北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
角平分线(1)
　　还记得角平分线上的点有什么性质吗 你是怎样得到的
用心想一想
角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
2
1
E
D
C
P
O
B
A
角平分线的性质定理
　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2
1
E
D
C
P
O
B
A
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
你能写出这个定理的逆命题吗
用心想一想，马到功成
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
这是一个真命题吗
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
用心想一想，马到功成
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
　　　∴∠PDO=∠ PEO=90°．
　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中
　　　OP=OP，PD=PE
　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
2
1
E
D
C
P
O
B
A
　 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴DE= 2 AD= 2 ×10=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.
角平分线的判定定理
　 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
(二)角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
(三)用尺规作角平分线．
角平分线(2)
三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么
用心想一想，马到功成
　　发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论 与同伴交流．
D
F
E
M
N
C
B
A
P
用心想一想，马到功成
D
E
F
M
N
C
B
A
P
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
三角形角平分线的性质定理
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
满足条件共4个
P
1
P
l
3
l
2
1
l
C
B
A
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
用心想一想，马到功成
D
A
B
E
C
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)
∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°=45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
用心想一想，马到功成
D
A
B
E
C
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
这节课有何收获？