(共18张PPT)
1.能用集合语言和对应关系刻画函数,理解并掌握函数的概念.
2.会求一些简单函数的定义域和值域.
3.理解并掌握函数图象的概念,会用描点法画出简单函数的图象.
4.养成用运动变化的观点、函数的眼光去认识世界的思维习惯.
5.1 函数的概念和图象
1.一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的
① 每一个 实数x,在集合B中都有② 唯一 的实数y和它对应,那么就称f:A→
B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自变量,集合A叫作
函数的定义域.
若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之
对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
注意:“y=f(x)”中的f(x)表示x对应的输出值,而不是f乘x.
2.函数的三要素
构成函数的三要素:③ 定义域 、④ 对应关系 、⑤ 值域 .
1 | 函数的概念
如果两个函数的对应关系相同,⑥ 定义域 相同,那么这两个函数就是同一个函数.
2 | 同一个函数
3 | 函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
1.任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( )
2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ )
3.函数的定义域和值域一定是无限集. ( )
提示:定义域和值域可以是有限集,例如f(x)=0,值域是{0}.
4.在函数的概念中,集合B就是函数的值域. ( )
提示:值域应该是{y|y=f(x),x∈A},事实上,{y|y=f(x),x∈A} B.
5.根据函数的概念,定义域中可以有两个不同的x对应值域中的同一个y. ( √ )
6.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
提示:函数f(x)= (x≠0)的图象在其定义域上不是连续不断的曲线.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 如何求函数的定义域
1.已知函数解析式求定义域
(1)如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实数集R.
(2)如果函数解析式仅含分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果函数解析式仅含偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集).
(5)由实际背景确定的函数,其定义域不仅要考虑解析式有意义,还要考虑自变量的实际意义的制约.
2.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
③函数f(t), f(φ(x)), f(h(x))中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(2)抽象函数定义域的求解方法:
①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的
取值范围.
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为B,
求φ(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域.
③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围
为C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就
是f(g(x))的定义域.
(1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
(3)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x-1)的定义域.
思路点拨
根据抽象函数定义域的实质列关系式求解.
解析 (1)因为f(x)的定义域为[0,2],
所以y=f(x+1)中的x满足0≤x+1≤2,
解得-1≤x≤1,故y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)因为y=f(x+1)的定义域为[0,2],
所以x满足0≤x≤2,所以1≤x+1≤3,
故f(x)的定义域为[1,3].
(3)设t=x+1,结合(2)可得函数y=f(t)的定义域为[1,3],所以1≤x-1≤3,解得2≤x≤4.
所以函数y=f(x-1)的定义域为[2,4].
方法技巧 解决抽象函数定义域问题的重要原则是相同的对应关系所作用对象
的范围是一致的.例如(3)中函数y=f(x+1)的定义域为[0,2]是指自变量x的取值范
围,而不是指x+1这个式子的范围.
2 | 如何求函数的值和值域
1.求函数值的方法
(1)已知函数f(x)的解析式时,只需用常数a替换解析式中的x并进行计算,即得f(a)的值.
(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值,应遵循由内到外的原则.
注意:用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义.
2.已知函数值求自变量的对应值的方法
(1)已知函数f(x)的解析式时,列方程f(x)=a,解出其中的x,即可得到函数值为a时x的值.
(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(x))=a中的x的值,可以由内到外,也可由外到内进行求解.
求函数值域的常用方法
1.直接法:利用常见函数的值域来求.
一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域为R,值域为R.
反比例函数f(x)= (k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R.当a>0时,值域为 ;当a<0
时,值域为 .
2.配方法:转化为二次函数,利用二次函数图象的特征来求值域,常转化为形如f(x)
=ax2+bx+c,x∈(m,n)(a≠0)的函数.
3.分离常数法:形如y= (ac≠0,ad≠bc)的函数常用分离常数法求值域,转化过
程为y= = + ,其值域是 .
4.换元法:通过适当换元,将复杂的函数化为简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.
5.基本不等式法:转化成形如f(x)=x+ (k>0)的函数,利用基本不等式来求值域.
6.数形结合法:画出函数的图象,利用数形结合的方法来求值域.
7.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数的范围,常用于一些“分式”函数、“无理”函数等,使用此法时要特别注意自变量的取值范围.
已知函数f(x)=11+x(x∈R),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
(2)求f(g(3))的值;
(3)若f(g(x))=14,求x的值.
思路点拨
(1)(2)分别将自变量的值代入解析式中求解即可;
(3)可以由外到内求解,也可以由内到外求解.
解析 (1)f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6.
(2)g(3)=32+2=11,
∴f(g(3))=f(11)=11+11=22.
(3)解法一:∵f(g(x))=14,
∴11+g(x)=14,解得g(x)=3,
∴x2+2=3,解得x=±1.
解法二:∵f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2,
∴13+x2=14,
∴x2=1,解得x=±1.
求下列函数的值域.
(1)y=3x2-5,x∈[-2,3];
(2)y=x-2+ ;
(3)y= ;
(4)y= .
思路点拨
(1)结合二次函数的图象即可求出值域;
(2)换元法,设 =t,则x=3-t2,且t≥0,将原函数转化为关于t的二次函数,进而可求
出值域;
(3)先分离常数,然后利用二次函数及反比例函数的知识求出值域;
(4)函数的分子、分母都是关于x的二次式,且分母大于0恒成立,因而可考虑将原
函数转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域.
解析 (1)根据函数y=3x2-5,x∈[-2,3]的图象(图略)知,当x∈[-2,0]时,y随x的增大而
减小;当x∈[0,3]时,y随x的增大而增大,
∴当x=0时,ymin=-5;当x=3时,ymax=22.
∴函数y=3x2-5,x∈[-2,3]的值域是[-5,22].
(2)设 =t,则x=3-t2,且t≥0.
原函数可化为y=3-t2-2+t=-t2+t+1=- + .由t≥0,得y≤ .
∴函数y=x-2+ 的值域为 .
(3)易得函数的定义域为R,y= =2+ .
∵x2+x+1= + ≥ ,
∴0< ≤ ,∴2<2+ ≤ .
∴函数y= 的值域为 .
(4)∵x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立,
∴原式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,
即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0.(*)
当y=2时,(*)式不成立;
当y≠2时,(*)式为关于x的一元二次方程,
∵x∈R,∴Δ≥0,即4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≥0,
∴2y2+5y-18≤0,解得- ≤y≤2.
∵y≠2,∴- ≤y<2.
综上,函数y= 的值域为 .(共14张PPT)
1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择适当方法表示函数.
2.掌握求函数解析式的常用方法.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
5.2 函数的表示方法
1.列表法:用① 列表 来表示两个变量之间函数关系的方法.
2.解析法:用② 等式 来表示两个变量之间函数关系的方法,这个等式通常叫作
函数的解析表达式,简称解析式.
3.图象法:用③ 图象 表示两个变量之间函数关系的方法.
1 | 函数的三种表示方法
在定义域内不同部分上,有不同的④ 解析表达式 .像这样的函数,通常叫作分
段函数.
分段是对于定义域而言的,是将定义域分成几段,各段上的解析式不一样,分段函
数是一个函数,而不是几个函数.
2 | 分段函数
1.解析法可以表示任意的函数. ( )
2.列表法表示y=f(x),y对应的那一行数字可能出现相同的情况. ( √ )
3.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( )
提示:并集应该是函数的定义域.
4.在平面直角坐标系内,一个图形就是一个函数图象. ( )
提示:比如圆,不是一个函数的图象.
5.任何一个函数都可以用列表法表示. ( )
提示:比如函数f(x)= 无法用列表法表示.
6.函数f(x)= 是分段函数. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 求函数的解析式
1.函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤:
(1)设出含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函数解析式设为f(x)= (k≠0);二次函数解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理.
2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
(1)换元法:
已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
(2)配凑法:
把所给函数的解析式通过配方、凑项等方法,使之变形为关于“自变量”的函数解析式,然后用x代替“自变量”,即得所求函数解析式,这里的“自变量”可以是多项式、分式、根式等.
(3)消元法(方程组法):
已知f(x)与f 或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方程组,通过消元求出 f(x).
(4)赋值法:
依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一般规律求出函数解析式.
(1)已知f(x)是二次函数,且f(x-2)=2x2-9x+13,求f(x)的解析式;
(2)已知f(1+ )=x+2 ,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)+3f(-x)=2x+1,求f(x)的解析式;
(4)设f(x)是定义在N*上的函数,满足f(1)=1,对于任意正整数x,y,均有f(x)+f(y)=f(x+y)
-xy,求f(x)的解析式.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x-2)=a(x-2)2+b(x-2)+c=ax2+(b-4a)x+(4a-2b+c).
因为f(x-2)=2x2-9x+13,
所以由系数相等得 解得
故f(x)=2x2-x+3.
(2)解法一(换元法):令1+ =t(t≥1),
则 =t-1,x=(t-1)2,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
解法二(配凑法):x+2 =( )2+2 +1-1=( +1)2-1,所以f(1+ )=( +1)2-1.
又1+ ≥1,所以f(x)=x2-1(x≥1).
(3)由题意知f(x)+3f(-x)=2x+1,①
把①中的x换成-x得f(-x)+3f(x)=-2x+1,②
由①②解得f(x)=-x+ .
(4)设y=1,由f(1)=1, f(x)+f(y)=f(x+y)-xy,
得f(x)+1=f(x+1)-x,即f(x+1)-f(x)=x+1.
令x分别为1,2,3,…,t-1,得
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,
f(4)-f(3)=4,
……
f(t)-f(t-1)=t,
左右分别相加得f(t)-f(1)=2+3+4+…+t,
所以f(t)=1+2+3+…+t= = t2+ t,
所以f(x)= x2+ x(x∈N*).
2 | 分段函数问题
对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.
(3)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
分段函数的求值策略
(1)已知自变量的值求函数值:先看自变量的值的范围,再代入相应解析式求值.
(2)已知函数值求自变量的值:注意分类讨论思想的运用,注意自变量的取值范围.
已知函数f(x)= 若对任意实数b,总存在实数x0,使得f(x0)=b,则实数a的取值范围是 [-5,4] .
思路点拨
作出函数y=x+4,y=x2-2x的图象,由题意得函数f(x)的值域为R,根据函数y=x2-2x的最小值对a分a≤1和a>1两种情况进行讨论,进而得到实数a的取值范围.
解析 作出函数y=x+4,y=x2-2x的图象如图所示.
由题意得函数f(x)= 的值域为R.
当a≤1时,结合图象可知a+4≥-1,解得a≥-5,所以-5≤a≤1;
当a>1时,结合图象可知a+4≥a2-2a,解得-1≤a≤4,所以1
综上所述,实数a的取值范围是[-5,4].(共19张PPT)
1.从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函数图象理解和研究函数的
性质.
2.初步掌握利用函数图象和单调性概念判断、证明函数单调性的方法.
3.理解函数的最大(小)值的概念,会利用函数图象和单调性求函数的最大(小)值.
5.3 函数的单调性
1.函数单调性的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,
当x1区间(如图1);如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1f(x2) ,
那么称y=f(x)在区间I上是减函数,I称为y=f(x)的减区间(如图2).
1 | 函数的单调性
2.函数的单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单
调性.增区间和减区间统称为单调区间.
一般地,设y=f(x)的定义域为A.
如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有③ f(x)≤f(x0) ,那么称f(x0)为y=f(x)的
最大值,记为ymax=f(x0);如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有④ f(x)≥f(x0) ,
那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
2 | 函数的最值
1.增函数一定有最大值. ( )
2.若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).( √ )
3.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)4.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
( )
提示:如f(x)= 如图,
由图可知f(x)在区间(1,3)上不是增函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是
f(b). ( √ )
提示:由于函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)的最小值是
f(a),最大值是f(b).
1 | 函数单调性的判定
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结论”进行判断.
单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数, x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0.
当x∈D时, f(x)是减函数, x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
2.图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.
3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得出.
4.利用常见结论.在公共定义域内,
(1)增函数+增函数是增函数;
(2)减函数+减函数是减函数;
(3)增函数-减函数是增函数;
(4)减函数-增函数是减函数.
复合函数单调性的判定
复合函数单调性的判断依据如下:
(1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函数;
(2)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为减函数.
列表如下:
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)
=1,且当x>1时, f(x)>0.
(1)求f 的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明.
思路点拨
(1)抽象函数问题解决的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决;
(2)利用定义判断函数的单调性.
解析 (1)∵对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,
∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0.
当x=2,y= 时,有f =f(2)+f ,即f(2)+f =0,
又f(2)=1,∴f =-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:
设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1∵01,
∴f >0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
2 | 函数单调性的应用
利用函数的单调性解不等式
1.利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念,将符号“f ”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
2.解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:
(1)将不等式化为f(x1)(2)若函数f(x)是D上的增函数,则x1,x2∈D,且x1x2.
利用函数的单调性求参数的取值范围的方法
1.利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x10)恒成立求参数的取值范围.
2.利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的关系式,解关系式求参数的取值范围.
注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意非空子集上也是单调的.
根据分段函数的单调性求参数时,一般从两方面考虑:一方面,每个分段区间上的函数具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面,要考虑分界点处函数值之间的大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,A(0,2),B(2,-2)是其函数图象上的两点,则
不等式|f(x-1)|>2的解集为( D )
A.(1,3)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
思路点拨
由题意可得f(0)=2,f(2)=-2,从而得出f(x)在R上为减函数,再根据不等式|f(x-1)|>2得
出f(x-1)>f(0)或f(x-1)2,进而得出不等式的解集.
解析 由题意得f(0)=2,f(2)=-2.
因为函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,
所以f(x)在R上为减函数.
由|f(x-1)|>2,得f(x-1)>2或f(x-1)<-2,
所以f(x-1)>f(0)或f(x-1)所以x-1<0或x-1>2,解得x<1或x>3.
所以不等式|f(x-1)|>2的解集为(-∞,1)∪(3,+∞).
已知函数f(x)= 对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不
等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是 ( C )
A.[3,+∞) B.[0,3]
C.[3,4] D.[2,4]
思路点拨
由题意得f(x)在R上为单调递增函数.结合分段函数判断单调性的方法,讨论每段函数满足增函数时的条件及两段函数在分界点处函数值的关系,列关系式求解.
解析 因为对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成
立,所以f(x)在R上为单调递增函数.
y=|x2-2x-3|的图象如图所示:
因为f(x)在R上为单调递增函数,所以a≥3.
当x0.
在x=a处,需满足a2-2a-3≥a2-11,解得a≤4.
综上,3≤a≤4.
3 | 求二次函数最值的常见类型及解法
1.求二次函数的最大(小)值有两种类型:一是函数定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大(小)值;二是函数定义域为某一区间,这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定,而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,需要进行分类讨论.
2.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况:
(1)若- 在区间[m,n]内,则最小值为f ,最大值为f(m),f(n)中较大者;
(2)若- (3)若- >n,则f(x)在区间[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n).
已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最小值.
解析 易知f(x)图象的对称轴为直线x=1.
当t+2≤1,即t≤-1时,f(x)在[t,t+2]上为减函数,
∴f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3;
当t<1当t≥1时,f(x)在[t,t+2]上为增函数,∴f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
综上, f(x)min= (共21张PPT)
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.会判断函数的奇偶性,能证明一些简单函数的奇偶性.
3.学会运用函数图象理解和研究函数的一些性质.
5.4 函数的奇偶性
1 | 函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且① f(-x)=f(x) ,那么称函数y=f(x)是偶函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且② f(-x)=-f(x) ,那么称函数y=f(x)是奇函数
定义域 特征 关于原点对称
如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们称函数f(x)具有奇偶性.
如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象关于③ 原点 对称,反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,那么这个函数的图象关于④ y轴 对称,反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
2 | 奇函数、偶函数的图象特征
1.奇函数的图象一定过原点. ( )
2.偶函数的图象不一定与y轴相交. ( √ )
3.所有函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.( )
提示:所有定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.
4.有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数. ( )
提示:既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为f(x)=0,但是定义域可以有无数个,
如[-1,1],[-2,2]等.
5.若f(x)的定义域为R且满足f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( )
提示:如图, f(x)的定义域为R,其中f(-1)=f(1)=0,满足题意,但是f(x)不是偶函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
6.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( )
提示:例如函数f(x)=x2-2x,x∈R,其定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是
偶函数.
7.函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称. ( )
1 | 如何判断函数的奇偶性
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
2.奇、偶函数运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:上述表格中不考虑f(x)=±g(x)=0的情况;在f(g(x))中,需x∈G,g(x)∈F.
分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是先在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,并进行双向验证.若函数在x=0处有定义,则还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判定每一段上都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合对称性判断.
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=(x-1) ;
(3)f(x)=
思路点拨
先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.
解析 (1)由 得-2≤x≤2,且x≠0,
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
易得x+3>0,∴f(x)= = ,
又f(-x)= =- =-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)由1-x2>0,得-1∴f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
易得x+1>0,x-1<0,
∴f(x)=(x-1) =(x-1) =- .
∵对于定义域中的任意一个x,f(-x)=- =- =f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)易知函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,
则f(-x)= =- =f(x).
综上,函数f(x)为偶函数.
2 | 函数奇偶性的应用
由函数的奇偶性求参数的值
1.(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性概念的正用和逆用.
(2)利用常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)具有奇偶性的条件可求得参数.
2.常见策略:
(1)若定义域含有参数,则利用奇函数和偶函数的定义域关于原点对称,即区间的左端点值与右端点值的和为0求参数.
(2)一般化策略:利用f(-x)与f(x)的关系列关系式确定参数的值.
(3)特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关
系列方程(组)求参数,不过这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足
条件,不满足的要舍去.
根据函数的奇偶性求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数不具有奇偶性,一般先利用所给的
函数构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.
利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1)求哪个区间上的解析式,x就设在哪个区间.
(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间上的解析式代入求解.
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为 1 ;
(2)若f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值为 6 ;
(3)如果f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时, f(x)=x(1+ ),那么当x∈(-∞,0)时
,f(x)= x(1- ) .
思路点拨
(1)思路一:利用函数f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x)求出m的值;思路二:由偶函数的图象关于原点对称求出m的值;
(2)构造函数g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数,再结合f(-2)=10依次求出g(-2),g(2),进而求出f(2)的值;
(3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),结合f(-x)=-f(x)求出f(x)在(-∞,0)上的解析式.
解析 (1)解法一:∵f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-2)·
(-x)2+(m-1)·(-x)+3=(m-2)x2+(m-1)x+3恒成立,
∴(m-1)x=0恒成立,∴m-1=0,即m=1.
解法二:若m=2,则f(x)=x+3,不是偶函数,舍去.
若m≠2,则f(x)图象的对称轴为直线x=- .∵f(x)为偶函数,∴- =0,
∴m=1.
(2)设g(x)=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)+8.∴f(-2)=g(-2)+8=10,∴g(-2)=2.
易知g(x)是奇函数,∴g(2)=-g(-2)=-2,∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6.
(3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
∴f(-x)=-x(1+ )=-x(1- ).
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x(1- ),x∈(-∞,0).
3 | 函数奇偶性与单调性的综合应用
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间
上的单调性相反.
2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;
(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
3.在比较大小问题中,若两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区
间上,即正负不统一,则先利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上,
再根据函数的单调性比较函数值的大小.
4.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f
(x1)的影响.
定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有( B )
A.f(-n)B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)思路点拨
根据已知条件判断函数的单调性,再利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判
断即可.
解析 ∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1);若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x21,则f(x2)∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数, f(-n)=f(n).∵n∈N*,∴n+1>n>n-1≥0,∴f(n
+1)已知函数f(x)= 是定义在(-2,2)上的奇函数.
(1)确定f(x)的解析式;
(2)用定义证明:f(x)在区间(-2,2)上是减函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
思路点拨
(1)根据函数f(x)是奇函数,即-f(x)=f(-x)求出m的值,进而得到f(x)的解析式;
(2)利用减函数的定义证明即可;
(3)根据奇函数的性质将f(t-1)+f(t)<0转化为f(t-1)“f”,列出关于t的不等式组求解即可.
解析 (1)因为f(x)= ,所以f(-x)= .
因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以-f(x)=f(-x),即- = ,解得m=0,
所以f(x)= ,x∈(-2,2).
(2)证明:设x1,x2为区间(-2,2)上的任意两个值,且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)= - = = =
.
易得 -4<0, -4<0,x1x2+4>0,x2-x1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在区间(-2,2)上是减函数.
(3)因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以f(t-1)+f(t)<0,即f(t-1)<-f(t),亦即f(t-1)又由(2)得f(x)在区间(-2,2)上是减函数,
所以 解得 所以不等式f(t-1)+f(t)<0的解集为 .