2021-2022学年北师大版七年级数学下册2.3平行线的性质解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）
1．如图，点G、F分别在AC、BC上，点D、E在AB上，CD∥EF，∠1＝∠2，∠3＝60°．请问：
（1）GD与CB有怎样的位置关系？为什么？
（2）求∠ACB的度数．
2．如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．
3．如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：∠BCA+∠FGC＝180°．
4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数．
5．如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：（1）BF∥EC；
（2）∠A＝∠D．
6．（1）如图1，已知，a∥b，∠1＝∠2，求证：m∥n；
（2）如图，已知，∠AEF+∠EFC＝180°，∠AEG＝∠HFD，求证：∠G＝∠H．
7．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
8．探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为DE∥BC，
所以∠DEF＝　 　（ 　 　）．
因为EF∥AB，
所以 　 　＝∠ABC（ 　 　）．
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝　 　°．
应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．
9．已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 　 　；
（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 　 　；
（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）：　 　；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？
10．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．
（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；
（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；
（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）
11．如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，则有∠AEC＝∠A+∠DCE．
【感知】证明：如图①，过点E作EF∥AB，则有∠AEC＝∠1+∠2＝∠A+∠DCE．
【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°．
【应用】如图③，在图②的条件下，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为　 　．（请直接写出答案）
12．已知：如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠M＝∠N，∠1和∠2相等吗？试说明理由．
13．（Ⅰ）填空，并在括号内标注理由．
已知：如图①，DE∥BC，∠AED+∠DFC＝180°，求证DF∥AC．
证明：DE∥BC，（已知）
∴∠AED＝∠　 　；（ 　 　）
又∵∠AED+∠DFC＝180°，（已知）
∴∠　 　+∠　 　＝180°．
∴DF∥AC．（ 　 　）
（Ⅱ）如图②，AB∥CD，EF⊥AB，垂足为E，与CD相交于点F，点M在直线CD上，且∠FEM＝32°，MN平分∠CME，与AB相交于点N，求∠CMN的度数．
14．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．
（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝　 　°；
（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；
（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
15．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，可得∠BCD＝　 　度；
（2）如图2，在（1）的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM＝　 　度；
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　 　度；
（4）尝试解决下面问题：如图4，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．
16．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
（2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数．
17．如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC＝∠C；
（3）试说明BD是∠ABC的平分线．
18．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
19．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
20．【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠　 　（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠　 　（等量代换），
∴AB∥CD（ 　 　）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
参考答案
1．解：（1）DG∥BC，
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠DCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCF，
∴DG∥BC；
（2）由（1）知，DG∥BC，
∴∠ACB＝∠3＝60°．
2．证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ACD，
∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠DAC＝∠4，
∵∠3＝∠4，
∴∠DAC＝∠3，
∴AD∥BE．
3．证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴CF∥ED，
∴∠1＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCF＝∠2，
∴FG∥BC，
∴∠BCA+∠FGC＝180°．
4．解：（1）∵∠1＝∠2，
∴BM∥CN，
∴∠MBC＝∠NCB，
∵∠3＝∠4，
∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4，
即∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD；
（2）∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°，
∴∠ABD＝110°，
∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣110°）＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°．
5．证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵BF∥EC（已证），
∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠C（已知），
∴∠B＝∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
6．证明：（1）如图：
∵a∥b，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴m∥n．
（2）∵∠AEF+∠EFC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
又∵∠AEG＝∠HFD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠EFD﹣∠HFD，即∠GEF＝∠EFH，
∴GE∥FH，
∴∠G＝∠H．
7．（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
8．解：探究：如图①，
因为DE∥BC，
所以∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
因为EF∥AB，
所以∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换），
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝50°．
故答案为：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50；
应用：如图②，
∵DE∥BC，∠ABC＝65°，
∴∠D＝∠ABC＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
9．解：（1）如图1．
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3．
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠2．
（2）∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE．
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE＝180°．
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：∠1+∠2＝180°．
（3）由（1）、（2）得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．
（4）设这两个角分别是∠1、∠2，且∠1＝2∠2﹣30°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴2∠2﹣30°+∠2＝180°．
∴∠2＝70°．
∴∠1＝2×70°﹣30°＝110°．
∴这两个角分别为70°、110°，
或∠1＝∠2，且∠1＝2∠2﹣30°，
∴∠1＝∠2＝30°．
10．解：（1）作EH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，
∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分线，
∴∠AME＝∠AMF，
∴∠MEN＝∠AMF+∠CNE＝×52°+38°＝64°；
同理可得∠MFN＝∠AMF+∠CNE＝52°+×38°＝71°；
（2）∵∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，
∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MFN﹣∠MEN＝∠AMF，
∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，
∴∠AMF＝45°，
∴∠AMF＝30°；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，
而∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，
∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE＝（∠MEN+∠MFN），
∴∠MON＝（∠MEN+∠MFN）．
11．【感知】证明：如图①，
过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，
∵AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠DCE，
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
【探究】证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
【应用】解：同【探究】得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
12．解：∠1和∠2相等．
证明：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠AEC （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠M＝∠N （已知），
∴AN∥ME （内错角相等，两直线平行）．
∴∠NAE＝∠AEM （两直线平行，内错角相等）．
∴∠BAE﹣∠NAE＝∠AEC﹣∠AEM．
即∠1＝∠2（等量代换）．
故∠1和∠2相等．
13．（Ⅰ）证明：DE∥BC（已知），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠AED+∠DFC＝180°（已知），
∴∠DFC+∠C＝180°，
∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：C；两直线平行，同位角相等；DFC；C；同旁内角互补，两直线平行．
（Ⅱ）解：∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∵∠FEM＝32°，
∴∠AEM＝90°﹣∠FEM＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠CME+∠AEM＝180°，
∴∠CME＝180°﹣58°＝122°，
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN＝∠CME＝×122°＝61°．
14．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠FME，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠AEF＝70°，
∴∠FME＝∠AEM＝∠AEF＝35°；
故答案为：35；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，
∴EM平分∠AEF；
（3）∠MHN﹣∠FEH＝α．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝α，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠HEG＝∠FEG，
∴∠FEH+α＝∠BEG+∠GEH＝∠BEH，
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣α）＝90°﹣，
在Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EHF，即α+∠GEH＝∠EHN+∠NHM，
∴α+∠FEH＝α+∠NHM，
∴∠MHN﹣∠FEH＝α．
15．解（1）∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°,
故答案为：60；
(2)∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠DCM＝∠BCD＝30°；
故答案为：30；
(3)∵CN⊥CM，
∴∠NCM＝90°，
∵∠BCM＝30°，
∴∠BCN＝∠NCM﹣∠BCM＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：60；
(4)∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∵∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°,
又∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN＝∠BCE＝×140°＝70°,
∵CN⊥CM，
∴∠BCN+∠BCM＝90°,
∴∠BCM＝90°﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
16．解：（1）GD∥CA．
理由：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ACD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ACD＝∠2，
∴GD∥CA；
（2）∵GD∥CA，
∴∠2＝∠ACD＝40°，
∵DG平分∠CDB，
∴∠BDG＝∠2＝40°，
∵GD∥CA，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
17．解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠1＝60°．（ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠1＝∠2，（ 已知 ）
∴∠ABC＝∠2．（ 等量代换 ）
∴AB∥DE．（ 同位角相等，两直线平行 ）；
（2）∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2＝180°，
∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．
∵MN∥BC，
∴∠C＝∠NDC＝60°．∴∠ABC＝∠C．
（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．
∵MN∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°．
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．∴BD是∠ABC的平分线．
18．（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，
∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
19．解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，
∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）如图3，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA＝∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD＝∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN＝∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）
＝180°﹣（180°+∠APD）
＝180°﹣（180°+90°）
＝45°．
20．【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°