(共30张PPT)
1.4 角平分线(1)
第一章 三角形的证明
北师大版 数学八年级下册
1
通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.
2
3
经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.
经过练习拓展,能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题.
温故知新
什么叫角平分线?
A
O
B
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相等的角,这条射线就叫这个角的角平分线.
P
角平分线上的点具有什么性质?
你是怎样得到的?
角平分线的性质
1
知识点
角平分线上的点到角两边的距离相等
To show the best of whatever you are !
一起看看功能强大的几何画板!
探求新知
可信吗?!
数学的每一个结论都要言之有理!
都要经过严格的推理证明才能使用!
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逻辑推理是数学的一个重要特征!
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知:
求证:
条 件
结论
OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D,E.
PD=PE
如图:
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
证明首先要分析,有一个清晰的思路!
分析:
欲证:PD=PE
即证: △POD≌△POE
活动要求:同桌合作3分钟完成!
证明: ∵ OC是∠AOB的角平分线 ,PD⊥OA , PE⊥OB
∴ PD=PE( 三角形全等对应边相等)
∴ ∠1= ∠2 ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△OPD和△OPE中
∵
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
一个定理证明之后就可直接使用了!
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线性质定理
定理
命题被证明是正确的之后就可直接使用了!
这个结论是正确
证明:
∵ OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA , PE⊥OB
∴ ∠1= ∠2 ,∠PDO= ∠PEO= 90°
在△OPD和△OPE中
∵
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE( 三角形全等对应边相等)
一个命题被证明是正确之后,怎么直接使用?
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线性质定理
定理
一个定理的几何语言简洁、明了!
∵ OC是∠AOB的平分线
PD⊥OA , PE⊥OB
∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
几何语言
郑州市政府为缓解市区交通压力,将大型水果蔬菜批发市场外迁,为便于大宗货物运进运出,项目确定建在A区,距离公路和铁路交叉处的综合物流通道10Km处且到两路的距离相等的,请你在图上标出它的位置(比例尺1:1000),并说出过程.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线性质定理
定理
你能写出这个命题的逆命题?
2.如果一个点到角的两边的距离相等
那么它就在这个角的平分线上.
1.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
条 件
结论
真,假 ?
假
命
题
!
角平分线的判定
2
知识点
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线性质定理的逆命题
描述一个定理,语言一定要简洁、准确!
在一个角形内部,到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上.
定理
角平分线性质定理
活动要求:
1.小组合作5分钟完成!
2.仿照角平分线的性质定理
1.写出已知、求证
2.写出证明过程
3.写出角平分线判断定理的几何语言
完成内容:
已知:
求证:
条 件
结论
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别
为D、E , PD=PE.
OP平分∠AOB
如图:点P为∠AOB内一点
在三角形内部,
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
∴∠PDO= ∠PEO= 90°
在△PDO和△PEO中
∵
∴ △OPD≌△OPE (HL)
证明:∵ PD⊥OA , PE⊥OB
∴ ∠1= ∠2( 三角形全等对应边相等)
∴ OP平分∠AOB
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
描述一个定理,语言一定要简洁、准确!
在一个角形内部,到角的两边的距离相等
的点在这个角的平分线上
定理
定理
角平分线性质定理
∴∠PDO= ∠PEO= 90°
在△PDO和△PEO中
∵
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ ∠1= ∠2( 三角形全等对应边相等)
∴OP平分∠AOB
∵ PD⊥OA , PE⊥OB且 PD = PE
角平分线判定定理
几何语言
1.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是( )
A.2
B.3
C.
D.4
A
随堂检测
2如图,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是( )
A.线段CD的中点
B.CD与过点O作CD的垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上均不对
C
随堂检测
如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足
分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
D
随堂检测
随堂检测
4.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?
分析:
AD是线段
AF是射线
AD,AF存在数量关系?
拓展提升
1.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,BD=CD,
DE丄AB, DF丄AC ,垂足分别为E,F,
求证 :EB=FC
(1)还有哪些新的发现?
(2)连接 EF 后又有那些新发现?
请说出成立的理由
2.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上, AD=10,DE丄AB, DF丄AC ,垂足分别为E,F,DE=DF,求DE的长.
分析:
DE 丄 AB, DF 丄 AC ,
DE=DF,
角平分线的判定定理
求DE的长? AD=10
DE与AD有数量关系
拓展提升
解:
∵DE丄AB, DF丄AC,垂足分分别为E,F
且DE=DF
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部,到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC=60°
∴∠BAD=30°
在 Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=1
∴DE= AD = ×10=5 (在直角三角形中,如一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
角平分线判定定理
(1) 二者互逆,条件中都有垂直.
(2) 性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用.
角平分线性质定理
1.利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线,你发现了什么 并在信息技术课上利用几何画板验证一下。
2.认真思考独立完成
课本P习题1.9第3.4题