(共20张PPT)
1.通过探究任意角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的含义.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.掌握终边相同的角的含义及表示方法,并能解决简单问题.
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
1.角的概念:一个角可以看作平面内一条射线绕着它的① 端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.
2.任意角
一条射线绕其端点按② 逆时针 方向旋转所形成的角叫作正角,按③ 顺时针 方向旋转所形成的角叫作负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,
叫作零角.零角的始边与终边④ 重合 .这样就把角的概念推广到了任意角,包括
正角、负角和零角.
1 | 任意角
3.角的加法
(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)对于两个任意角α,β,将角α的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β
是负角时,按顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边所对应的角称为α与β
的和,记作⑤ α+β .
(3)相反角:射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角α的相反角记为-α,于是有α-β=⑥ α+(-β) .
以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.这样,角的终边
(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
知识补充
(1)象限角的集合:
第一象限角的集合为{x|k·360°
第二象限角的集合为{x|k·360°+90°第三象限角的集合为{x|k·360°+180°第四象限角的集合为{x|k·360°+270°2 | 象限角和轴线角
(2)轴线角的集合:
终边落在x轴的非负半轴上角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z};
终边落在x轴上角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴上角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z};
终边落在坐标轴上角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.
一般地,与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与整数个周角的和.
3 | 终边相同的角
1.终边与始边重合的角是零角. ( )
提示:始边与终边重合的角为k·360°(k∈Z).
2.所有的锐角都为第一象限角. ( √ )
提示:锐角是大于0°且小于90°的角,其终边一定在第一象限.
3.第三象限角一定比第一象限角大. ( )
提示:200°角是第三象限角,420°角是第一象限角,但200°<420°.
4.第一象限角一定不是负角. ( )
提示:第一象限角有可能是负角.
5.若角β与角α终边相同,则β=k·360°+α,k∈Z. ( √ )
6.终边相同的角一定相等. ( )
提示:终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.例如30°角的终边与-330°角的终边相同.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 终边相同的角的求解
在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美!尤其是原地转身和空中翻转动作让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.
问题
1.他们顺时针旋转两圈半的角度α是多少
提示:顺时针旋转两圈半,即α=-(2×360°+180°)=-900°.
2.你能在0°到360°范围内写出与角α终边相同的角β吗
提示:能.β=180°.
3.把任意角化为k·360°+α(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式的关键是什么
提示:关键是确定k的值,可以用观察法(角的绝对值较小),也可以用除法.
1.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
要注意以下几点:
(1)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
(2)当角的顶点和始边相同时,终边相同的角不一定相等,相等的角的终边一定相同.
(3)终边相同的角的表示形式不唯一,如{α|α=k·360°+90°,k∈Z}与{α|α=k·360°-270°,
k∈Z}均表示终边在y轴非负半轴上的角的集合.
2.求符合某种条件且与已知角α终边相同的角的方法是先求出与已知角α终边相同
的角的一般形式α+k·360°(k∈Z),再依条件构建关系式求出k的值,进而求出符合条件的角.
已知角α=2 020°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<720°.
解析 (1)∵2 020÷360=5……220,
∴k=5,β=220°,
∴2 020°=5×360°+220°.
∵β=220°是第三象限角,
∴α为第三象限角.
(2)由(1)知α=5×360°+220°,
∴θ=k·360°+220°(k∈Z).
当k=-2时,θ=-500°,不满足题意;
当k=-1时,θ=-140°,满足题意;
当k=0时,θ=220°,满足题意;
当k=1时,θ=580°,满足题意;
当k=2时,θ=940°,不满足题意.
综上,角θ的值为-140°,220°或580°.
2 | 区域角的表示
1.(1)若所求角β的终边在某条射线上,则用集合表示为{β|β=k·360°+α,k∈Z};
(2)若所求角β的终边在某条直线上,则用集合表示为{β|β=k·180°+α,k∈Z}.
2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角,其写法可分为三步:
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界;
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α,β,写出所有与角α,β终边相同
的角;
(3)用不等式表示区域内的角,组成集合.
3.已知角α终边所在的象限,确定角 (n∈N*)的终边所在象限的常用方法:
(1)分类讨论.利用已知条件,用含k(k∈Z)的式子表示出α的范围,由此确定 的范围,
然后对k进行分类讨论,从而确定角 的终边所在的象限.
(2)几何法.先把各象限分为n等份,再从x轴的正方向的上方起,按逆时针方向依次将区域标上一、二、三、四,一、二、三、四,……则α原来是第几象限角,标号为几的区域即为角 的终边所在区域.
说明:当n≥4时,角 的终边在四个象限都有分布,研究的价值不大,一般只讨论n=2,
n=3的情形.
已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,求角β的取值范围.
解析 在x轴上方的阴影部分的角的集合A={β|k·360°+45°≤β={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}.
在x轴下方的阴影部分的角的集合B={β|k·360°+225°≤β360°+180°+45°≤β< k·360°+180°+135°,k∈Z}={β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+
135°,k∈Z}.
所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}
∪{β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={β|n·180°+45°≤βn∈Z}.
若角α是第二象限角,试确定角2α, 是第几象限角.
思路点拨
由α的范围确定2α和 的范围,从而判断角所在的象限.
解析 ∵α是第二象限角,
∴k·360°+90°<α(1)易得2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°(k∈Z),
∴2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.
(2)解法一:易得k·120°+30°< 当k=3n(n∈Z)时,n·360°+30°< 此时 是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+150°< 此时 是第二象限角;
当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+270°< 此时 是第四象限角.
综上所述, 是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
解法二:如图所示,由几何法可知,当α为第二象限角时, 的终边在标号为二的区域
内,
故 是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
易错警示
1.已知角α的终边所在的象限确定nα(n∈R)的终边所在象限时,可依据角α的范围求出nα的范围,再转化成终边相同的角,注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
2.本题容易仅想到90°<α<180°,从而得到30°< <60°,丢掉 是第二象限角或第四象限角的情况.(共12张PPT)
1.通过研究1弧度的意义理解弧度制的概念和意义,能正确进行弧度与角度的换算,
熟记特殊角的弧度数.
2.了解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,会利用公式解决简单的实际问题.
7.1.2 弧度制
1.角度制:规定周角的① 为1度的角,这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
2.弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作② 1 rad .
这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
3.角的弧度数求法:如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么l,α,r之间存在的关系是③ |α|= ,这里α的正负由角α的终边旋转方向决定.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数为0.
1 | 角度制和弧度制
注意:
(1)1弧度的角的大小与所取的圆的半径大小无关.
(2)以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字或“rad”可以省略不写,但用度
为单位表示角的大小时,度(°)一定不能省去.
1.角度与弧度的互化
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
2 | 角度制与弧度制的换算
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 ⑤ ⑥
π 2π
设扇形的半径为r,弧长为l,α(α为正角)为其圆心角,则
3 | 扇形的弧长和面积公式
度量单位 类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l=⑦
l=⑧ αr
扇形的面积 S=⑨ S= αr2=⑩ rl
1.1弧度的角与1度的角大小相等. ( )
提示:1 rad= 度.
2.用弧度表示的角都是正角. ( )
提示:弧度也可表示负角,负角的弧度数是一个负数.
3.1度的角是周角的 ,1弧度的角是周角的 . ( √ )
4.无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径大小有关. ( )
提示:用角度制和弧度制度量角均与圆的半径大小无关.
5.-150°化成弧度是- . ( )
提示:-150°=150× = ,- =-210°.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
6.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则扇形的面积变为原来的
2倍. ( )
提示:由S= lr得扇形的面积变为原来的4倍.
| 扇形的弧长和面积的求解
1.有关扇形的弧长l,圆心角α(0<α<2π),面积S的题目,一般是知二求一.解此类题目
的关键在于灵活运用公式l=αr,S= rl= αr2.
2.扇形周长及面积的最值问题
(1)当扇形周长一定时,扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于半径r的二次函数,但要注意r的取值范围,还要特别注意扇形的弧长l必须满足0(2)当扇形面积一定时,扇形的周长有最小值.其求法是把周长L转化为关于半径r的函数,但要注意r的取值范围.
近年来,随着我市经济的快速发展,政府对民生越来越关注.市区现有一块近似正三角形的土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场,即扇形DBE,DAG和ECF,其中 , 与 分别相切于点D,E,且 与 无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪.设BD的长为x百米,草坪面积为S万平方米.
(1)试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积,并写出x的取值范围;
(2)当x为何值时,草坪面积最大 并求出最大面积.
思路点拨
(1)根据扇形的面积公式求出相关扇形的面积,根据条件可得CF+AG(2)用三角形面积减去三个扇形面积和可得草坪面积,再利用二次函数的知识可求出最值.
解析 (1)∵BD=x百米,
∴BE=x百米,AD=AG=EC=FC=(2-x)百米.
∵△ABC为正三角形,
∴∠A=∠B=∠C= .
∴S扇形DBE= × x2= x2万平方米,
S扇形DAG= × ×(2-x)2= ×(2-x)2万平方米.
∵ 与 无重叠,
∴CF+AG1.
又∵三个扇形都在三角形内部,
∴x≤ ,∴x∈(1, ].
(2)易得S△ABC= 万平方米,
∴S阴影=S△ABC-S扇形DBE-S扇形DAG-S扇形ECF
= - ×[x2+2(2-x)2]
= - × 万平方米,
∴当x= 时,S阴影取得最大值,为 万平方米.故当x为 百米时,草坪面积最
大,最大面积为 - 万平方米.
解题模板
用弧度制求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r和扇形圆心角的弧度数α,解题时通常要根据已知条件列出方程(组),运用方程思想求解.(共20张PPT)
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的概念.
2.会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示角α的正弦、余弦、正切函数值.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
7.2.1 任意角的三角函数
7.2 三角函数概念
1.一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r,则r=① .此时,点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.我们规定:
(1)比值 叫作α的正弦,记作sin α,即sin α= ;
(2)比值 叫作α的余弦,记作cos α,即cos α= ;
(3)比值 (x≠0)叫作α的正切,记作tan α,即tan α= .
2.sin α,cos α,tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为α的三角函数.
1 | 任意角的三角函数的概念
知识拓展
(1)比值 叫作角α的余切,记作cot α;
(2)比值 叫作角α的余割,记作csc α;
(3)比值 叫作角α的正割,记作sec α.
cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
2 | 正弦、余弦、正切函数的值在各个象限的符号
1.有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.
2.如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线
PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段② MP 、③ OM 、④ AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线、
正切线,记作sin α=⑤ ,cos α= ,tan α=⑥ .
3 | 三角函数线
正弦函数y=sin x的定义域是R,余弦函数y=cos x的定义域是R,正切函数y=tan x的定义域是⑦ .
4 | 三角函数的定义域
1.任意角的三角函数值与角终边上点P的位置有关. ( )
提示:任意角的三角函数值与角终边上点P的位置无关.
2.已知点P(m,m)(m≠0)为角α终边上一点,则sin α= . ( )
提示:已知点P(m,m)(m≠0)为角α终边上一点,则sin α=± .
3.终边相同的角的三角函数值相等. ( √ )
4.若tan α>0,则α为第一、三象限角. ( √ )
5.若cos α>0,则α为第一、四象限角. ( )
提示:cos 0=1>0,零角既不是第一象限角,也不是第四象限角.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
6.若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α= . ( )
提示:若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α= .
1 | 运用三角函数的概念求值
江南水乡,水车在清澈的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水倒进水渠,流向绿
油油的田地,流向美丽的大自然.
问题
1.把水车放在坐标系中,点P为水车上一点,它转动的角度为α,水车的半径为r,你能
写出点P的坐标吗
提示:设P点坐标为(x,y),根据三角函数的概念知sin α= ,cos α= ,则P点坐标为
(rcos α,rsin α).
2.三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有关
提示:三角函数值是比值,与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有
关.
3.三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系
提示:由三角函数的概念知sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0),所以三角函数在各象
限的符号由角α终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定.
1.求解三角函数值需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横、纵
坐标及该点到原点的距离.
2.一般情况下,在默认始边与x轴非负半轴重合,顶点为原点的条件下,利用三角函
数的概念求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,则确定出该角的终边上异于原点的一点的坐标,即可求出各三角函
数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),则r= ,sin α= ,cos α= ,tan α= ;
(3)若角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
已知点P(m,-2)(m<0)为角α终边上一点,且cos α= ,求sin α和tan α.
思路点拨
根据cos α= = 及m<0得出m的值,再求sin α和tan α即可.
解析 因为P(m,-2)(m<0),
所以cos α= = ,即m2=5.
因为m<0,所以m=- .
所以sin α=- ,tan α= .
易错警示
三角函数值是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角
的终边位置有关.
2 | 三角函数值在各象限的符号
三角函数值在各象限的符号可总结为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.其
意思是说,第一象限角的三种三角函数值全是正数;第二象限角仅正弦值为正数;
第三象限角仅正切值为正数;第四象限角仅余弦值为正数.
已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求 的终边所在的象限;
(3)试判断tan sin cos 的符号.
思路点拨
(1)根据条件判断出α所在的象限,进而可写出α的集合;
(2)结合(1)求出 的范围,从而可判断 的终边所在的象限;
(3)根据 所在的象限判断tan ,sin ,cos 的正负,进而可判断tan sin cos 的符号.
解析 (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上.
由tan α>0,知α在第一、三象限.
所以角α在第三象限,
所以角α的集合为 α 2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z .
(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z,
所以kπ+ < 所以 的终边在第二、四象限.
(3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0,所以tan sin cos >0;
当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0,所以tan sin cos >0.
综上所述,tan sin cos 的符号为正号.
方法总结 已知一个角的三角函数值中任意两个的符号,可分别确定出角α终边
所在的可能位置,二者的“交集”即该角的终边位置.同时应注意终边在坐标轴
上的特殊情况.
3 | 利用三角函数线解不等式
利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求
点.一般来说,对于sin α≥b,cos α≥a(或sin α≤b,cos α≤a),只需作直线y=b,x=a与单
位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定
相应的α的范围;对于tan α≥c(或tan α≤c),取点(1,c),连接该点和原点即得角的终
边所在的位置,并反向延长,结合图形可确定相应的α的范围.
重要提示 确定区域时,可以将终边顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化,
从而确定符合条件的区域范围.
在单位圆中画出符合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥ ;
(2)cos α≤- .
解析 (1)如图1所示,作直线y= ,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB,当OA或OB
为角α的终边时,sin α= ,当α的终边落在阴影部分(包括边界)时,sin α≥ .故满
足条件的角α的集合为 α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z .
(2)如图2所示,作直线x=- ,交单位圆于C,D两点,作射线OC,OD,当OC或OD为角α
的终边时,cos α=- ,当α的终边落在阴影部分(包括边界)时,cos α≤- .故满足条件
的角α的集合为 α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z .(共12张PPT)
1.能通过三角函数的概念推导出同角三角函数的基本关系.
2.掌握同角三角函数的基本关系式.
3.能运用三角函数的基本关系式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式
证明.
7.2.2 同角三角函数关系
1 | 同角三角函数的基本关系式
平方关系式 ① sin2α+cos2α=1 该关系式可实现正弦、余弦之间的相互转化
商数关系式 ② tan α= ,α≠ +kπ,k∈Z 该关系式可实现切、弦之间的相互转化
1.sin2α+cos2α=1的变形公式:
(1)sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;
(2)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
(3)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α;
(4)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
(5)sin αcos α= = .
2.tan α= 的变形公式:
(1)sin α=cos αtan α;
(2)cos α= .
2 | 同角三角函数基本关系式的变形
1.tan 90°= . ( )
提示:易知y=tan α的定义域为 α α≠90°+k·180°,k∈Z ,所以α不能为90°.
2. =±cos 160°. ( )
提示:因为cos 160°<0,所以 =-cos 160°.
3.若α,β均为锐角,则sin2α+cos2β=1. ( )
提示:若α= ,β= ,则sin2α+cos2β= ≠1.
4.对任意角α,sin23α+cos23α=1成立. ( √ )
5.若cos α=0,则sin α=1. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 齐次式的求值问题
1.已知tan α=m,求形如 的式子的值,其方法是将分子、分母同时除以cos α(或cos2α)转化为关于tan α的代数式,再求值.如果先求出sin α和
cos α的值再代入,那么运算量会很大,问题就会变得烦琐.
2.形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换,再将分子、分母同时除以cos2α求解.
已知tan α=-4,求下列各式的值.
(1)sin2α;
(2)cos2α-sin2α;
(3)3sin αcos α;
(4) .
思路点拨
(1)(2)(3)先利用“1”的代换,再将分子、分母同除以cos2α进行求解;
(4)分子、分母同除以cos α,得到关于tan α的式子再求解.
解析 (1)sin2α= = = = .
(2)cos2α-sin2α= = = =- .
(3)3sin αcos α= = = =- .
(4) = = = .
2 | 利用同角三角函数关系进行化简或证明
1.三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目
的.
(2)对于含有根号的三角函数式,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达
到化简的目的.
(3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
2.利用同角三角函数关系证明三角恒等式的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个数或式子;
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
(4)变更命题法,如要证明 = ,可证ad=bc或证 = 等;
(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“ =1(右边≠0)”.
3.含条件的三角恒等式的证明
含条件的三角恒等式的证明方法与前面三角恒等式的证明方法相同,但应注意条件的利用,常用的方法如下:(1)直推法,从条件直接推得结论;(2)代入法,将条件代入结论中,转化为三角恒等式的证明;(3)换元法.
求证: = .
证明 证法一:因为等式右边分母为cos α,所以可将等式左边分子、分母同乘cos α.
左边= = = = =右边.故原等式成立.
证法二:因为等式左边分母是1-sin α,所以可将等式右边分子、分母同乘(1-sin α).
右边= = = = =左边.故原等式成立.
证法三:证明等式左、右两边都与某个中间结果相等.
左边= ,右边= = = ,左边=右边.
故原等式成立.
证法四:只需证明左边-右边=0即可.
因为 - = = = =0,
所以 = .
证法五:为了消去等式左、右两边的差异,在等式左边的分子上凑出1+sin α.
左边= = = = =右边.故原等式成立.
证法六:证明内项积等于外项积.
因为(1-sin α)(1+sin α)=1-sin2α=cos2α,1-sin α≠0,cos α≠0,所以 = 成立.
证法七:利用分析法逐步寻求等式成立的条件.
要证 = 成立,只需证cos αcos α=(1-sin α)(1+sin α)成立,即证cos2α=
1-sin2α成立,此式显然成立,故原等式成立.(共19张PPT)
1.能借助单位圆,推导出正弦、余弦的诱导公式.
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三
角函数求值、化简和恒等式证明问题.
3.通过公式的运用,了解从未知到已知、从复杂到简单的转化过程,提高分析问题
和解决问题的能力.
7.2.3 三角函数的诱导公式
1.三角函数的诱导公式
| 三角函数的诱导公式
公式一 sin(α+2kπ)=① sin α k∈Z
揭示了终边相同的角的同一三角函数值的关系
cos(α+2kπ)=② cos α
tan(α+2kπ)=③ tan α
公式二 sin(-α)=④ -sin α
揭示了终边关于x轴对称的两个角的同一三角函数值的关系
cos(-α)=⑤ cos α
tan(-α)=⑥ -tan α
公式三 sin(π-α)=⑦ sin α
揭示了终边关于y轴对称的两个角的同一三角函数值的关系
cos(π-α)=⑧ -cos α
tan(π-α)=⑨ -tan α
公式五 sin = cos α
实现正弦函数与余弦函数的相互转化
cos = sin α
公式六 sin = cos α
cos = -sin α
公式四 sin(π+α)=⑩ -sin α
揭示了终边关于原点对称的两个角的同一三角函数值的关系
cos(π+α)= -cos α
tan(π+α)= tan α
2.对诱导公式的理解
六组诱导公式可以统一看成k· ±α(k∈Z)的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
(1)“奇变偶不变”:“奇”“偶”是指k· ±α(k∈Z)中k的奇偶性.当k为奇数时,正
弦变余弦,余弦变正弦 如sin =cos α ;当k为偶数时,函数名不变(如sin(π+α)=
-sin α).
(2)“符号看象限”:在记忆诱导公式时,把α看成锐角,再根据k· ±α(k∈Z)所在的象限及“一全正,二正弦,三正切,四余弦”的符号规律确定符号.
3.诱导公式的推广
(1)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α,tan(2π-α)=-tan α.
(2)sin =-cos α,cos =-sin α.
(3)sin =-cos α,cos =sin α.
1.诱导公式中的角α是任意角. ( )
提示:正弦、余弦函数的诱导公式中α为任意角,但正切函数的诱导公式中α≠kπ+
,k∈Z.
2.cos(3π-α)=-cos α. ( √ )
提示:cos(3π-α)=cos(π-α)=-cos α.
3.sin(α-π)=sin α. ( )
提示:sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α.
4.sin =±cos α(k∈Z). ( )
提示:当k=2时,sin =sin(π-α)=sin α.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.在△ABC中,若A+B= ,则sin A=cos B,cos A=sin B. ( √ )
6.函数f(x)=sin xcos x是奇函数. ( √ )
提示:因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=sin(-x)·cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以函数 f(x)=sin xcos x是奇函数.
1 | 利用诱导公式解决给角求值问题
1.诱导公式有很多组,使用不同的组合都可以达到共同的效果,但是一般采用以下
顺序转化角:
(1)负角化为正角;
(2)大于2π的角化为0~2π的角;
(3)把 ~2π的角转化为0~ 的角.
2.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”:用公式一或二来转化.
(2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°的角.
(3)“角化锐”:用公式三或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
求下列各式的值:
(1)sin 67°+cos 157°+sin 115°-cos(-25°);
(2)cos +sin -tan .
思路点拨
用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数,再进行求解.
解析 (1)原式=sin 67°+cos(90°+67°)+sin(90°+25°)-cos 25°=sin 67°-sin 67°+cos 25°-
cos 25°=0.
(2)原式=cos -sin +tan =-cos -sin +tan =-cos +sin
+tan =- + + = .
2 | 利用诱导公式解决条件求值问题
解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运
算之间的差异及联系,然后将已知式进行变形(向所求式转化),或将所求式进行变
形(向已知式转化).诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值是最常见的问题,
一般解题步骤如下:
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,常见的互余关系有 -α与 +α, +α
与 -α, +α与 -α等;常见的互补关系有 +α与 -α, +α与 -α等.
(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.
(1)已知cos = ,求cos -sin2 的值;
(2)已知cos = ,求sin α+ 的值.
思路点拨
(1)观察 -α与 +α,α- 的关系,用 -α表示 +α、α- ,进而求解;
(2)观察α+ 与α+ 之间的关系,用α+ 表示α+ ,进而求解.
解析 (1)∵cos =cos
=-cos =- ,
sin2 =sin2
=1-cos2 =1- = ,
∴cos -sin2 =- - =- .
(2)∵α+ = + ,
∴sin =sin =cos α+ = .
3 | 利用诱导公式化简、证明三角函数式
1.三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活运用相关的公式及变形解决问题.
(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
2.证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题的关键在于公式的灵活运用,其证明的常用方法有:
(1)对一边进行化简,使得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法:证明等号左右两边都等于同一个数或式子.
注意:针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除差异.
已知函数f(x)= + .
(1)化简f(x);
(2)若f(α)= ,求sin αcos α的值.
解析 (1)f(x)
= +
= +
=-sin x· +sin x=sin x-cos x.
(2)因为f(α)= ,即sin α-cos α= ,所以(sin α-cos α)2= ,
整理得sin2α-2sin αcos α+cos2α= ,
即2sin αcos α= ,即sin αcos α= .
设tan =m,求证: = .
证明 证法一:左边=
= = = =右边.
故等式得证.
证法二:由tan =m,得tan =m.
左边=
= =
= = =右边.
故等式得证.
方法总结 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右
边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、弦切互化法、
拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法进行化简,要熟练掌握六组诱导公式,
要善于从中选择巧妙、简捷的方法.(共10张PPT)
1.了解周期函数、最小正周期的概念.
2.理解并掌握三角函数的周期,会求一些简单的、常见的函数的周期.
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈
A,都有x+T∈A,并且① f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
1 | 周期函数
1.三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的最小正周期分别是② 2π 、③ 2π 、
④ π .
2.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为⑤ ,函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为⑥ .
知识拓展
1.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a为正常数),那么这个函数的
周期为2a.
2.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)= (a为正常数),那么这个函数的周期为2a.
2 | 三角函数的最小正周期
3.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=- (a为正常数),那么这个函数
的周期为2a.
4.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)= (a为正常数),那么这个函
数的周期为2a.
1.若某函数的最小正周期为T,则kT(k∈Z,k≠0)也是该函数的周期. ( √ )
提示:根据函数周期性的定义,可得f(x+kT)=f(x+(k-1)T+T)=f(x+(k-1)T)=f(x+(k-2)T+T)=
f(x+(k-2)T)=…=f(x+T)=f(x),k∈Z,k≠0,所以kT(k∈Z,k≠0)是该函数的周期.
2.已知函数y=f(x),若f(1+2)=f(1), f(2+2)=f(2),则2是该函数的周期. ( )
提示:函数的周期性是对整个定义域来说的, f(x)对定义域内任意值都有f(x)=f(x+2)时,2才是f(x)的周期.
3.y=|sin x|的最小正周期是π. ( √ )
提示:函数y=sin x的最小正周期是2π,所以y=|sin x|的最小正周期是π.
4.y=tan 2x的最小正周期是π. ( )
提示:y=tan ωx的最小正周期是 ,所以y=tan 2x的最小正周期是 .
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.y=cos 的最小正周期是4π. ( √ )
1 | 求三角函数的最小正周期
求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)的形式(其中A,ω,φ都是常数),再应用公式T= 或T= 或T= 分别求解.若函数解析式不满足使用周期公式的条件,则可结合周期函数的定义或函数图象确定其周期.
在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x- 中,最小正周期为π的是 ( A )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析 对于①,y=cos|2x|=cos 2x,
∴y=cos|2x|的最小正周期为 =π;
对于②,∵y=cos x的最小正周期为2π,
∴y=|cos x|的最小正周期为π;
对于③,y=cos 的最小正周期为 =π;
对于④,y=tan 的最小正周期为 .
综上,①②③的最小正周期为π.
2 | 利用函数的周期性求值
利用函数周期性求值的步骤
(1)确定函数的周期;
(2)根据f(x+kT)=f(x)(k∈Z且k≠0),把自变量x加上或减去周期的非零整数倍;
(3)计算得出结果.
已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α,β,a,b均为非零实数,若f(2 020)=-1,则f(2 021)
= 1 .
解析 因为y=sin(πx+α)和y=cos(πx-β)的周期都是 =2,
所以f(2 020)=f(0)=asin α+bcos β=-1,
所以f(2 021)=f(1)=-asin α-bcos β=1.(共31张PPT)
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的
图象.
2.能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质.
3.能借助正切线画出正切函数的图象,并通过图象理解正切函数的性质.
7.3.2 三角函数的图象与性质
1 | 三角函数的图象与性质
y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R ①
值域 [-1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 最小正周期T=2π 最小正周期T=π
单调性 递增区间 - +2kπ, +2kπ (k∈Z) ② [2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) ③ (k∈Z)
递减区间 ④ (k∈Z) [2kπ,π+2kπ](k∈Z)
无
对称性 对称轴 ⑤ 直线x=kπ+ (k∈Z) 直线x=kπ(k∈Z)
无
对称中心 (kπ,0)(k∈Z) +kπ,0 (k∈Z) ⑥ (k∈Z)
1.画正弦函数y=sin x的图象通常用“五点法”,图象上起关键作用的五个点为(0,0),⑦ ,(π,0),⑧ ,(2π,0).
2.画余弦函数y=cos x的图象有两种方法,一种是将y=sin x的图象向⑨ 左 平移
⑩ 个单位得到;另一种是用“五点法”,图象上起关键作用的五个点为(0,1), ,(π,-1), ,(2π,1).
3.画正切函数y=tan x x∈R且x≠ +kπ,k∈Z 的图象通常用“三点两线法”,其中三点为 ,(0,0), ,两线为直线x=- 和直线x= .
2 | 画三角函数图象的方法
1.借助三角函数线画y=sin x,x∈[0,2π]的图象
第一步:如图所示,在平面直角坐标系的x轴上任取一点O',以O'为圆心,单位长为半
径作圆.从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份.把x轴上从0到2π这一段分成12
等份(取自变量x的值).
第二步:在单位圆中画出对应于 , , ,…, 的角及相应的正弦线(等价于“列
表”),把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正弦线的
终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x在
[0,2π]上的图象.
3 | 利用三角函数线画三角函数的图象
由cos x=sin ,知函数y=cos x,x∈R与函数y=sin ,x∈R是同一个函数.如图所示,余弦函数y=cos x的图象可由正弦函数y=sin x的图象向左平移 个单位得到.
2.借助三角函数线画y=tan x,x∈ 的图象
根据研究正弦函数、余弦函数图象的经验,利用单位圆中的正切线可画出正切函数
y=tan x,x∈ 的图象.作法如下:
第一步:作平面直角坐标系,并在平面直角坐标系y轴左侧作单位圆O'.把单位圆O'的右半圆分成8等份,把x轴上从- 到 这一段分成8等份(取自变量x的值).
第二步:在单位圆中画出对应于- ,- ,- ,0, , , 的角及相应的正切线(等价于
“列表”),把角x的正切线向左、右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正切线的终点就是正切函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正切线的终点连接起来,就得到正切函数y=tan x在
x∈ 上的图象.
1.正、余弦函数的图象形状相同,位置不同. ( √ )
2.函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同. ( )
3.函数y=sin 既不是奇函数又不是偶函数. ( )
提示:y=sin =-cos x,是偶函数.
4.函数y=3cos x在 上是单调函数.( )
提示:根据余弦函数的图象,知函数y=3cos x在 上不是单调函数.
5.正切函数在整个定义域上是增函数. ( )
提示:不能说正切函数在整个定义域上是增函数,而是在每个区间
(k∈Z)上是增函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | “五点法”画正、余弦(型)函数图象
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:
x 0 π 2π
sin x(或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或-1) -1(或0) 0(或1)
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点:在平面直角坐标系中描出 (0,y1), ,(π,y3), ,(2π,y5)这五个点.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
用“五点法”作下列函数的图象:
(1)y=1-2sin x,x∈[0,2π];
(2)y=cos x+ ,x∈[-π,π].
解析 (1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=1-2sin x 1 -1 1 3 1
描点连线,如图:
(2)列表:
x -π - 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
y=cos x+ - -
描点连线,如图:
2 | 三角函数图象的应用
利用三角函数图象解不等式的步骤
(1)画出正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象 对于正切函数,画出其在 上的图象 ;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集 对于正切函数,写出其在 上的解集 ;
(3)根据诱导公式一写出其在定义域内的解集.
利用正、余弦函数的图象可以解决含有正、余弦函数的方程解的个数问题,三角
函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可以比较直观地解决问题,这正是
数形结合思想方法的应用.
画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出y≥ 时x的集合.
思路点拨
作出y=sin x的图象及直线y= 确定sin x≥ 在[0,2π]上的解集 确定sin x
≥ 在R上的解集.
解析 作出y=sin x的图象及直线y= ,如图所示.
由图可知,y=sin x的图象与直线y= 在[0,2π]内的交点为 , ,
所以在区间[0,2π]内,y≥ 时x的集合为 ,
所以当x∈R,y≥ 时,x的集合为 x +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z .
求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
思路点拨
令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|log2x|,在同一平面直角坐标系内作出函数f(x),g(x)的图
象,观察两个函数图象的交点个数即可得到方程的解的个数.
解析 由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0,得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|log2x|.
在同一平面直角坐标系内作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象,如图所示,易
知f(x)与g(x)的图象有四个交点,故原方程有四个解.
解题模板
对于求方程解的个数、方程解的范围问题,若从正面求解比较困难,则可对方程变形,使等式两边转化成熟悉的函数,再通过画函数图象,数形结合求解.
3 | 利用三角函数的单调性比较大小
利用三角函数的单调性比较大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名三角函数.
(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内.
(3)依据三角函数的单调性比较大小.
比较下列各组值的大小.
(1)tan 126°与tan 496°;
(2)cos ,sin ,-cos ;
(3)cos 与cos .
思路点拨
(1)先利用诱导公式将两个角化为锐角,再利用正切函数的单调性比较大小;
(2)先利用诱导公式化为同名三角函数,再利用余弦函数在(0,π)上的单调性比较大小;
(3)先利用诱导公式化为同名三角函数,再利用正弦函数在 上的单调性比较
sin 与cos =sin 的大小,然后利用余弦函数在 上的单调性比较大小.
解析 (1)tan 126°=-tan 54°,tan 496°=tan 136°=-tan 44°.
因为当0°所以tan 54°>tan 44°,所以-tan 54°<-tan 44°,
即tan 496°>tan 126°.
(2)sin =cos ,-cos =cos ,
因为函数y=cos x在(0,π)上单调递减,且0<π- < - < <π,
所以cos >cos >cos ,
即-cos >sin >cos .
(3)cos =cos =sin .
因为函数y=sin x在 上单调递增,且0< < < ,
所以0即0又函数y=cos x在 上单调递减,
所以cos >cos .
4 | 三角函数的值域与最值问题
1.常见的三角函数求值域或最值的类型
(1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的值域(最值).
(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2x+bsin x+c
(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最
值),求解时要注意t的取值范围.
(3)对于形如y=asin x(或y=acos x)(a≠0)的含参的三角函数的最值问题,需要注意对a进行讨论.
(4)求形如y= (ac≠0)的函数的值域,可以用分离常数法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
2.求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法
(1)借助正弦(或余弦)函数的有界性、单调性求解;
(2)转化为关于sin x(或cos x)的二次函数求解.
注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.
已知函数f(x)= sin .
(1)求0≤x≤ 时的值域;
(2)若函数y= f(ωx),ω>0在x∈ 上有最大值,无最小值,求实数ω的取值范围.
解析 (1)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ ,
∴- ≤sin ≤1,∴f(x)∈ ,
故函数的值域为 .
(2)由题意得f(ωx)= sin .
令t=2ωx+ ,x∈ ,则 由f(ωx)在x∈ 上有最大值,无最小值,知y= sin t在t∈ 上有最大值,
无最小值.
作出函数y= sin t的图象如图所示.
由图可知 <ωπ+ ≤ ,解得 <ω≤ .
求下列函数的值域.
(1)y=7-8cos x-2sin2x,x∈ ;
(2)y=-2cos2x+2sin x+3,x∈ .
思路点拨
把所给函数化为关于cos x(或sin x)的二次函数,根据x的取值范围确定cos x(或sin x)的取值范围,进而求出函数的值域.
解析 (1)y=7-8cos x-2sin2x=7-8cos x-2(1-cos2x)=2cos2x-8cos x+5=2(cos x-2)2-3.
因为x∈ ,所以cos x∈ .
所以当cos x= 时,ymax= ;
当cos x=1时,ymin=-1.
所以函数的值域为 .
(2)y=-2cos2x+2sin x+3=-2(1-sin2x)+2sin x+3=2sin2x+2sin x+1=2 + .
因为x∈ ,所以sin x∈ .
所以当sin x=1时,ymax=5;
当sin x= 时,ymin= .
所以函数的值域为 .(共23张PPT)
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.
2.能借助计算器或计算机画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,观察并研究参数A,ω,φ对
函数图象变化的影响.
3.能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,并在这个过程中
认识到函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)的联系.
7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
一般地,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有的点向① 左 (当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移② |φ| 个单位长度而得到的.
1 | φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
一般地,函数y=Asin x(A>0且A≠1)的图象,可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的③ A 倍(横坐标不变)而得到的.从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是④ [-A,A] ,即最大值是A,最小值是-A.
2 | A(A>0且A≠1)对y=Asin x的图象的影响
一般地,函数y=sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象,可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的⑤ 倍(纵坐标⑥ 不变 )而得到的.
3 | ω(ω>0且ω≠1)对函数y=sin ωx的图象的影响
一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的图象,可以看作是将函数y=sin ωx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移⑦ 个单位长度而得到的.
4 | ω,φ(ω>0,φ≠0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
5 | 函数y=sin x的图象与=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的关系
(1)先作出一个周期的图象,令X=ωx+φ,X分别取0, ,π, ,2π,并求出对应的x和y的值,列表如下:
6 | 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的画法(“五点法”)
X=ωx+φ 0 π 2π
x -
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
(2)描点画图,结合函数的周期性,可得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
1.将y=sin x的图象向左平移 个单位得到的图象所对应的函数是偶函数. ( √ )
2.将y=sin 2x的图象向右平移 个单位得到的图象所对应的函数是y=sin .
( )
提示:将y=sin 2x的图象向右平移 个单位得到的图象所对应的函数是y=sin .
3.将y=cos 3x的图象向左平移 个单位得到的图象所对应的函数是y=cos . ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
4.函数y=sin 2x的图象是由y=sin x的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为
原来的2倍得到的. ( )
提示:函数y=sin 2x的图象是由y=sin x的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标
变为原来的 倍得到的.
5.如果函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心
之间的距离为 . ( √ )
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象有两种途径:①先平移后伸缩;②先伸缩后平移.具体过程如下:
方法1:y=sin x的图象
y=sin(x+φ)的图象
y=sin(ωx+φ)的图象
1 | 函数图象的变换
y=Asin(ωx+φ)的图象.
方法2:y=sin x的图象
y=sin ωx的图象
y=sin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象.
值得注意的是,在变换过程中横向的伸缩和左右平移仅针对x而言,如果x前面有系数ω,需要把系数ω提出来,再进行变换.
函数y= sin + 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到
思路点拨
思路一:先平移变换,再伸缩变换;思路二:先伸缩变换,再平移变换.
解析 解法一:把函数y=sin x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin
的图象;
把得到的函数图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数y=
sin 的图象;
把得到的函数图象上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变),得到函数y=
sin 的图象;
把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin + 的图象.
解法二:把函数y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到
函数y=sin 2x的图象;
把得到的函数图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象;
把得到的函数图象上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变),得到函数y=
sin 的图象;
把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin + 的图象.
名师点睛 对于函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有
如下几种:
(1)纵向伸缩变换:由A的变化引起的,A>1时伸长,A<1时缩短.
(2)横向伸缩变换:由ω的变化引起的,ω>1时缩短,ω<1时伸长.
(3)横向平移变换:由φ的变化引起的,φ>0时左移,φ<0时右移.
(4)纵向平移变换:由k的变化引起的,k>0时上移,k<0时下移.
2 | 根据图象求函数的解析式
由图象确定函数解析式的方法
1.逐一定参法
(1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T= 确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)中φ的值.其方法有两种:
①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A与ω已知),求得φ.
②五点对应法:确定φ值时,往往以“五点法”中的点 为突破口.
2.待定系数法
将若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,
要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入函数解析式.
3.图象变换法
运用逆向思维,先确定y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.
如图是函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的图象的一部分,求此函数的解析式.
解析 解法一(逐一定参法):
由题图知A=3,T= - =π,
∴ω= =2,
∴y=3sin(2x+φ).
∵点 在函数图象上,
∴0=3sin ,
∴- ×2+φ=kπ(k∈Z),得φ= +kπ(k∈Z).
∵|φ|< ,∴φ= .
∴y=3sin .
解法二(待定系数法):由题图知A=3.
∵图象过点 和 ,
∴ 解得
∴y=3sin .
解法三(图象变换法):由题图知A=3,T= - =π,点 在函数图象上,
∴函数图象是由y=3sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到的,∴y=3sin ,即y=3sin .
3|函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T= .
2.判断函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)是否具有奇偶性,关键是看它能否转化为y=Asinωx
(A,ω≠0)或y=Acos ωx(A,ω≠0)的形式.
3.求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的单调区间,一般将ωx+φ看成一个整体,代入y=sin x的单调区间对应的不等式,解x即可.要注意ω的正负对单调区间的影响.
4.讨论y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)图象的对称性,一般将ωx+φ看成一个整体,令ωx+φ=kπ+ (k∈Z),可求出函数图象的对称轴;令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求出函数图象的对称中心的横坐标.
这里要注意以下几个隐含条件:
(1)两条相邻对称轴之间的距离为 个周期;
(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值;
(3)两个相邻最大值之间为一个周期,两个相邻最小值之间为一个周期,两个相邻
最值之间为 个周期.
已知函数f(x)=2sin (ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
(1)当x∈ 时,求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,再把横坐标缩小为原来的 倍(纵坐
标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈ 时,求函数g(x)的值域.
解析 (1)因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为 ,
所以最小正周期T=π,所以ω=2.
因为函数f(x)为奇函数,
所以f(0)=2sin =0,
所以φ- =kπ,k∈Z.
因为0<φ<π,所以φ= .
所以f(x)=2sin 2x.
令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为 ,k∈Z.
又x∈ ,所以函数f(x)的单调递减区间为 .
(2)由题意得g(x)=2sin .
当x∈ 时,4x- ∈ .
所以当4x- =- 时,函数g(x)取得最小值,为-2;当4x- = 时,函数g(x)取得最大值,
为 .
故函数g(x)的值域为[-2, ].(共15张PPT)
1.会用三角函数的图象解决一些简单的实际问题,掌握建立函数关系式的方法.
2.体会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型.
7.4 三角函数应用
简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0,x表示时间,y表示相对于平衡位置的偏离.
(1)A表示物体运动时离开平衡位置的① 最大距离 ,称为振幅;
(2)往复运动一次所需的时间T=② 称为这个运动的周期;
(3)单位时间内往复运动的次数f= = 称为运动的频率;
(4)③ ωx+φ 称为相位,x=0时的相位φ称为初相位.
1 | 简谐运动的物理量的描述
知识拓展
1.数据拟合问题的实际是根据题目提供的数据画出简图,求相关三角函数的解析式,进而研究实际问题.在求解具体问题时需弄清A,ω,φ的具体含义,只有把握了这三个参数的含义,才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
2 | 质利用三角函数模型解决实际问题
2.处理曲线拟合与预测问题的步骤:
第一步:根据原始数据绘出散点图;
第二步:通过研究散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲
线;
第三步:根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
第四步:利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
注:①一般常用函数y=Asin(ωx+φ)+b来拟合刻画实际问题.②解决三角函数的实际问题时,要注意自变量的取值范围和数形结合思想的运用.
1.函数y=-2sin 的振幅是-2. ( )
2.函数f(x)=2sin 的频率为 ,初相位为 . ( )
提示:f(x)的频率为 ,初相位为- .
3.函数y=|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线. ( )
4.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=2sin 200πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期
是 . ( √ )
5.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似地满足函数关系f(t)=
10-2sin ,t∈[0,24),则实验室这一天的温差为4 ℃. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 三角函数模型在物理中的应用
1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周
期性.在处理物理学问题时,要明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振
幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
2.(1)解决与三角函数模型相关问题的关键是将实际问题转化为三角函数模型.
(2)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单
摆的运动等有关问题考查居多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理
概念的意义和表示方法.
一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=6sin .
(1)画出它在一个周期内的图象;
(2)回答以下问题:
①当小球开始摆动(即t=0)时,离开平衡位置的距离是多少
②当小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少
③小球来回摆动一次需要多长时间
思路点拨
(1)计算出周期为1 s,在一个周期内,结合“五点法”中五点及区间端点,列表、描
点、连线作出图象;
(2)根据解析式作答.①令t=0计算出s即可,②即求函数的最大值,③即求函数的周期.
解析 (1)周期T= =1(s).
列表:
t 0 1
2πt+ π 2π
6sin
3 6 0 -6 0 3
描点连线:
(2)①当小球开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离为3 cm.
②当小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即一个周期).
2 | 三角函数模型在实际生活中的应用
解三角函数应用问题的基本步骤
1.审清题意:读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景,提炼出相应的数学问题.
2.建立函数模型:整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,即建立三角函数模型.
3.求解函数模型:利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型,求得结果.
4.得出结论:将所得结果翻译成实际问题的答案,并检验.
下表是某地某年月平均气温(华氏度)的数据:
月份 1 2 3 4 5 6
月平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
月平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴(x=月份-1),月平均气温为y轴.
(1)描出散点图,并用曲线去拟合这些数据;
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;
(3)下面三个函数模型中,哪一个最符合这些数据
① =cos ;② =cos ;③ =cos .
思路点拨
(1)由表中所给数据作出图象,注意x=月份-1;
(2)由图象最高点与最低点的横坐标求出周期,由最大值与最小值求出A;
(3)不妨取x=2-1=1,y=26.0,分别代入三个式子中验证.
解析 (1)如图.
(2)最低气温在1月份(21.4华氏度),最高气温在7月份(73.0华氏度),
故 =7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,
所以A=25.8.
(3)不妨取x=2-1=1,y=26.0,
代入①,得 = >1≠cos ,故①不符合;
代入②,得 = <0≠cos ,故②不符合;代入③,得0< = <1,
故③符合.
所以③最符合这些数据.