(共15张PPT)
1.理解不等式的概念,能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.梳理等式的性质,掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题.
3.理解两实数大小关系的基本事实,初步学会用作差法比较两实数的大小.
3.1 不等式的基本性质
1 | 两实数大小关系的基本事实
依据 a>b ① a-b>0 ;a=b ② a-b=0 ;a
结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系
2 | 等式与不等式的性质
等式 不等式
若a=b,则b=a 若a>b,则b若a=b且b=c,则a=c 若a>b,b>c,则④ a>c
若a=b,则a±c=b±c 若a>b,则a+c>b+c
若a=b,则ac=bc, = (c≠0) 若a>b,c>0,则⑤ ac>bc ;
若a>b,c<0,则ac若a=b,c=d,则a+c=b+d 若a>b,c>d,则⑥ a+c>b+d
若a=b,c=d,则ac=bd 若a>b>0,c>d>0,则⑦ ac>bd
注:若a>b>0,则an>bn(n∈N*).
1.若a>b,则a-c>b-c. ( √ )
2.若a>b,则 < . ( )
提示:若ab>0,a>b,则 < .
3.若 >1,则a>b. ( )
提示:若 >1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a4.a与b的差是非负实数可表示为a-b>0. ( )
5.已知a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc,在不等式中,若a>b,则ac>bc. ( )
提示:当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
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1 | 利用不等式的性质比较大小
在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,同学丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.
问题
1.你能写出这段材料中的不等关系吗
提示:能.设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0,x1+
x2x1+x4.
2.如何判断这四名同学中阅读量最大的同学
提示:因为同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,所以x1+x3=x2+x4.
①
由问题1知x1+x2x2>x1+x4.③
②-①,得x2-x3由③得x2>x1,x2>x4.所以x1比较实数(代数式)大小的方法
作差比较法 作商比较法
依据 a-b>0 a>b; a-b<0 a0,b>0且 >1 a>b;
a>0,b>0且 <1 a应用范围 数(式)的大小不明显,作差后可
化为积或商的形式 同号两数比较大小
步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商;
②变形;
③判断商与1的大小关系;
④下结论
变形技巧 ①分解因式; ②平方后作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化
按照同类的项进行分组
已知a>b>0,c .
思路点拨
思路一(性质法):利用不等式的性质进行证明;思路二(作差法):作差 变形、整
理 判断符号 确定大小;思路三(作商法):作商 变形、整理 判断与1
的关系 确定大小.
证明 证法一(性质法):∵c∴-c>-d>0.
∵a>b>0,
∴a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,
∴0< < .
又e<0,∴ > .
证法二(作差法): - = - = =
.
∵a>b>0,c∴a+d>b+c,a-c>0,b-d>0,
∴(b+c)-(a+d)<0,(a-c)(b-d)>0,
又e<0,∴[(b+c)-(a+d)]e>0,
∴ - >0,即 > .
证法三(作商法): = .
∵a>b>0,c∴a-c>0,b-d>0,
又e<0,∴ <0, <0.
∵c∴-c>-d>0.
∵a>b>0,
∴a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,
∴ = <1,
∴ > .
易错警示
利用不等式的性质进行证明时,应注意不等式性质成立的条件,不可省略条件或
跳步证明,更不能随意构造性质与法则.
2 | 利用不等式的性质求代数式的取值范围
1.利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的问题,对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不可叠加.在解题过程中多次进行这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围,解题时务必小心、谨慎.同时要注意正确使用不等式的性质,避免误用不等式的性质致错.
解决此类问题,可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围.
2.利用不等式的性质求范围的一般思路
(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
(2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解.
(1)已知-1(2)已知-1思路点拨
先将要求范围的代数式用条件中的代数式表示出来,再利用已知范围进行不等式
运算求未知代数式的取值范围.
解析 (1)∵-1又-1∵a∴a-b的取值范围为-2(2)设2a-4b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b(x,y∈R),
则 解得
∴2a-4b=-(a+b)+3(a-b).
∵-1∴-17<-(a+b)+3(a-b)<7,即-17<2a-4b<7.(共16张PPT)
1.掌握基本不等式 ≤ (a,b≥0).
2.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
3.2 基本不等式 ≤ (a,b≥0)
1 | 两个重要不等式
不等式 变形 等号成立的条件 注意
a2+b2≥① 2ab ab≤ , ab≤ 当且仅当② a=b 时,等号成立
a,b∈R
≤③ a+b≥2 当且仅当④ a=b 时,等号成立
a,b≥0
注意:①对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.
②“当且仅当”的含义:一方面是当a=b时取等号,另一方面是仅当a=b时取等号.
1.对于正数a,b,
(1)和a+b为定值s时,积ab有最⑤ 大 值,当且仅当a=b= 时取得最大值;
(2)积ab为定值p时,和a+b有⑥ 小 值,当且仅当a=b= 时取得最小值.
上述结论可归纳为“和定积最大,积定和最小”.
2.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:
一正——各项均为正数;
二定——和或积为定值;
三相等——等号成立的条件.
2 | 基本不等式与最值
已知a,b为正实数,则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时,等号成立),其中 称为平方平均数, 称为调和平均数.
3 | 基本不等式链
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. ( )
提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正数
(特殊时可取0)时成立.
2.若x>0,则y=x+ 的最小值是4. ( √ )
提示:因为x>0,所以y=x+ ≥2 =2 =4(当且仅当x=2时,等号成立).
3.y=x+ 的最小值为2. ( )
提示:当x>0时,y=x+ 的最小值为2.
4.6和8的几何平均数为2 . ( )
5.一个矩形的对角线长为10,则矩形的面积最大为60. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
提示:设矩形的长和宽分别为x,y,则x2+y2=100.于是矩形的面积S=xy≤ =50,
当且仅当x=y=5 时,等号成立.故矩形的面积最大为50.
1 | 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法
利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,并保证等号成立.常见的方法技巧如下:
(1)拆(裂项、拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件.
(2)并(分组并项):分组后各组可以单独应用基本不等式或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
(4)换(常值代换、变量代换):对条件变形,以进行代换,从而构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
(3)配(配式配系数,凑出定值):根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
利用基本不等式求最值的注意事项
1.函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用基本不等式,在同负时可以先进行转化,再运用基本不等式;
2.函数式中含变量的各项的和或积必须是常数;
3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图象找出最大(小)值.
函数y=x+ (a>0)的大致图象如图.
(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨
(1)采用常值代换的方法求解,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;
(2)变量代换,将y用x表示出来,计算xy,利用基本不等式求解.
解析 (1)解法一:x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当
即 时,等号成立.
故x+y的最小值为a+b+2 .
解法二:由 + =1得x= ,
∴x+y= +y= +y
=a+ +y= +(y-b)+a+b.
∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0.
∴x+y≥2 +a+b,
当且仅当 即 时,等号成立.
故x+y的最小值为a+b+2 .
(2)由x+2y+xy=30,得y= (0∴xy= =
=34- .
∵x+2+ ≥2 =16,
当且仅当x+2= ,即x=6时,等号成立,
∴xy≤34-16=18.故xy的最大值为18.
2 | 基本不等式的实际应用
解实际应用题时应注意:
(1)根据实际问题抽象出函数关系式,再利用基本不等式求函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.
某果农种植一种水果,每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场,计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现,该水果年产量t(万千克)与用于改良品种的资金投入x(万元)之间的关系大致为t=3- (x≥0,m为常数),若不改良品种,则年产量为1万千克.该水果最初售价为每千克 元,改良品种后,售价每千克提高 元.假设产量和价格不受其他因素的影响.
(1)设该果农种植该水果所获得的年利润为y(万元),试求y(万元)关于资金投入x(万元)的函数关系式,并求投入2万元改良品种时的年利润;
(2)该果农一年内投入多少万元用于改良品种,才能使得年利润最大 最大年利润
为多少
思路点拨
(1)求出销售额与x的函数关系式,进而求出年利润与x的函数关系式,将x=2代入,求
得结果;
(2)对(1)中式子进行变形,利用基本不等式求解.
解析 (1)由已知得3- =1,解得m=2,
所以t=3- (x≥0).
设改良品种后的销售额为w万元,
则w= × = + - .
所以y= + - -4-x= - - (x≥0).
当x=2时,y= - - = ,
即投入2万元改良品种时的年利润为 万元.
(2)因为x≥0,
所以x+1≥1,
所以y= - - =10- ≤10-2 =7,
当且仅当 = (x≥0),即x=5时,等号成立,
所以该果农一年内投入5万元用于改良品种,才能使年利润最大,最大年利润为7
万元.(共16张PPT)
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,并会求解一元二次不等式.
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与① x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
1 | 二次函数的零点
1.只含有② 一 个未知数,并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.
3.不等式所有解的集合称为不等式的解集.
2 | 一元二次不等式及其解集
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根x1,2= 有两个相等的实
数根x1=x2=-
没有实数根
一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+c>0 ③ (-∞,x1)∪(x2,+∞) ④ ∪
⑤ R
ax2+bx+c<0 ⑥ (x1,x2) ⑦ ⑧
二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集(即三个“二次”)之间的关系(其中a,b,c为常数,a>0):
3 | 三个“二次”间的关系
1.mx2+5x>0一定是一元二次不等式. ( )
提示:m=0时为一元一次不等式.
2.若不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2),则a>0. ( √ )
3.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是函数图象与x轴的交点. ( )
提示:函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标.
4.若ax2+bx+c<0的解集是(x1,x2),则x1,x2一定是ax2+bx+c=0的两根. ( √ )
5.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集一定为R.
( )
提示:如a=-1,b=-1,c=-2,方程-x2-x-2=0无实数根,但是不等式-x2-x-2>0,即x2+x+2<0的
解集为空集.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
6.某商品在最近30天内的价格y1(单位:元)与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(030,t∈N);销售量y2(单位:件)与时间t(单位:天)的关系式是y2=-t+35(0( √ )
提示:易得z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)(-t+35)≥500,即(t-10)(t-15)≤0,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
1 | 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论
熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形如
ax2+bx+c>0(a>0)的不等式在各种情况下的解集的形式.
解含参数的“一元二次不等式”时,一般需对参数进行分类讨论,何时进行讨论,如何分类是解这类题的难点.根据运算的需要分以下几种情况:
(1)关于不等式类型的讨论.当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)关于不等式对应方程根的个数的讨论.当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论.
设m∈R,解关于x的不等式m2x2+2mx-3<0.
解析 (1)当m=0时,-3<0,不等式成立,故原不等式的解集为R.
(2)当m≠0时,m2>0,原不等式可化为 <0.
①当m>0时, >- ,原不等式的解集为 x - ②当m<0时,- > ,原不等式的解集为 x 综上,当m=0时,原不等式的解集为R;
当m>0时,原不等式的解集为 ;
当m<0时,原不等式的解集为 .
2 | 一元二次不等式的恒(能)成立问题
1.求与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题,可通过求二次函数的最值,或通过
分离参数,再求最值解决.解决恒成立问题一定要弄清自变量和参数,一般地,已知
范围的是变量,求解范围的是参数.对于一元二次不等式的恒成立问题,恒大于0就
是相应的二次函数的图象在给定的自变量范围内全部在x轴上方,恒小于0就是相
应的二次函数的图象在给定的自变量范围内全部在x轴下方.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)对于一切x∈R恒成立的条件是
一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)对于一切x∈R恒成立的条件是
(1)对于任意实数x,y=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是 (-4,4) ;
(2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,则实数m的取值范围是
.
思路点拨
(1)y=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,即函数为一元二次函数,其图象开口向上,且和x轴
无交点;
(2)根据图象知区间[m,m+1]两端点对应的函数值均小于0.
解析 (1)由题意可得
解得-4(2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图),
对任意x∈[m,m+1],都有y<0,
则有 解得-
3 | 分式不等式和高次不等式的解法
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为标准形式的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式(f(x),
g(x)为整式且g(x)不为0).
2.简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数大于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种:
(1)将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘法.根据实数运算的符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集.
(2)数轴标根法:
①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式或二次不可约因式的乘积
(因式中x的系数为正);
②求出各因式等于0时的实数根,并在数轴上标出;
③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根既穿又过,
遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”);
④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
解下列不等式:
(1) <1-a(a∈R);
(2) >0.
思路点拨
(1)移项、合并化为 <0(a∈R),再化为(ax+1-a)(x-1)<0,对a进行分类讨论求解;
(2)将不等式变形为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0,求出各因式为0时x的值,利用数轴标根法求解.
解析 (1)原不等式可化为 -(1-a)<0(a∈R),即 <0(a∈R),即(ax+1-a)(x-1)
<0.
①当a>0时,不等式化为 (x-1)<0.
因为 <1,所以不等式的解集为 .
②当a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
③当a<0时,不等式化为 (x-1)>0.
因为 >1,所以不等式的解集为 .
综上,当a>0时,原不等式的解集为 ;
当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};
当a<0时,原不等式的解集为 x x> 或x<1 .
(2)原不等式可以转化为(x-2)3(x-1)(x+3)2>0.
各因式为0时的根为2,1,-3.
结合数轴可得,原不等式的解集为{x|x>2或x<1且x≠-3}.