2022版新教材高中数学第5章函数概念与性质本章复习提升苏教版必修第一册（word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视函数定义域致错
1.()下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是 (　易错　)
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x,g(x)=|x|
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=|x|,g(x)=
2.(2020江苏南京外国语学校高一期中,)已知函数f(x)的定义域是[-2,3],则f(2x-3)的定义域是 (　　)
A.[-7,3]　　　　B.[-3,7]　　　　C.
3.()已知f(+1)=x+2,则f(x)=　　　　.易错
4.(2021江苏南京六合高级中学高一期中,)已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为　　　　　　　.易错
5.()判断函数f(x)=(1+x)的奇偶性. 易错
易错点2　忽视分段函数中定义域“临界点”致错
6.()如果f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-1<0的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
7.(2020天津滨海新区塘沽一中高一期中,)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有 <0,则a的取值范围是　　　　. 易错
8.(2019江苏南京金陵中学高一月考,)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t∈(0,+∞))左侧的图形的面积为f(t).试求函数y=f(t)的表达式. 易错
易错点3　忽视参数的取值范围致错
9.()若函数y=的定义域是R,则a的取值范围是　　　　.
10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(x)=-x2+2x-3.
(1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a);
(2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值. 易错
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用
1.()已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,若f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}= (　　)
A.{x|04}　　　　　　B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}　　　　　　D.{x|x<-2或x>2}
2.(2021江苏如皋江安高级中学高一月考,)函数y=|x2-4x|的单调递减区间为　　　　　　　.
二、分类讨论思想在函数中的应用
3.()已知定义在[-2,2]上的函数f(x)=x2-2ax+3.
(1)当a=1时,求f(x)的最值;
(2)若f(x)的最大值为M,设函数g(a)=M,求g(a)的表达式.
4.(2021江苏泰州中学高一月考,)已知函数f(x)=(x-1)|x-a|.
(1)若a=,求f(x)在x∈[0,2]上的最大值;
(2)若f(x)≤|ax-1|在x∈[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
三、方程思想在函数中的应用
5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)满足2f(x)=xf,则f(3)= (　　)
A.3　　　　B.
6.(2021江苏溧阳中学高一期中,)已知函数f(x)=为偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)当x∈(m>n>0)时,函数f(x)的值域为[2-5m,2-5n],求m,n的值.
四、转化与化归思想在函数中的应用
7.(2021山西太原高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x++1,则f(x)≤3的解集是 (　　)
A.[0,1]　　　　　　B.[-1,1]
C.[-2,1]　　　　　　D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
8.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是 (　　)
A.
C.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.C　A中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为{x|x≠0},不符合题意;B中,f(-1)=-1≠g(-1)=1,不符合题意;C中,|x|=,x∈R,符合题意;D中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为{x|x≠0},不符合题意.故选C.
易错警示　判断两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相同,若定义域不同,则不是同一个函数;定义域相同时,再判断对应关系是否相同.忽视对定义域的判断可能会导致判断错误.
2.C　因为函数f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3,要使f(2x-3)有意义,只需-2≤2x-3≤3,解得≤x≤3.所以f(2x-3)的定义域是.故选C.
3.答案　x2-1(x≥1)
解析　令t=+1,则t≥1,且x=(t-1)2,
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
所以f(x)=x2-1(x≥1).
易错警示　已知f(g(x))求f(x)的解析式时,要注意写出所求函数的定义域,此时f(x)的定义域为g(x)的值域,解题时不能忽略.
4.答案　(-3,-1)∪(3,+∞)
解析　∵f(x)为(0,+∞)上的增函数,f(a2-a)>f(a+3),
∴a2-a>a+3>0,
即
∴-33,
∴实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
易错警示　求函数的定义域时,务必依据原函数的解析式去求,切记不可随意化简后再求定义域,否则可能会因为非等价化简导致定义域改变.
5.解析　要使函数f(x)=(1+x)有意义,必须满足≥0且1+x≠0,解得-1由于函数的定义域不关于原点对称,因此函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
易错警示　在判断函数奇偶性时必须先求出函数的定义域,如果定义域不关于原点对称,那么该函数既不是奇函数也不是偶函数.
6.C　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)+2]=x-2.
当x<0时,f(x)=x+2,代入所求不等式,
得2(x+2)-1<0,解得x<-;
当x=0时,2f(0)-1=-1<0,恒成立;
当x>0时,f(x)=x-2,代入所求不等式,得2(x-2)-1<0,解得x<,所以0综上,不等式2f(x)-1<0的解集为.故选C.
7.答案　
解析　由题意得f(x)在R上单调递减,
∴,
即a的取值范围是.
易错警示　对于分段函数的单调性问题,注意在临界位置的函数值大小比较,该题中容易遗漏4a-2+3a≥.
8.解析　由题图得O(0,0),B(1,),A(2,0),易得直线OB对应的函数为y=x,
直线AB对应的函数为y=-,
S△OAB=.
当0当1当t≥2时,f(t)=.
综上,f(t)=
易错警示　求f(t)的解析式的关键是要根据图象对t的取值进行恰当的分类,要注意处理好各段端点值的取舍.
9.答案　[0,4)
解析　由题意可得ax2+ax+1>0在R上恒成立.
当a=0时,1>0恒成立;
当a≠0时,需满足解得0综上,0≤a<4.
∴实数a的取值范围为[0,4).
10.解析　(1)∵f(x)=-x2+2x-3的图象开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当a≥1时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;
当0当a+1≤1,即a≤0时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递增,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=
-a2-2.
综上所述,g(a)=
(2)∵g(a)=-3,
∴当g(a)=-a2-2=-3(a≤0)时,a=-1或a=1(舍去);
当g(a)=-a2+2a-3=-3(a≥1)时,a=2或a=0(舍去);
当g(a)=-2(0综上可得,a的值为-1或2.
易错警示　求含参数的二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对图象的对称轴与所给区间的关系进行讨论,解题时防止忽视对参数的讨论导致解题错误.
思想方法练
1.A　由函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,
根据函数在不同定义域内的单调性,作出符合题意的函数图象,利用图象求出满足题意的x的取值范围.
故函数f(x)的大致图象如图所示.
由函数的图象可得,f(x-2)>0时,
-22,
解得04.故选A.
2.答案　(-∞,0)和(2,4)
解析　作出函数图象,观察图象得解.
作出函数y=|x2-4x|的图象,如图所示:
由图象可知,函数y=|x2-4x|的单调递减区间为(-∞,0)和(2,4).
思想方法　数形结合思想在解决数学问题中占有极其重要的地位,运用数形结合思想,不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.本章中与奇偶性、单调性有关的问题常需要借助函数图象辅助求解.
3.解析　(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+3,其图象开口向上,对称轴为直线x=1.
∵x∈[-2,2],∴f(x)min=f(1)=2,
f(x)max=f(-2)=11.
(2)f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=a,f(-2)=4a+7,f(2)=-4a+7.
对a分a≤0和a>0进行讨论.
当a≤0时,f(x)max=f(2)=-4a+7;
当a>0时,f(x)max=f(-2)=4a+7.
∴g(a)=
4.解析　(1)当a=,x∈[0,2]时,
f(x)=(x-1)=
对绝对值符号内的式子的正负进行讨论.
当0≤x<时,f(x)=-x2+,其图象开口向下,所以当x=时,函数值最大,且f.
当≤x≤2时,f(x)=x2-,其图象开口向上,所以当x=2时,函数值最大,且f(2)=.
因为,所以当a=时,f(x)在x∈[0,2]上的最大值为f(2)=.
(2)f(x)≤|ax-1|在x∈[0,2]上恒成立,即(x-1)|x-a|≤|ax-1|在x∈[0,2]上恒成立.
当0≤x≤1时,x-1≤0,所以(x-1)|x-a|≤0,又|ax-1|≥0,所以(x-1)|x-a|≤|ax-1|在x∈[0,1]上恒成立.
当1f(1)=0≤|ax-1|显然成立,
要使f(x)≤g(x)在x∈(1,2]上恒成立,
只需f(2)≤g(2),即|2-a|≤|2a-1|,解得a≤-1或a≥1.
此处需要分a≥1和a≤-1进行讨论.
当a≤-1,1由函数y=-x2+x+1-a的图象开口向下,对称轴为直线x=,得-x2+x+1-a≥-1-a≥0,所以当a≤-1时,f(x)≤g(x)在x∈(1,2]上恒成立.
当a≥1,1f(x)=(x-1)|x-a|=
作出y=f(x),y=g(x)在R上的大致图象,如图.
若1≤a≤2,则f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2]上单调递增,且f(1)≤g(1),f(2)≤g(2),
又1所以当1≤a≤2时,f(x)≤g(x)在x∈(1,2]上恒成立.
若a>2,则f(x)在上单调递增,在上单调递减,
此时g(x)-f(x)=ax-1-[-x2+(a+1)x-a]=x2-x+a-1≥0在x∈[1,2]上恒成立,
所以当a≥1时,f(x)≤g(x)在x∈(1,2]上恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是a≥1或a≤-1.
思想方法　本章中函数最值的求解问题,含参数的函数单调性的判断,与绝对值有关的函数问题,求参数的值(取值范围)问题常涉及分类讨论思想,要注意分类标准的确定,做到不重不漏.
5.B　令x=3,得2f(3)=3f①,
令x=,得2ff(3)+3②,
对于抽象函数问题,常对变量进行赋值,构造方程(组),通过解方程(组)使问题得以解决.
联立①②,消去f,得f(3)=.故选B.
6.解析　(1)由f(x)=,得f(-x)=,
又函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即,解得a=-2.
(2)由(1)可得f(x)=,则函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
因为当x∈(m>n>0)时,函数f(x)的值域为[2-5m,2-5n],
结合f(x)的单调性,根据定义域和值域列方程组求解.
所以
即
所以m,n是方程4x2-5x+1=0的两个不等实根,又m>n>0,所以m=1,n=.
思想方法　方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得以解决.在函数中,常利用函数、方程、不等式三者的联系,通过解方程(组)来解决函数的相关问题.
7.B　当x≥0时,f(x)=x++1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(1)=1+1+1=3,
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(x)≤3 f(|x|)≤f(1) |x|≤1,
利用函数的特殊值、奇偶性,将不等式等价转化为在同一单调区间内两函数值的大小,利用单调性解决问题.
解得-1≤x≤1,即x的取值范围为[-1,1],故选B.
8.D　由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=f(x),则f(x)=f(x-2).
当x∈[-2,0)时,f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.
当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0),f(x)=×f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1,
将x∈[0,2)转化到已知解析式的自变量的取值范围,根据条件求出解析式.
同理当x∈[2,4)时,f(x)max=,f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时,f(x)≤恒成立.
当x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1= (x-1)2=.结合图象(图略)知,若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥.
综上所述,m的取值范围是,故选D.
思想方法　转化与化归思想在函数中常见的运用:利用函数的奇偶性对自变量的范围进行转化,将不等式恒(能)成立等问题转化为最大(小)值问题,构造函数利用函数的性质进行适当的转化等.
10