(共14张PPT)
1.通过具体实例,结合y=x,y= ,y=x2,y= ,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂
函数.
2.了解几个常见的幂函数的性质,会应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.
6.1 幂函数
一般地,我们把形如① y=xα 的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
1 | 幂函数的概念
1.在同一平面直角坐标系内,函数(1)y=x;(2)y= ;(3)y=x2;(4)y=x-1;(5)y=x3的图象如
图所示.
2 | 常见幂函数的图象与性质
2.常见幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性 单调性
y=x R R 奇 增
y=x2 R ② [0,+∞) 偶 在[0,+∞)上增,
在(-∞,0)上减
y=x3 R R 奇 增
y= [0,+∞) ③ [0,+∞) 非奇非偶 增
y=x-1 ④ {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 在(0,+∞)上减,
在(-∞,0)上减
对于幂函数y=xα(α为常数)有以下结论:
(1)当α>0时,函数y=xα的图象都过点⑤ (0,0) 和⑥ (1,1) ,在第一象限内,函数
的图象随x的增大而上升,函数在[0,+∞)上是⑦ 增函数 .
(2)当α<0时,函数y=xα的图象都过点⑧ (1,1) ,在第一象限内,函数的图象随x的
增大而下降,函数在区间[0,+∞)上是⑨ 减函数 .
3 | 一般幂函数的图象与性质
1.y=- 是幂函数. ( )
2.当x∈(0,1)时,x2>x3. ( √ )
3.幂函数y=x2的图象经过点(1,-1). ( )
4.当α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. ( )
5.y= 与y= 的定义域相同. ( )
6.若y=xα在(0,+∞)上为增函数,则α>0. ( √ )
7.当0
提示:画出y= 和y=x2在(0,1)上的图象(图略),可知y= 的图象在y=x2图象的上方.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 如何把握幂函数的图象
解决幂函数图象问题应把握以下两点:
(1)根据幂函数在第一象限内的图象确定幂指数α与0,1的大小关系.
(2)依据图象高低判断幂指数的大小,相关结论如下:
①在x∈(0,1)上,幂指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);
②在x∈(1,+∞)上,幂指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,则当x为何值时,
(1)f(x)>g(x)
(2)f(x)=g(x)
(3)f(x)思路点拨
先由点在图象上确定幂函数的解析式,再由解析式得到大致图象,利用图象解决
问题.
解析 设f(x)=xα,因为点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,所以将点( ,2)代入f(x)=xα
中,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2.同理,可求得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.
观察图象可得:
(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).
(2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).
(3)当-12 | 幂函数单调性的应用
幂函数单调性的应用主要体现在以下两个方面:
1.利用幂函数的单调性比较大小,其方法如下:
(1)直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较;
(2)转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同的幂指数,再运用单调性比较大小;
(3)中间量法:当底数不同且幂指数也不同时,不能运用单调性比较大小,可选取适
当的中间值,从而达到比较大小的目的.
2.利用幂函数的单调性解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大
小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:
(1)确定可以利用的幂函数;
(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系
求解.
比较下列各组数据的大小:
(1)1. ,1. ,1;
(2) , ,1. ;
(3)(-0.31 ,0.3 ;
(4)4. ,3. ,(-1.9 .
思路点拨
利用相应幂函数的单调性比较大小.
解析 (1)因为函数y= 在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1. >1. >1.
(2) = , = ,1. =(1.12 =1.2 .
因为函数y= 在(0,+∞)上单调递减,且 < <1.21,
所以 > >1.2 ,即 > >1. .
(3)因为y= 为R上的偶函数,
所以(-0.31 =0.3 .
又函数y= 在[0,+∞)上单调递增,且0.31<0.35,所以0.3 <0.3 ,即(-0.31 <0.3 .
(4)(-1.9 =1. ,3. = .
因为函数y= 在(0,+∞)上单调递增,且4.1>1.9> ,所以4. >1. > ,
即4. >(-1.9 >3. .
方法技巧 比较底数不同且幂指数也不同的两个数的大小时,要注意中间量的选
取原则:(1)能与已知数中任意一个数比较大小;(2)中间量介于两个数之间.
已知幂函数y=f(x)的图象经过点 .
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并写出该函数的单调区间;
(3)解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x-4)>0.
解析 (1)设f(x)=xα.
由题意,得f(2)=2α= ,解得α=-3.
故函数的解析式为f(x)=x-3.
(2)f(x)=x-3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
所以函数f(x)=x-3为奇函数.
单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),无单调增区间.
(3)结合(2)得f(3x+2)>-f(2x-4)=f(4-2x).
所以 或 或 解得- 2.
故原不等式的解集为 .(共35张PPT)
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并了解对数函数的性质.
3.知道指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.
4.能利用对数函数解决一些简单的实际问题.
6.3 对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数① y=logax(a>0,a≠1) 叫作对数函数,它的定义域是② (0,+∞) .
2.两种特殊的对数函数
以10为底的对数函数y=lg x叫作常用对数函数,以e为底的对数函数y=ln x叫作自
然对数函数.
1 | 对数函数的概念
1.对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象与性质
2 | 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域:③ (0,+∞)
值域:④ R
图象过定点⑤ (1,0)
在(0,+∞)上是⑥ 增函数 ; 当01时,y>0 在(0,+∞)上是⑦ 减函数 ;
当00;当x>1时,y<0
2.常见结论
底数a对对数函数图象的影响.
(1)a与1的大小关系决定了图象的“升”与“降”.
(i)当a>1时,对数函数的图象从左到右是“上升”的,且当0方;当x>1时,图象在x轴上方.
(ii)当0上方;当x>1时,图象在x轴下方.
(2)a的大小决定了图象相对位置的高低.
(i)无论是a>1还是0渐变大.
(ii)上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图象越靠近x轴;当0图象越靠近x轴.
(iii)左右比较:比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的
底数越大.
1.当a>0,a≠1时,⑧ y=logax 称为y=ax的反函数.反之,y=ax也称为y=logax的反函数.
一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f -1(x).
2.(1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.它们的定义域和值域正好互换.
(2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.
3 | 反函数
1.平移变换(a>0,a≠1)
(1)左右平移:已知y=logax的图象,把y=logax的图象向⑨ 左 平移b(b>0)个单位长度,得到y=loga(x+b)的图象;把y=logax的图象向右平移b(b>0)个单位长度,得到y=loga(x-b)的图象.
(2)上下平移:已知y=logax的图象,把y=logax的图象向上平移c(c>0)个单位长度,得到y=
logax+c的图象;把y=logax的图象向下平移c(c>0)个单位长度,得到y=logax-c的图象. 简记为“左加右减,上加下减”.
4 | 对数函数图象的变换
2.对称变换(a>0,a≠1)
(1)y=logax的图象与y=-logax(即y=lo x)的图象关于x轴对称;
(2)y=logax的图象与y=loga(-x)的图象关于y轴对称;
(3)y=logax的图象与y=-loga(-x)的图象关于原点对称.
1.函数y=log2(x+2)的定义域是[-2,+∞). ( )
提示:由题意得x+2>0,解得x>-2,所以函数的定义域为(-2,+∞).
2.lo 1.1>lo 1.2. ( √ )
提示:因为对数函数y=lo x在(0,+∞)上是减函数,1.1<1.2,所以lo 1.1>
lo 1.2.
3.函数y=log2(x+2)-1的图象恒过定点(-1,-1). ( √ )
提示:函数y=log2(x+2)的图象恒过点(-1,0),将点(-1,0)向下平移1个单位长度得到的
点的坐标为(-1,-1),故正确.
4.函数y=|lg x|是偶函数. ( )
提示:函数y=|lg x|既不是奇函数又不是偶函数.
5.函数y=ln 的图象可由y=ln x的图象平移得到.( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
提示:函数y=ln =ln x-1的图象可由y=ln x的图象向下平移1个单位长度得到.
6.函数y=lo (x2+1)在定义域R上没有单调递增区间. ( )
7.函数f(x)=lo 既不是奇函数又不是偶函数. ( )
提示:函数f(x)=lo 的定义域是(-1,1),关于原点对称,且f(-x)+f(x)=lo
=lo 1=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
8.声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足f(x)=10×lg . 喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140 dB;一般说话时,声音的等级约为60 dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍. ( √ )
提示:设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1,x2,则f(x1)=10×
lg =140,即x1=102,f(x2)=10×lg =60,即x2=10-6,所以 =108.因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.
1 | 对数函数的图象及应用
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点为
(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称
设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=lo x= =-logax=-f(x),因为函数y=f(x)的图象与y=
-f(x)的图象关于x轴对称,所以函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
4.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( B )
思路点拨
可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单调性来判断.
解析 解法一:首先,y=ax的图象只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C,然后,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.
解法二:若0loga(-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件;
若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)= 若函数y=f(x)与函数y=a的图象有六个交点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围是
( A )
A. B. C.(2,4) D.
思路点拨
利用函数的奇偶性求得x<0时函数的解析式,作出函数y=f(x)和y=a在R上的图象,结合函数图象的对称性即可求解.
解析 由函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)= 得当x<0
时,f(x)=
作出函数y=f(x)与函数y=a的图象如图所示.
不妨设x1由图知,x1+x2=-8,x5+x6=8,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=x3+x4.
又易知0所以0<-log2x3<1,即 所以x3+x4=x3+ .易知y=x+ 在 上单调递减,所以x3+ ∈ .
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6∈ .
2 | 与对数函数有关的定义域、值域问题
对数型函数的定义域
求对数型函数的定义域时,要考虑真数大于0,底数大于0且不等于1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,则在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般地,求y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的定义域时,应首先保证f(x)>0.
求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、
性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,
a>0,a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,a≠1)的函数值域的步骤为①换元,令u=f(x),利用函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.
(1)函数y= 的定义域是 (-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞) ;
(2)函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是 [-2,+∞) .
解析 (1)由题意得
即
解得x<-1- 或-1- 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞).
(2)由题意得-x2+3x+4>0,解得-1所以函数的定义域为(-1,4).
设f(x)=-x2+3x+4=- + ,x∈(-1,4),
则x∈ 时,f(x)为增函数;x∈ 时,f(x)为减函数,
所以当x= 时,f(x)有最大值 ,
又f(-1)=f(4)=0,所以0因为对数函数y=log0.4x在定义域内为减函数,
所以y≥log0.4 =-2.
所以函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域为[-2,+∞).
3 | 与对数函数有关的复合函数的单调性
1.解决与对数函数有关的复合函数单调性问题的关键:一是求定义域;二是看底数是否含有参数,若有参数,则需分类讨论;三是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性.
2.与对数函数有关的复合函数一般可分为两类:
一类是y=loga f(x)(a>0,a≠1)型复合函数,当a>1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;当0另一类是y=f(logax)(a>0,a≠1)型复合函数,一般用复合函数的单调性法则判断,即令t=logax,只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.
函数f(x)=lo (-x2-2x+3)的单调减区间为 ( B )
A.(-∞,-1] B.(-3,-1]
C.[-1,1) D.[-1,+∞)
思路点拨
先求出函数f(x)的定义域,再根据复合函数的单调性可知,求f(x)=lo (-x2-2x+3)的单调减区间,即求t=-x2-2x+3在f(x)的定义域上的单调增区间,然后根据一元二次函数的单调性在f(x)的定义域内求单调增区间即可.
v
解析 由题意得-x2-2x+3>0,
解得-3所以函数f(x)=lo (-x2-2x+3)的定义域为(-3,1).
令t=-x2-2x+3,x∈(-3,1),
易知y=lo t为单调递减函数,
所以由复合函数的单调性可知f(x)的单调减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调增
区间.
易知函数t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,
所以t=-x2-2x+3的单调增区间为(-3,-1].
故函数f(x)的单调减区间为(-3,-1].
解题模板
求对数型复合函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)判断外层函数的单调性;
(3)根据复合函数“同增异减”的原则判断内层函数的单调性;
(4)求出单调区间.
已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1 如果存
在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,
∴t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.
当x∈[0,2]时, f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< .
又a>0,且a≠1,
∴实数a的取值范围是(0,1)∪ .
(2)假设存在这样的实数a.
由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat在区间[1,2]上为增函数,∴a>1,
又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),
∴ 即 无解.
故不存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
易错警示
(1)应用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据
“同增异减”的原则判断函数的单调性或利用函数的最值解决恒成立问题.
4 | 对数函数单调性的应用
利用对数函数的单调性比较对数式大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
利用对数函数的单调性解不等式
(1)形如loga f(x)>logab(a>0,且a≠1)的不等式,借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,则需分a>1与0(2)形如loga f(x)>b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=
logaab),借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
设a=log2 ,b=log3 ,c=lo ,则a,b,c的大小关系是 ( B )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>c>b D.a>b>c
思路点拨
不同底的对数比较值的大小时,可以找中间值0,1等比较.
解析 a=log2 =log23-1,b=log3 =log34-1,
c=lo =log34.
∵log23=lo 33=log827,
log34=lo 42=log916,
log827>log927>log916,
∴log23>log34,
∴log23-1>log34-1,即a>b.
∵log23∴log23-1<1.
又log34>log33=1,
∴log34>log23-1,即c>a.
∴c>a>b.
易错警示
对于底数以字母形式出现的对数的大小比较,需要对底数a进行讨论.对于不同底
的对数,可以估算范围,从而借助中间值比较大小.
已知函数f(x)=ex+x-e,若正实数a满足f <1,则a的取值范围为 ∪(1,+∞) .
思路点拨
将不等式f <1变为f 01两种情况讨论,解不等式即可.
解析 易知函数f(x)=ex+x-e在R上为增函数,且f(1)=1.
由f <1,可得f 所以loga <1=logaa.
①当0②当a>1时,由loga <1=logaa,得a> ,此时a>1.
综上,实数a的取值范围是 ∪(1,+∞).