【课后练习】6.4 第六章 计数原理 章末综合检测 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第六章 计数原理 章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定；学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园，现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序)，请问进入校园的方式共有(　　)
A．6种　　　B．12种　　　C．24种　　　D．32种
2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有(　　)
A．8种 B．10种 C．12种 D．32种
3．某医药研究所研制了5种消炎药X1，X2，X3，X4，X5和4种退烧药T1，T2，T3，T4，现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时进行疗效试验，X1，X2这2种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4这2种药不能同时使用，则不同的试验方案有(　　)
A．11种 B．12种 C．13种 D．14种
4．(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　)
A．－720 B．720 C．120 D．－120
5．(2021·南通市高二下学期期初调研)已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n·展开式中常数项为(　　)
A．－14 B．－13
C．1 D．2
6．二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
7．一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈，i＝1，2，3，4，5，当且仅当a1>a2>a3，a3A．110 B．137 C．145 D．146
8．已知(2x2＋x－y)n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为(　　)
A．120 B．30 C．240 D．60
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若C＝C，则x的值可能为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有(　　)
A．(A)2A B．A＋(A)2A
C．A－2A＋A D．A＋AAA＋AA
11．(2021·襄阳市部分优质高中联考)若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则(　　)
A．a0＝1
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝
D.＋＋＋…＋＝－1
12．(2021·重庆市南开中学期末)我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《孙丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为(　　)
A．CCA B．AC
C．CAA D．CA
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．
13.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成________种重卦．(用数字作答)
14．(2021·漳州市高三质检)已知二项式的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为________．
15．(2021·高考浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
16．十二生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖．现有十二生肖的吉祥物各1个，从中选出含牛吉样物在内的5个吉祥物分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得1个吉祥物，则不同的分法种数为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知二项式的第3项和第8项的二项式系数相等．
(1)求n的值；
(2)若展开式的常数项为84，求a.
18．(本小题满分12分)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
19．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．
20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
21．(本小题满分12分)已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
22．(本小题满分12分)(2021·江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
参考答案
1解析：选D.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共23＝8种．因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有22＝4种．所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有8×4＝32种情况．
2解析：选B.此人从A到B，路程最短的走法应走2纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C＝10种．
3解析：选D.若退烧药选用T4，则消炎药的选用可能为2种，此时试验方案种数为2；若退烧药不选用T4，则消炎药的选用可能有C＋1＝4(种)，此时试验方案种数为3×4＝12.于是不同的试验方案有2＋12＝14(种)．
4解析：选D.由Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，因为r＝3，所以系数为(－1)3C＝－120.
5解析：选B.由条件可知，2n－1＝64，所以n＝7.
则(1－2x)7＝(1－2x)7＋，其中常数项分为两部分，(1－2x)7的常数项是17＝1，的常数项是(1－2x)7中含x项的系数，C·16(－2)＝－14，所以常数项为1－14＝－13.
6解析：选B.由得展开式的通项为Tr＋1＝2n－rCx4n－7r，令4n－7r＝0，据题意此方程有解，所以n＝，当r＝4时，n最小为7，故选B.
7解析：选D.分四种情况进行讨论：(1)当a3＝0时，a1和a2有C种排法，a4和a5有C种排法，此时共CC＝100个；(2)当a3＝1时，有CC＝36个；(3)当a3＝2时，有CC＝9个；(4)当a3＝3时，有CC＝1个．当a3＝4或5时不存在凹数，由分类加法计数原理得满足条件的五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．故选D.
8解析：选A.由题意，(2x2＋x－y)n的展开式中各项系数的和为32，即(2＋1－1)n＝32，解得n＝5.已知(2x2＋x－y)5＝[(2x2＋x)－y]5的通项为Tr＋1＝C·(－y)r(2x2＋x)5－r，由展开式中含有x5y2，可知r＝2，且(2x2＋x)3的展开式中有含x5的项，由通项公式，可得Tt＋1＝C(2x2)3－txt＝23－tCx6－t，令t＝1得，含x5项的系数为22C.所以展开式中，x5y2的系数为C×C×22＝120.
9解析：选BD.由C＝C，知2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝20，所x＝4或x＝6，故选BD.
10解析：选CD.排除法：总共有A，减去1在个位和0在第一位的共有2A，加上0在第一位，1在个位的A，共有A－2A＋A种，故C正确．
若1不在个位，从除去1以外剩下9个元素中选择4个元素排在第2，3，4，5位，有A种．
讨论法：(1)若有1，①若1在第一位，共有A种；
②若1在第2，第3，第4位，共有AAA种；
(2)若没有1，第1位有A，剩下有A，共有AA种，
故有A＋AAA＋AA种，故选CD.
11解析：选ABD.令x＝0，则a0＝1，A正确，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2 020＝1，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a2 020＝32 020，所以a0＋a2＋…＋a2 020＝，a1＋a3＋…＋a2 019＝，B正确，C错误，令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，又a0＝1，则＋＋…＋＝－1，D正确，故选ABD.
12解析：选AD.依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，
方法一：分三步完成，
第一步：选择一个人，有C种选法；
第二步：为这个人选两本书，有C种选法；
第三步：剩余四人各分得一本书，有A种选法．
故由分布乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为CCA，故A正确；
方法二：分两步完成，
第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2＋1＋1＋1＋1”的五组，有C种选法；
第二步：将五组分配给五个人，有A种分法．
故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为CA，故D正确．故选AD.
13解析：由题设，重卦的种数为C＝15，故答案为15.
答案：15
14解析：二项式的展开式的二项式的系数和为256，可得2n＝256，解得n＝8，则＝展开式的通项Tr＋1＝C(2x)8－r·＝(－1)rC28－r·x (8－r)－ (r＝0，1，2，3，…，8)，令(8－r)－＝0，解得r＝6，可得常数项为C22＝112.故答案为112.
答案：112
15解析：(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
答案：5　10
16解析：根据题意，分三步进行．第一步：从12个吉祥物中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物，有C＝330种选法；第二步：将5个吉祥物分成三组，若分为3，1，1的三组，有C＝10种分组方法，若分为2，2，1的三组，有eq \f(CC,A)＝15种分组方法，则共有10＋15＝25种分组方法；第三步：将分好的三组分配给甲、乙、丙3人，有A＝6种情况，则共有330×25×6＝49 500种分法．
答案：49 500
17解：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C＝C，解得n＝2＋7＝9.
(2)由(1)知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C·(ax)9－r·＝a9－rCx9－r；令9－r＝0，得r＝6，此时展开式的常数项为a9－6·C＝84a3＝84，解得a＝1.
18解：100个碱基组成的长链共有100个位置，从左到右依次在每一个位置中，从A，C，G，U中任选一个填入，每个位置有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4100个．
19解：49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C＋16n－1，所以49n＋16n－1＝16(C·3×48n－1＋C·3×48n－2＋…＋C·3＋n)．
所以49n＋16n－1能被16整除．
20解：由1(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数的个数为A＝120.
(2)若从集合A中取元素3，则3不能是千位上的数字，
满足题意的自然数的个数为C·C·A＝180.
若不从集合A中取元素3，则四位数的组成数字有5组：4，5，6，7；4，6，7，8；4，5，6，8；4，5，7，8；5，6，7，8.分别全排列，有5A＝120(个)满足题意的自然数．
所以满足题意的自然数共有180＋120＝300(个)．
21解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.
结合(1)得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
22解：(1)分步完成：第1步，在四个偶数中取三个，可有C种情况；
第2步，在五个奇数中取四个，可有C种情况；
第3步，三个偶数，四个奇数进行排列，可有A种情况．
所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空位，共有ACA＝28 800(个)．
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