(共25张PPT)
10.1 分 式
第10章 分 式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式的概念
分式有意义和无意义的条件
分式值为0的条件
知识点
分式的概念
知1－讲
1
1. 定义 如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么 代数式叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母.
分式的“三要素”：
(1)形如 的式子；
(2)A、B 为整式；
(3)分母B 中含有字母.
知1－讲
2. 分式与分数、整式的关系
(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.
(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.
知1－讲
特别解读：
1. 分式可以看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号.分数线还具有括号作用和整体作用.
2. 判断一个式子是不是分式不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照原有的本来“面目”进行判断.
如： 是分式.
知1－讲
例 1
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
解题秘方：利用分式的“三要素”判断即可.
知1－讲
知1－讲
方法点拨：判断一个式子是不是分式的方法如下；首先要具有 的形式，其次A、B 是整式，最后看分母B 中是不是含有字母. 分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的关键条件.
知1－讲
特别警示：
1. π是常数，不能当字母看，所以 是整式.
2. 中，尽管分母中含有字母x，但分子x不是整式，所以它既不是整式，也不是分式.
知1－讲
小明手上有四张卡片，上面分别写着3，－9，2x，x－2 四个式子，若从中抽取两张卡片分别放在分数线的上方和下方，请你写出两个组成的分式：_______________________ .
例2
知1－讲
解题秘方：由分式的定义知放在分数线下方的卡片上写的只能是式子2x 或x－2，否则就是整式. 从
中任选两个即可.
知1－讲
某人完成一项工作需要a 天，则他工作5 天可以完成这项工作的________．
例 3
解题秘方：因为完成一项工作需要a 天，所以一天可完成这项工作的 ，所以他工作5 天可以完成这项工作的 .
知1－讲
方法点拨：
根据实际意义列分式，为后面学习列分式方程解应用题做准备；工程问题的基本等量关系是：工作量=工作效率× 工作时间.
知2－讲
知识点
分式有意义和无意义的条件
2
1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式 才有意义.
2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B=0 时，分式
无意义.
知2－讲
例4
x 满足什么条件时下列分式有意义？
解题秘方：分式的分母不等于0 时，分式有意义.
知2－讲
解法提醒：
求分式有意义时字母的取值范围：
根据“分式有意义的条件：分式的分母不等于0”列不等式求解.
知2－讲
知3－讲
知识点
分式值为0的条件
3
1. 分式值为0 的条件
当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0.
即：对于分式 ，当A=0 且B ≠ 0 时， =0.
知3－讲
2. 常见的几种特殊分式值情况讨论
(1)若 的值为正数，则
(2)若 的值为负数，则
(3)若 的值为1，则A=B，且B ≠ 0；
(4)若 的值为－ 1，则A=－B，且B ≠ 0.
知3－讲
特别提醒 ：
●分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的.所以分式 的值为0的条件：A=0且B≠0，二者缺一不可.
●对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
知3－讲
当x取何值时，下列分式的值为0 ？
解题秘方：分式值为0 的条件：分子为0，分母不为0.
例 5
知3－讲
教你一招 ：
求分式值为0时字母值的方法：
1.解题时可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0. 当分母的值不为0时，这个值就是所要求的字母的值.切记使分母为0的值必须舍去.
2.若有多个值使分式的值为0，则这几个值之间用“或”连接.
知2－讲
知2－讲
若ab ≠ 0，则a ≠ 0 且b ≠ 0
若ab=0，则a=0 或b=0
分 式
分式的
概念
在实际问题
中列出分式
分式有意义和无意义的条件
分式值为0的条件(共33张PPT)
10.2 分式的基本性质
第10章 分 式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式的基本性质
分式的约分
分式的通分
知识点
分式的基本性质
知1－讲
1
1. 分式的基本性质
分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0 的整式，分式的值不变.
即 (其中C 是不等于0 的整式).
知1－讲
2. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.
用字母表示为：
知1－讲
特别解读：
1. B≠0是已知中隐含的条件，C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用此性质时，必须重点强调C≠0这个前提.
2.应用性质时，要理解“ 同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0 的整式.
3.运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式.
知1－讲
例 1
写出下列等式中未知的分子或分母.
5y
a2+2ab
x－y
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
知1－讲
解法提醒：
解决与分式的恒等变形有关的填空题时，一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化，再通过对分子或分母作相同的变形得到未知项.
知1－讲
解：(1)中， 右边的分子3x 是由左边的分子15x2y 除以5xy 得到的， 所以右边的分母可以由左边的分母25xy2 除以5xy 得到， 因此结果是5y；(2)中，右边的分母a2b2 是由左边的分母ab2 乘a 得到的，所以右边
的分子可以由左边的分子a+2b 乘a 得到，因此结果是a2+2ab；(3)中，右边的分子3 是由左边的分子3x 除以x 得到的，所以右边的分母可以由左边的分母x2－xy 除以x 得到，因此结果是x－y.
知1－讲
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号,或者使分子、分母的第一项系数不含“－”号.
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
例2
知1－讲
警示误区：
当分子、分母是多项式时，应将其看成一个整体.若分子(或分母)的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号，注意此时多项式中的每一项都要变号，然后改变分式的符号.
知1－讲
知1－讲
例 3
把分式 中的m和n同时扩大为原来的2 倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的2 倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
C
解题秘方：将分式中的m 和n 同时扩大为原来的2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形.
知1－讲
方法点拨:
解答此类问题，应先求出变化后的分式，然后运用分式的基本性质化简，再与原分式进行比较即可.此题也可采用特殊值法比较，令m=2，n=1，则原分式值为 ，m和n同时扩大为原来的2 倍后，m=4，n=2，则新分式值为
，分式值缩小为原来的 .
知1－讲
解析：把分式 中的m 和n 同时扩大为原来的2 倍，可将分式变为
因此分式的值缩小为原来的 .
知1－讲
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母同时乘同一个不为0 的数，使系数都化为整数.
例4
知1－讲
教你一招：
利用分式的基本性质化系数为整数的方法：
若各项系数都是小数，则分子、分母同乘10的正整数倍；若各项系数都是分数，则分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小公倍数.
知1－讲
若各项系数既有小数又有分数，则要先统一成小数或者分数，然后化为整数.注意将系数化为整数的过程中不要漏项.
知2－讲
知识点
分式的约分
2
1. 约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分.
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式.
知2－讲
3. 约分的方法
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；
(2)若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约分.
4. 最简分式 如果一个分式的分子与分母只有公因式1，那么这样的分式叫作最简分式，约分通常要把分式化成最简分式或整式.
知2－讲
1.约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
2.约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
3.约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式.
知2－讲
约分：
例 5
方法点拨：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(3)中的分子、分母都是多项式，先将分子、分母分解因式，再进行约分.
知2－讲
特别提醒：
约分时需要注意的问题：
1.注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式(如互为相反数的式子).
2. 当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.
知2－讲
知2－讲
下列各式中，最简分式有________________________.
例6
解题秘方：根据最简分式的概念识别.
知2－讲
知识储备：
最简分式是约分后的形式，所以判断最简分式的唯一标准就是分式的分子与分母除了1以外没有其他公因式.
知2－讲
知3－讲
知识点
分式的通分
3
1. 分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分, 变形后的分母叫做这几个分式的公分母.
2. 最简公分母
最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母或因式最高次幂的积.
通分的关键是确定几个分式的公分母，分式通分时，通常取最简公分母.
知3－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式.
4. 约分与通分的关系
知3－讲
把下列各组分式通分：
例 7
解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分.
知2－讲
方法点拨:
确定最简公分母的一般方法:
1.如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由各分母系数的最小公倍数、各分母相同字母的最高次幂、各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成.
2.如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定.
知2－讲
知2－讲
分式的基本性质
分式的基
本性质
分式的约分
分式的通分
最简分式(共19张PPT)
10.3 分式的加减
第10章 分 式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
同分母分式的加减法
异分母分式的加减法
知识点
同分母分式的加减法
知1－讲
1
1. 同分母分式的加减法法则
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
即：用字母表示为
知1－讲
详解：
二次函数的特殊形式：
●只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；
●不含一次项，即：y = ax2 + c (b=0，c≠ 0)；
●不含常数项，即：y=ax2+bx(b≠0，c=0).
知1－讲
2. 同分母分式相加减的一般步骤
(1)分母不变，把分子相加减；
(2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
(3)结果应化成最简分式或整式.
特别解读：
“ 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号错误．
知1－讲
例 1
计算：
知1－讲
解题秘方：按照同分母分式的加减法法则进行计算即可，结果要化为最简分式或整式.
警示误区：
同分母分式加减法的三大易错点：
1.当分母不是相同而是相反时，不能直接相加减.将分母变成相同时，中间的运算符号随之改变“. +”号变“－”号，“－”号变“+”号.
2.当分子是多项式，对分子进行加减时，要先带括号，后去括号进行运算.
3.加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式.
知1－讲
知2－讲
知识点
异分母分式的加减法
2
1. 异分母分式的加减法法则
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
即：用字母表示为
知2－讲
2. 异分母分式相加减的一般步骤
(1)通分：将异分母分式转化为同分母分式；
(2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分.
知2－讲
特别解读:
通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
知2－讲
例2
计算：
知2－讲
解题秘方：异分母分式相加减，先找最简公分母，进行通分，变为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算.
知2－讲
特别提醒:
1.通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换，如本题，将分母“4－x”变为“x－4”，提出的“－”号放在分式的前面，使本来的“+”号变为“－”号.
2.类似同分母相加减，分子是多项式的注意带上括号.
3.最后运算的结果应是最简分式或整式.
知2－讲
知2－讲
在通分时，整式看成分母是1，整式作为“分式”的分子.若是多项式时，则看成一个整体，通分时要带上括号.
知2－讲
将－x2－x－1 看成分母为1 的分式，然后先通分，再计算.
知2－讲
分数线除了具有除号的作用外，还具有括号的作用. 注意－x2－x－1 应该写成 的形式，而不是 的形式.
分式的加减
分式的
加减法
同分母分式的加减法
异分母分式的加减法(共36张PPT)
10.4 分式的乘除
第10章 分 式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式的乘法
分式的除法
分式的乘除混合运算
分式的加减乘除混合运算
知识点
分式的乘法
知1－讲
1
1. 分式的乘法法则
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.
用字母表示为
知1－讲
2. 法则的运用方法
(1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；
(2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”进行运算.
注意：运算的结果应为最简分式或整式.
知1－讲
特别解读：
分式乘法运算的基本步骤：
第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面；
第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号；
第三步：约分，将结果化成最简分式或整式.
知1－讲
例 1
计算：
知1－讲
解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算.
解法提醒：
1.分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.
2.学习了分式乘方法则后，直接可用法则进行计算，在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方.
知1－讲
知1－讲
计算：
例2
知1－讲
解题秘方：先分解因式再约分.
方法点拨：
分子分母都是多项式的分式的乘法运算一般先分别对分子分母分解因式，再运用分式的乘法法则计算，最后约分化为最简分式或整式.
知1－讲
知2－讲
知识点
分式的除法
2
1. 分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用字母表示为
知2－讲
2. 法则的运用方法
(1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算；
(2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算.
知2－讲
特别提醒：
分式除法运算的基本步骤：
第1 步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；
第2步：将除法转化成乘法；
第3步：利用分式的乘法法则计算.
知2－讲
计算：
例 3
知2－讲
解题秘方：利用分式的除法法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算.
知2－讲
将分子、分母是多项式的进行因式分解，能约分的先约分，然后把除法转化成乘法.
知2－讲
特别提醒：
1.分式的除法与分数的除法类似，可类比分数的除法学习.
2.分式的除法法则是数学转化思想的具体体现，即把除法运算转化为乘法运算.
3.运算的结果应为最简分式或整式.
知3－讲
知识点
分式的乘除混合运算
3
1. 运算法则 分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算.
2. 运算顺序 分式的乘除混合运算的运算顺序与分数的乘除混合运算的运算顺序相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号里面的.
知3－讲
特别解读：
(1)分式的乘除混合运算要注意分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；
(2)分式的乘除混合运算的结果应为最简分式或整式.
知3－讲
计算：
例4
知3－讲
解题秘方：先将分式乘除混合运算统一成乘法运算，能分解因式的分解因式，再进行计算．
技巧提醒：
分式乘除混合运算的解题步骤：在分式的乘除混合运算中，一定要先将乘除混合运算统一成乘法运算，再按分式乘法法则进行计算，能分解因式的，要分解因式，这样便于约分，计算结果应是最简分式或整式.
知3－讲
知3－讲
(1)直接写出结果：
①计算：(x－1)(x－3)＝_______________；
②因式分解：x3－3x2 ＝_______________.
(2)利用(1)题的结论先化简 ，再用一个你最喜欢的数代替x 计算结果．
例 5
x2－4x+3
x2(x－3)
解：原式＝
当x ＝ 2 时，原式＝ ＝1(答案不唯一，合理即可)．
知3－讲
解题秘方：先利用整式乘法法则与因式分解的方法进行计算，然后化简分式，将除法转为乘法，利用(1)题的结论分解因式，再计算，最后取x的值代入求值.
方法点拨：
在选择x的值时，不能使分式的分母为0，且不能使除式为0.本题中要求2x≠0，x2≠0，x2(x－3) ≠ 0，x－1 ≠ 0，即x不能取0，3，1.
知3－讲
知4－讲
知识点
分式的加减乘除混合运算
4
1. 分式的混合运算顺序
分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行.
知4－讲
2. 分式混合运算的方法
(1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算；
(2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程变简单；
(3)运算结果是最简分式或整式.
知4－讲
特别提醒：
1.分式混合运算要注意运算顺序和解题步骤，把好符号关.
2.分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法运算律进行计算.
知4－讲
计算：
例6
知4－讲
详解剖析：
1. 若将a 与2b 单独通分，则形式为
2. 若将a与2b的运算看成一个整体进行通分，则形式为
知4－讲
解题秘方：在进行分式的混合运算时，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时要先算括号里面的.
方法点拨：
1.有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用.
2.分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“－”号提到分式的前面.
3.所有的分式运算，结果必须达到最简.
知4－讲
解题秘方：分式的计算应先分清运算顺序，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看作分母为1 的“分式”.
知4－讲
知4－讲
分式的乘除
法则
分式的乘除
混合运算
分式的乘法
分式的除法
分式的加减乘除混合运算(共41张PPT)
10.5 分式方程
第10章 分 式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式方程的定义
分式方程的解法
分式方程的增根
列分式方程解实际问题
知识点
分式方程的定义
知1－讲
1
1. 分式方程 ，方程分母中都含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
知1－讲
特别解读：
●分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.
●识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.
知1－讲
例 1
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
知1－讲
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中是否含有未知数进行识别.
方法点拨：
判断一个方程是不是分式方程的方法：
根据分式方程定义中的条件，判断方程中分母是否含有未知数（注意仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母），如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程.
知1－讲
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数；
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数；
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数；
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数；
(5)不是分式方程，因为分母虽然含有字母a，但a 为非零常数，不是未知数.
知2－讲
知识点
分式方程的解法
2
1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验方程根的方法
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0，因此应做如下检验：
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解；
(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.
知2－讲
特别解读：
解分式方程的基本思路是转化，即方程两边同时乘各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程.
知2－讲
例2
解方程：
方法点拨：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
知2－讲
方法点拨：
解分式方程时，先给方程的两边同乘最简公分母，化成整式方程后，解整式方程，得到整式方程的根，再代入原分式方程的最简公分母检验，若不为零，则整式方程的根就是原分式方程的根，否则就不是原分式方程的根.
知2－讲
解：方程两边同乘x(x－1)，得(x－1)(x－1)+3x2 ＝ 4x(x－1)，即2x+1=0．解得x=－ .
检验：当x=－ 时，x(x－1)=≠ 0，∴ x=－ 是原方程的解.
知3－讲
知识点
分式方程的增根
3
1. 增根 在解分式方程的过程中，为了化分式方程为整式方程，需要在分式方程的两边同乘各分式的最简公分母，若所得的解恰好使最简公分母的值为零，则这个解就是增根.
知3－讲
2. 分式方程无解有两种可能
(1)将分式方程转化成整式方程后，整式方程是ax=b(a=0,b ≠ 0)的形式，即整式方程无解；
(2)整式方程求得的根，使得原分式方程的最简公分母等于0，即此根为增根，原方程无解.
知3－讲
3. 易错警示
(1)在求分式方程中字母的取值时，容易漏掉使分母的值不为零的隐含条件；
(2)增根虽不是原分式方程的根，但它却是原分式方程化成的整式方程的根.
知3－讲
特别解读：
验根的方法：
验根的方法有两种，一种是把根代入最简公分母，若值不为零，则所得的根是原方程的根，若值为零，则所得的根为增根；另一种是把根代入原方程，若左、右两边的值相等，说明是原方程的根，否则是原方程的增根.
知3－讲
已知关于x 的分式方程
(1)若方程的增根为x=2，求m 的值；
(2)若方程有增根，求m 的值.
例 3
解题秘方：先将分式方程化成整式方程，然后将增根代入整式方程，求出待定字母m 的值.
知3－讲
解题通法：
分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：①把分式方程化为整式方程;②令最简公分母为0，求出未知数的值,这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根;③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值.
知3－讲
解：去分母并整理，得mx=－8.
(1)若原分式方程的增根为x=2, 则2m=－8，
解得m=－4.
(2)若原分式方程有增根，则(x+2)(x－2)=0.
∴ x+2=0 或x－2=0，解得x=－2 或x=2.
当x=－2 时，－2m=－8，解得m=4；由(1)知当x=2 时，m=－4.∴若原分式方程有增根，则m=±4.
知4－讲
知识点
列分式方程解实际问题
4
1. 列分式方程解实际问题的一般步骤
(1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出相等关系；
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量；
知4－讲
(3)列：即列方程，根据相等关系列出分式方程；
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值；
(5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义；
(6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整.
知4－讲
2. 分式方程的实际问题主要涉及的类型
(1)行程问题：速度× 时间= 路程；
(2)利润问题：利润= 售价- 进价；利润率= 利润÷ 进价×100%；
(3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各部分工作量之和.
说明： 列分式方程解应用题时，往往与实数的运算或不等式结合.
知4－讲
3. 易错警示 列分式方程时单位不统一.
知4－讲
特别解读
1.审题时，先寻找题目中的关键词 ，然后借助列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的相等关系列方程.
2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数 ，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示出相等关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
3.应用题中解分式方程同样要验根.
知4－讲
为加快城市群的建设与发展，要在A、B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km 缩短至114 km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km，运行时间仅是现行时间的 ，求建成后的城际铁路在A、B 两城市间的运行时间.
例4
知4－讲
解题秘方：根据题意中的两个等量关系，一个用来列式子，一个用来列方程解决问题.
1. 设计平均时速比现行平均时速快110 km；
2. 设计运行时间是现行运行时间的 .
知4－讲
解：设建成后的城际铁路在A、B 两城市间的运行时间为x h，则现行的运行时间为 x h.
根据题意，得 =110. 解得x=0.6.
当x=0.6 时， x ≠ 0，且符合题意.
∴原分式方程的解为x=0.6.
答：建成后的城际铁路在A、B 两城市间的运行时间为0.6 h.
知4－讲
另解：
本题也可以采用设间接未知数的方法进行求解.
设城际铁路的现行平均速度是y km/h，则城际铁路的设计平均速度是(y+110)km/h. 根据题意，得
解得y=80.
经检验，y=80是原分式方程的解，且符合题意.
知4－讲
[ 中考·德阳] 为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2 期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B 两个工程公司承担建设，已知A 工程公司单独建设完成此项工程需要180 天，A 工程公司单独施工45 天后，B 工程公司参与合作，两个工程公司又共同施工54 天后完成了此项工程．
例 5
知4－讲
(1)求B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天.
(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A 工程公司建设其中一部分用了m 天完成，B 工程公司建设另一部分用了n 天完成，其中m，n 均为正整数，且m ＜ 46，n ＜ 92，求A、B 两个工程公司各施工建设了多少天.
知4－讲
解题秘方：利用一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于工作总量1，列出方程解决问题.
解法提醒：
●将工作量看作“1”时，完成任务的天数与工作效率互为倒数.
●在工程问题中，无论工作过程是怎样的，等量关系是：甲完成的工作量+乙完成的工作量+…=总工作量.当总工作量没有给出时，一般记为整体 “1”.
知4－讲
解(1)设B 工程公司单独完成需要x 天.
根据题意，得 =1，解得x=120.
经检验x=120 是分式方程的解，且符合题意.
答：B 工程公司单独建设完成此项工程需要120 天.
知4－讲
(2)根据题意, 得
整理得 ∵n ＜ 92，∴ 120－ m ＜ 92. 解得m ＞ 42，又∵ m ＜ 46，∴ 42 ＜ m ＜ 46. ∵ m 为正整数，∴ m=43，44 或45.
又∵ 为正整数，∴ m=45，n=90.
答：A 工程公司施工建设了45 天，B 工程公司施工建设了90 天．
知4－讲
某超市用3 000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的数量比第一次的2 倍还多300 千克. 若超市按每千克9 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 千克按售价的8 折售完.
(1)该种干果第一次的进价是多少元/ 千克？
例6
知4－讲
解题秘方：根据相等关系“第二次购进干果的数量=2× 第一次购进干果的数量+300 千克”列方程进行求解；
知4－讲
解：(1)设该种干果第一次的进价是x 元/ 千克，则第二次的进价为(1+20%)x 元/ 千克.
根据题意，得
解得x=5. 当x=5 时，(1+20%)x ≠ 0 且符合题意.
∴ x=5 是所列方程的解.
答：该种干果第一次的进价为5 元/ 千克.
知4－讲
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
解题秘方：根据“盈利= 销售额- 成本”列式进行计算.
知4－讲
(2)根据题意，盈利为：
×9 + 600×9×80 % －(3 000+9 000)=(600+1 500－600)×9+4 320－12 000=5 820(元).
答：超市销售这种干果共盈利5 820 元.
详解：
由题意可知，按每千克9元的价格出售的干果的数量等于两次购进的干果的总数量减去600千克.
知4－讲
知识储备：
利润问题的相关公式及基本数量关系：
1. 相关公式：
售价=进价×(1 +利润率)；
售价= 标价× 折扣；
利润率= ×100%.
2. 基本数量关系：
利润= 售价- 进价；
利润= 进价× 利润率；
销售额=销售量×销售单价；
进价×(1+ 利润率)=标价× 折扣.
分式方程
