【课后练习】7.2　离散型随机变量及其分布列 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册（含解析）

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第七章 随机变量及其分布
7.2　离散型随机变量及其分布列
[A　基础达标]
1.(2021·江西南昌二中高二月考)下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　)
A.将一枚均匀的正方体骰子掷两次，所得点数之和
B.某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C.电视机的使用寿命
D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　)
A.X＝4　　　　　　　　　 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
3.随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，c为常数，则P＝(　　)
A. B.
C. D.
4.(2021·潍坊高三月考)若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　)
X 0 1 2 3
P a b
A. B.
C. D.
5.袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)＝(　　)
A. B.
C. D.
6.下面给出三个变量：
①2013年地球上发生地震的次数ξ；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是　　　　.(填序号)
7.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是　　　　.
8.抛掷一颗骰子两次，定义随机变量
ξ＝
试写出随机变量ξ的分布列(用表格表示).
9.(2021·河北邢台高二期末)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.
[B　能力提升]
10.(2021·天津二中期末考试)对一批产品逐个进行检测，若第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示(　　)
A.第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C.前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
11.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)＝(　　)
A. B.
C. D.
13.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
[C　拓展探究]
14.已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是　　　　.
15.(2021·湖南师大附中高三月考)某校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名.
(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列.
参考答案
1解析：选C.题目中A，B，D都属于离散型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变量.
2解析：选B.根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5，故选B.
3解析：选B.由题意得＋＋＋＝1，
即c＝1，解得c＝，
所以P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝×
＝.
4解析：选C.由分布列性质可知a＋b＝，故a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立.故选C.
5解析：选D.X＝3，第一种情况表示1个3，P1＝eq \f(C·C,C)＝；第二种情况表示2个3，P2＝eq \f(C·C,C)＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝＋＝.
6解析：①2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量；②放出的α粒子数η是变化的，是随机变量；③通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.
答案：②③
7解析：由题意得2b＝a＋c，
c＝ab，a＋b＋c＝1，
且a≥0，b≥0，c≥0，
联立得a＝，b＝，c＝，
故得3分的概率是.
答案：
8解：当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数时，有6种情况，所以P(ξ＝1)＝＝，由互斥事件概率公式得，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝，所以ξ的分布列是
ξ 0 1
P
9解：(1)由题意得P(A)＝eq \f(CC＋C,C)＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq \f(C＋C＋C,C)＝；
P(X＝1)＝eq \f(CC＋CC,C)＝；
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
10解析：选D.由题意，得第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品，故选D.
11解析：选B.X＝k表示第k次恰好打开，前k－1次没有打开，所以P(X＝k)＝××…××＝.
1212.袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝　　　　.
解析：取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1，相应的黑球的个数为0，1，2，3，其得分ξ＝4，6，8，10，则P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝eq \f(C×C,C)＋eq \f(C×C,C)＝.
答案：
13解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝eq \f(AA,A)＝.
(2)由题意可知X的可能取值为200，300，400，
则P(X＝200)＝eq \f(A,A)＝，
P(X＝300)＝eq \f(A＋CCA,A)＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
14解析：设X取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得a＝，
由得－≤d≤.
答案：
15解：设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”则
(1)P(A)＝eq \f(C,C)＝，P(B)＝eq \f(C,C)＝，
所以P(A)＝P(A)P()＝×＝.
(2)P(C)＝eq \f(C,C)＝，X可能的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P()＝××＝××＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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