(共12张PPT)
1.通过学过的函数图象,理解函数零点的概念以及函数零点与方程的解的关系.
2.掌握函数零点存在定理,并会判断函数零点的个数.
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
1.函数的零点的概念
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的① 实数x 称为函数y=f(x)的零点.因此,函数
y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的② 实数解 .从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴③ 交点的横坐标 .
2.函数零点存在定理
一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且④ f(a)f(b)<0 ,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
| 函数的零点
1.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( )
提示:函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.
2.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. ( )
提示:例如:函数f(x)=x2在区间(-1,1)内有零点(函数图象连续不断),但f(-1)·f(1)>0.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
4.若函数y=f(x)在(a,b)上单调,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有且只有一
个零点. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 判断函数零点所在区间
判断函数零点所在区间的步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数解析式,求出对应的函数值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正且函数图象在该区间内是不间断且单调的,则在该区间内无
零点;若符号为负且函数图象在该区间内是不间断的,则在该区间内至少有一个零点.
函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是 ( C )
A.(3,4) B.(2,e) C.(1,2) D.(0,1)
思路点拨
利用函数零点存在定理求解.
解析 因为f(1)=ln 2- <0,f(2)=ln 3-1>0,函数f(x)在[1,2]上单调递增且图象是连续
不断的,所以函数的零点所在的大致区间为(1,2).
2 | 质函数零点个数及应用
1.判断函数零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程,方程的解就是函数的零点.
(2)画出函数的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)利用函数零点存在定理进行判断,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续
不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点,如图所示.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
2.已知函数零点个数求参数范围,为了便于限制零点个数或零点所在区间,通常要对已知条件进行变形,变形的方向:(1)化为常见的基本初等函数;(2)尽量使参数与变量分离,实在不能分离,也要使含参数的函数式尽可能简单.
判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
思路点拨
利用函数零点存在定理求解或将问题转化为求两函数图象的交点个数,数形结合
求解.
解析 解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,且f(x)在[0,1]上的图象是连续的,
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数,
∴函数f(x)有且只有一个零点.
解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).
问题转化为h(x)=2-2x与g(x)=lg(x+1)图象的交点个数问题.
在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图象,如图所示:
由图知,g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-
2有且只有一个零点.
易错警示
利用函数图象交点的个数判断函数零点的个数时,注意画图要准确.
已知函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,求实数b的取值范围.
思路点拨
令f(x)=0,得到|2x-2|=b,作出函数y=|2x-2|与y=b的图象,利用两函数图象有两个交点,
确定参数的范围.
解析 令f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.
问题转化为y=|2x-2|与y=b图象的交点个数问题.
在同一平面直角坐标系中作出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示:
由图知,当0
故实数b的取值范围为(0,2).(共11张PPT)
1.理解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
8.1.2 用二分法求方程的近似解
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零
点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似
值的方法叫作二分法.
1 | 二分法的概念
1.二分法是求一元方程近似解的常用方法,运用二分法的前提是要先判断某解所
在的区间.
2.用二分法求方程的一个近似解的操作流程:
2 | 用二分法求方程的一个近似解
在以上操作过程中,如果存在c,使得f(c)=0,那么c就是方程f(x)=0的一个精确解.
1.用二分法可求所有函数的零点. ( )
2.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位. ( √ )
3.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用. ( √ )
4.用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思
想逐步缩小零点所在的区间. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
| 用二分法求方程的近似解
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在800~1 200元之间的一款手机,选手开始报价.选手:“1 000.”主持人:“低了.”……
问题
1.如果是你,接下来该如何竞猜
提示:应猜1 000与1 200的中间值1 100.
2.能用这种方法猜到具体价格吗 能用这种方法求方程的近似解吗
提示:能猜到具体价格.能求方程的近似解.
3.用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤结束
提示:当零点所在区间的两个端点值在要求的精确度下的近似值相同时,二分法
步骤结束.
4.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗
提示:有.精确度决定步骤的多少,故精确度不同,零点可能会不同.
利用二分法求函数零点的注意事项
1.要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
2.用列表法往往能更清晰地表达函数零点所在的区间.
3.根据给定的精确度,及时检验区间端点的近似值是否相同,以决定是停止计算还
是继续计算.
二分法的适用条件
判定一个函数能用二分法求其零点的依据:函数图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
求方程lg x= -1的近似解(精确到0.1).
思路点拨
在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x与y= -1的图象 确定函数零点所
在的初始区间 利用二分法依次计算 根据精确度确定零点的近似值.
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x与y= -1的图象,如图所示.
由图可知,方程lg x= -1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.设f(x)=lg x- +1,则f(1)
= >0,
取值区间 中点值 中点函数近似值
(0,1) 0.5 -0.008 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0
(0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3
由表格知f(0.5)≈-0.008 1<0,f(0.531 25)≈0.033 3>0,且0.5与0.531 25精确到0.1的
近似值都为0.5,故此方程的近似解为0.5.
用计算器计算,列表如下:(共8张PPT)
1.了解常用的描述实际生活中不同增长规律的函数模型.
2.了解指数爆炸、直线上升、对数增长等增长方式.
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
| 三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增减性 增 增 增
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 α值较小(α≤1)时,增长
较慢;α值较大(α>1)时,
增长较快
增长后的结果 当x足够大时,总有ax>xα>logax
注:一般地,在描述现实问题的变化规律时,常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式.
1. 函数y=x2比y=2x增长的速度快. ( )
2.对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上总存在一个x0,当x>x0
时,logax3.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中,增长速度最快的是y=3x. ( √ )
提示:在这几类函数中,指数函数的增长速度最快.
4.当0判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
| 几个函数模型的增长差异
假如某公司每天向你投资1万元,共投资30天.该公司要求你给它的回报是第一天
给公司1分钱,第二天给公司2分钱,以后每天给的钱都是前一天的2倍,共30天.
问题
1.你认为这样的交易对你有利吗
提示:该公司30天内的总投资为30万元;30天内需给公司的回报为 0.01+0.01×2+0.01
×22+…+0.01×229=10 737 418.23≈1 074(万元).由此可见,这样的交易对自己没有利.
2.在上述问题中,你发现了什么问题
提示:函数y=ax(a>1)与y=kx(k>0)都是增函数,随着x的增大,指数函数的增长速度越
来越快,当x足够大时,相比指数函数,一次函数增长得较慢.
常见的函数模型及增长特点
1.线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
2.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
4.幂函数模型y=xα(α>0)的增长特点是α值较小(α≤1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快.
已知函数f(x)=lo x,g(x)= 与h(x)= 都在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是 ( C )
A.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越慢
B.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越快
C.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢
D.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越快
思路点拨
根据常见函数模型的增长趋势及函数图象判断.
解析 观察函数f(x)=lo x,g(x)= 与h(x)= 在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知,
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;
同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;
函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢.
导师点睛 熟记常见函数模型的增长特点是解决这类问题的关键.(共10张PPT)
1.理解函数模型的概念和作用.
2.能用函数模型解决简单的实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤,并能解决简单问题.
8.2.2 函数的实际应用
1.解决实际问题通常按照以下程序进行:实际问题 建立数学模型 求解数学模型 解决实际问题.其中 建立数学模型 是关键.
2.解答实际问题时应该注意的问题
(1)认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)合理选取参变量,设定变量后,寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数或方程模型,最终求解数学模型,使实际问题得以解决.
| 利用函数模型解决实际问题
1.指数型函数模型和幂函数型模型结构相似,因此在实际应用问题中两者任选其
一即可. ( )
2.某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,若按九折
出售,则每件还能获利. ( √ )
该种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,即每件售价为125元,再按九折
出售,即每件售价为112.5元,超过进价,故每件还能获利.
3.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则
该市这两年生产总值的年平均增长率为 . ( )
提示:设年平均增长率为x,开始时的年生产总值为a,则a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,解得x= -1(x=- -1舍去).
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 应用函数模型求解实际问题
已知函数模型解决实际问题时,往往给出的函数解析式中含有参数,需要将题中
的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式
求函数值或自变量的值.
渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼很快将失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是氨的类似物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质进而腐烂).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分钟)满足的函数关系式为h=m·at.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼开始失去全部新鲜度经过的时间为(已知lg 2=0.3,结果取整数) ( B )
A.33分钟 B.43分钟
C.50分钟 D.56分钟
解析 依题意有
解得
故h=0.05×( )t.
令0.05×( )t=1,得( )t=20,
故t= = = ≈43(分钟).
2 | 建立适当的数学模型解决实际问题
1.利用函数模型解决实际问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.用得到的函
数进行拟合时,可能误差较大或不符合客观实际,因此要对所得函数模型进行检
验,切忌盲目下结论.
2.函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;
(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x(x∈N*,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如表所示的关系:
销售单价x(元) 30 40 45 50
日销售量y(件) 60 30 15 0
(1)根据表中提供的数据,在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)对应的点,并确定x
与y的一个函数关系式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,
并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.
思路点拨
描点 选模 求模 验模 用模.
解析 (1)在平面直角坐标系中作出点(30,60),(40,30),(45,15),(50,0),它们近似地分
布在一条直线上,如图所示.
设直线方程为y=kx+b(k≠0),
则 解得
∴y=-3x+150(30≤x≤50,x∈N*).
经检验,(30,60),(40,30)在此直线上,
∴所求函数关系式为y=-3x+150(30≤x≤50,x∈N*).
(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300(30≤x≤50,x∈N*),
∴当x=40时,P取得最大值,且最大值为300.
故当销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.
导师点睛 在建立和应用函数模型时,准确地把题目要求翻译成数学问题非常重
要,另外实际问题要注意实际意义对定义域的影响.