：
9解：(1)由题可知，2n＝64，解得n＝6，
令x＝1，得该展开式中各项的系数之和为(2－1)6＝1.
(2)记(2x－1)6＝a0x6＋a1x5＋…＋a5x＋a6.
由(1)知a0＋a1＋…＋a5＋a6＝1，
令x＝－1，可得a0－a1＋…－a5＋a6＝(－3)6＝729.
所以该展开式中所有偶数项的系数之和为＝－364.
10解：(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数的和为2n，
所以22n－2n＝992，解得n＝5.
所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3rC≥3r－1C，,3rC≥3r＋1C)) ≤r≤.又r∈N，所以r＝4.
即展开式中第5项系数最大，
T5＝C(x)(3x2)4＝405x.
11解析：选B.由题意，知(1－3x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，令x＝0，可得a0＝1.令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.故选B.
12解析：选CD.对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－C×22＝－144，故A不正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D正确．故选CD.
13解析：设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ①，令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ②，②－①得(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)．又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍去)，则(1＋3x)2(1－x)5的展开式中x2项的系数为C32＋C×3×C(－1)＋C×30×C(－1)2＝－11.
答案：3 －11
14解析：32 016＝91 008＝(－1＋10)1 008＝C(－1)1 008100＋C(－1)1 007101＋C(－1)1 006102＋…＋C·(－1)0101 008，展开式中只有第1，2项不能被100整除，故32 016除以100的余数等价于C(－1)1 008100＋C(－1)1 007101＝－10 079除以100的余数，得21.
答案：21
15解析：选AC.因为a＝1＋C×2＋C×22＋C×23＋…＋C×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C·1010－C·109＋C·108＋…－C·10＋C，所以a被10除得的余数为1，又2 021，2 011被10除得的余数是1，故选AC.
16解：(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，
所以a2＝C＝，a3＝C＝，
a4＝C＝.
因为a＝2a2a4，
所以
＝2××，
解得n＝5.
(2)由(1)知，n＝5.
(1＋)n＝(1＋)5
＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5
＝a＋b.
方法一：因为a，b∈N*，所以a＝C＋3C＋9C＝76，
b＝C＋3C＋9C＝44，
从而a2－3b2＝762－3×442＝－32.
方法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5.
因为a，b∈N*，所以(1－)5＝a－b.
因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32.
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