2022版新教材高中数学第3章不等式本章复习提升苏教版必修第一册(word版含解析)

本章复习提升
易混易错练
易错点1　多次利用不等式的性质导致所求代数式范围扩大
1.(2020江苏苏州木渎高级中学高一期中,)已知-1≤a≤3,2≤b≤4,则2a-b的取值范围是 (　　)
A.-6≤2a-b≤4　　　　　　B.0≤2a-b≤10
C.-4≤2a-b≤2　　　　　　D.-5≤2a-b≤1
2.(2020江苏南京天印高级中学高一月考,)已知-1<2a+b<2,3易错点2　忽略基本不等式等号成立的条件致错
3.(多选)(2020江苏南京大厂高级中学高一期中,)已知a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　　)
A.≥4　　　　　　B.(a+b)≥4
C.
4.()已知x>0,y>0,则当x+4y+取得最小值时,x-y=　　　　.
5.()已知正实数a,b满足a+b=1,求的最小值. 易错
易错点3　忽略二次项系数的符号致错
6.(2020江苏宿迁宿豫中学高一月考,)不等式(-3x+1)·(2-x)>0的解集是 (　　)
A.{x|x>2}　　　　　　B.
C.
7.(2020北京理工大学附属中学高一期中,)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-2,3),则不等式cx2-bx+a<0的解集是　　　　.易错
易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0致错
8.()不等式≥0的解集为 (　　)
A.{x|x≥-1}　　　　　　B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1}　　　　　　D.{x|x≤-1或x≥1}
9.(2020江苏镇江第一中学高一期中,)不等式≤0的解集是 (　易错　)
A.{x|x<-3}　　　　　　B.{x|x≥4}
C.{x|-310.(2020江苏常熟中学高一月考,)不等式≥1的解集为　　　　.
11.()解不等式:≤0(a∈R).
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2020江苏徐州第一中学高一月考,)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-40的解集为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|-1C.　　　　　　D.{x|x<-2或x>1}
2.(2021山西太原师院附中、师苑中学校高一上联考,)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是　　　　.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.()设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(1)求实数m的取值范围;
(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.
4.(2020江苏扬州中学高一月考,)若不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,且M [1,3],求实数a的取值范围.
三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
5.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
6.()已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在不等式问题中的应用
7.()当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.{m|m<6}　　　　　　B.{m|m≤6}
C.{m|m≥6}　　　　　　D.{m|m>6}
8.(2020北京师范大学附属实验中学高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.A　因为-1≤a≤3,2≤b≤4,
所以-2≤2a≤6,-4≤-b≤-2,
所以-2-4≤2a-b≤6-2,
即-6≤2a-b≤4.故选A.
2.解析　令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,λ,μ∈R,
∴
∴5a+b=2(2a+b)+(a-b).
∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4.
又3∴5a+b的取值范围为(1,8).
易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则易扩大范围,得到错误的答案.
3.ABC　=4(当且仅当a=b=1时取“=”),故A正确;
(a+b)=4(当且仅当a=b时取“=”),故B正确;
∵(a+b)≤·(a+b)==a2+b2(当且仅当a=b时取“=”),∴≥a+b(当且仅当a=b时取“=”),故C正确;
∵a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”),∴(当且仅当a=b时取“=”),故D错误.故选ABC.
4.答案　
解析　x+4y+=4,
当且仅当时,等号同时成立,
所以当x+4y+取得最小值时,x-y=1-.
5.解析　+4=(a2+b2)+4=[(a+b)2-2ab]+4=(1-2ab)·+4.
由a+b=1,得ab≤时,等号成立,
所以1-2ab≥1-,≥16,
所以×(1+16)+4=时,等号成立,
所以.
易错警示　连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不一致,则连续用基本不等式是求不出最值的.
6.D　由(-3x+1)(2-x)>0,得(3x-1)(x-2)>0,解得x<或x>2.故选D.
7.答案　
解析　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,3),
∴a<0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,
∴
∴b=-a,c=-6a,其中a<0.
∴不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1<0,解得-.
∴所求不等式的解集为.
易错警示　当二次项系数是实数时,对于二次项系数是负数的不等式,要先将其化为正数再求解.当二次项系数是代数式时,一般要分等于0和不等于0两种情况讨论.
8.C　原不等式等价于
解得x≥-1且x≠1.故选C.
9.D　因为≤0,
所以≥0,
则解得x<-3或x≥4.
所以不等式≤0的解集是{x|x<-3或x≥4}.故选D.
易错警示　把含等号的分式不等式化为整式不等式时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.
10.答案　[-1,1)∪[3,+∞)
解析　∵≥1,∴-1≥0,
∴≥0,∴≥0,∴
解得x≥3或-1≤x<1.
故不等式的解集为[-1,1)∪[3,+∞).
11.解析　≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1思想方法练
1.B　因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-4由不等式的解集得到相应方程的根,利用根与系数的关系列方程组,进而求解.
所以则b=3a,c=-4a.
所以不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0.
因为a<0,所以不等式等价于3(x2-1)+x+3-4<0,即3x2+x-4=(x-1)(3x+4)<0,解得-0的解集为.故选B.
2.答案　
解析　由不等式ax2+bx+c>0的解集是,
可得x=-2和x=-是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0.
由不等式的解集得到相应方程的根.利用根与系数的关系列方程组,进而求解.
所以a,c=a.
所以不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0.
因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)<0,解得思想方法　函数思想是指运用变化的观点分析讨论具体问题中的数量关系,利用函数的图象与性质解决问题.方程思想是指将问题转化为对方程的认识,通过解方程使问题得以解决.本章中主要体现在以下两个方面:①利用函数图象及方程的根求不等式的解集;②利用函数及方程解决实际问题.
3.解析　(1)由题意得Δ=4m2-4(m+2)≤0,即m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2.
故实数m的取值范围为[-1,2].
(2)mx2+(m-2)x-2≥0,即(mx-2)(x+1)≥0.
对二次项系数分m=0和m≠0讨论.
①当m=0时,不等式化为-2x-2≥0,解集为{x|x≤-1};
当m≠0时,对应一元二次方程的两根的大小关系不确定,需分类讨论.
②当0-1,此时不等式的解集为;
③当-1≤m<0时,<-1,此时不等式的解集为.
综上所述,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当04.解析　方程x2-2ax+a+2=0的判别式Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2).
因为M [1,3],所以分M= 和M≠ 两种情况讨论.
当M= 时,Δ<0,即-1当M≠ 时,若Δ=0,则a=-1或a=2.
当a=-1时,M={-1},不符合题意;当a=2时,M={2} [1,3],符合题意.
若Δ>0,即a<-1或a>2,则还需满足
所以2综上可知,实数a的取值范围是.
思想方法　分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一,也是高考中经常考查的数学思想.在解题中正确、合理、严谨的分类,可使一个复杂的问题得到简化,达到化繁为简,化难为易,分而治之的目的.本章中主要体现在二次项系数含参数时对二次项系数是不是0分类讨论.
5.解析　(1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,根据图列不等式,进而得出参数的取值范围.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1.
所以a的取值范围是{a|a<1}.
图1
(2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,由根的情况列不等式组求解.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,解得-3图2
(3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,由根的情况列不等式组求解.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,解得0所以a的取值范围是{a|0图3
6.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立需满足解得-4综上,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足
作出函数y=mx2-mx-1,m>0的图象,数形结合列不等式组求解.
解得m<,此时0图1
③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意.
图2
综上,实数m的取值范围是.
思想方法　数形结合思想在本章主要体现在“三个二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.
7.A　当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立 当x>0时,不等式m0时,m<.
将恒成立问题转化为函数的最值问题.
当x>0时,x+=6(当且仅当x=3时取“=”),
所以=6,
所以m<6,故选A.
8.解析　(1)由题意知1,4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根.
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=1+4=5,n=1×4=4,故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4.
所以x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立,即a≤,x>0.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
因为x+=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,所以=-1,所以a≤-1.
思想方法　转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的转化、实际问题向数学问题的转化等.本章主要体现在①利用一元二次不等式的解集得到一元二次方程的根;②将恒成立问题转化为最值问题.
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