2022版新教材高中数学第7章三角函数本章复习提升苏教版必修第一册（word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视角的范围致错　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考,)设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的 (　易错　)
A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　D.既不充分又不必要条件
2.()已知sinθ=,cosθ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是 (　易错　)
A.a∈　　　　　　B.a=1
C.a=1或a=
易错点2　忽视三角函数的定义域致错
3.()函数f(x)=cos,x∈的值域是　　　　.
4.()求函数y=lo的单调递增区间. 易错
易错点3　利用三角函数的基本关系时忽视隐含条件致错
5.()若sinθ=,cosθ=,且θ的终边不落在坐标轴上,则tanθ的值为　　　　.
6.(2021四川成都树德中学高一上段测,)已知-π(1)求sinx-cosx的值;
(2)求的值. 易错
易错点4　图象变换中忽视自变量的系数和平移方向致错
7.()为了得到y=sinx的图象,只需要将y=sin的图象 (　易错　)
A.向左平移个单位
C.向左平移个单位
8.()函数y=sin的图象可由函数y=cosx 的图象 (　　)
A.先把各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位
B.先把各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位
易错点5　忽视对参数的讨论致错
9.(2020上海金山中学高一上期末,)已知角α的终边上一点P的坐标是(3a,-4a),其中a≠0,化简2sinα+cosα. 易错
10.(2020河北石家庄实验中学高一月考,)化简:(n∈Z).
思想方法练
一、数形结合思想在三角函数中的应用
1.(2021江苏海安曲塘中学高一月考,)在(0,2π)内使sinx>|cosx|成立的x的取值范围是 (　　)
A.
C.
2.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与直线y=a(0A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z　　　　　　B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z　　　　　　D.[6k-3,6k],k∈Z
3.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的大致图象如图所示,则函数的解析式为　　　　　　　,方程f(x)-lgx=0的实数根的个数为　　　　.
二、分类讨论思想在三角函数中的应用
4.()已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则tanθ= (　　)
A.3　　　　B.-3　　　　C.±3　　　　D.
5.()证明:=(-1)ncosα,n∈Z.
三、函数与方程思想在三角函数中的应用
6.()函数f(x)=的最大值是　　　　.
7.(2021吉林长春外国语学校高一下期初,)已知tanα是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且α是第三象限角.
(1)求的值;
(2)求2sinα-cosα的值.
四、转化与化归思想在三角函数中的应用
8.(2021江苏溧阳中学高一月考,)比较下列各组数的大小.
(1)tan1,tan2,tan3;
(2)tan.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.A　已知角α的始边为x轴非负半轴,
若角α的终边在第二、三象限,则cosα<0,充分性成立;
若cosα<0,则角α的终边在第二、三象限或x轴负半轴上,必要性不成立.
故“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件,故选A.
易错警示　在三角函数中有句经典的语句“符号看象限”,即由角的象限可以确定三角函数值的符号,但由三角函数值的符号确定角的范围时要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解题错误.
2.D　∵sin2θ+cos2θ=1,
∴+=1,
解得a=1或a=.
当a=1时,sinθ=0,θ不是第二象限角,舍去;
当a=时,sinθ>0,cosθ<0,符合题意.
∴a=.故选D.
易错警示　本题利用同角三角函数基本关系求参数时,要注意检验θ是不是第二象限角,易忽略范围出现错误.
3.答案　
解析　因为0所以-≤cos<,所以函数f(x)的值域是.
4.解析　由对数函数的概念得sinx+>0,
即2kπ解得-+2kπ求函数y=lo的单调递增区间,即求函数y=sin的单调递减区间.令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.②
联立①②,得x∈,k∈Z.
故所求函数的单调递增区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z.
易错警示　本题中函数y=lo为复合函数,在判断函数的单调区间时,还需满足sin>0,不要忽略函数的定义域,否则极易出现错解.
5.答案　
解析　由已知得sin2θ+cos2θ=+=1,即k2+6k-7=0,
解得k=1或k=-7.
当k=1时,不符合题意,舍去;
当k=-7时,sinθ=,cosθ=,符合题意.所以tanθ=.
6.解析　(1)∵-π∴-∴sinx<0,cosx>0,
∴sinx-cosx<0.
由sinx+cosx=,sin2x+cos2x=1,可得1+2sinxcosx=,
即2sinxcosx=-,
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,
又sinx-cosx<0,
∴sinx-cosx=-.
(2)由(1)可得sinx=-,cosx=,
∴tanx==-.
∴
==-.
易错警示　由条件sinx+cosx=>0及-π7.C　y=sin=sin,
∴将y=sin的图象向左平移个单位就能得到y=sinx的图象.
易错警示　三角函数图象变换中的左右平移是对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.注意不要忽略系数.
8.B　y=sin=cos=cos.
先将函数y=cosx的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=cos2x的图象;再向右平移个单位,得到y=cos2x-=cos的图象.故选B.
9.解析　由三角函数的概念可知,
sinα==,
cosα==.
当a>0时,sinα=-,cosα=,
∴2sinα+cosα=-1;
当a<0时,sinα=,cosα=-,
∴2sinα+cosα=1.
易错警示　利用三角函数的概念进行化简或证明时,往往要关注三角函数的符号,特别是遇到开方时.当题中涉及字母时,要注意进行分类讨论,否则会出现错解.
10.解析　①当n=2k(k∈Z)时,
原式=
==-sinα.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=
==sinα.
所以化简所得的结果为(-1)n+1sinα(n∈Z).
思想方法练
1.A　由sinx>|cosx|≥0,得sinx>0,又x∈(0,2π),∴x∈(0,π).
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sinx和y=|cosx|在(0,π)上的图象,数形结合求出x的取值范围.
在同一平面直角坐标系中作出y=sinx与y=|cosx|在x∈(0,π)上的图象,如图.
由图知使sinx>|cosx|成立的x的取值范围为.故选A.
2.D　在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与y=a(0函数f(x),y=a(0由图象知,最小正周期T=8-2=6;当x=3时,f(x)取得最大值;当x=6时,f(x)取得最小值.所以f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.
3.答案　f(x)=2sin;63
解析　显然A=2.由图象过点(0,1),得f(0)=1,即sinφ=,
又因为|φ|<,
所以φ=.
因为点在图象上,
所以f=0,
即2sin=0.
由图象可知,是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点,
所以ω+=2π,解得ω=2.
所以f(x)=2sin.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin和函数y=lgx的图象,数形结合,将方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin和函数y=lgx的图象,如图.
易知f(x)的最大值为2.
令lgx=2得x=100.
令+kπ<100,k∈Z,得k≤30,k∈Z,
而+31π>100,所以在(0,100]内有31个形如,0≤k≤30,k∈Z的区间.
而在每一个区间上,函数f(x)=2·sin和函数y=lgx的图象都有2个交点,故这两个函数图象在内有62个交点,另外在内还有1个交点.
故方程f(x)-lgx=0共有63个实数根.
思想方法　数形结合是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.本章中,数形结合思想贯穿始终,如角的概念的推广,三角函数线的应用,利用图象解三角不等式、研究函数的性质等.
4.A　终边在直线y=3x上,要分终边在第一、三象限进行讨论.
当θ的终边在第一象限时,取直线y=3x上的点(1,3),则r=,
故cosθ==,sinθ=,
则tanθ==3.
当θ的终边在第三象限时,cosθ=-,sinθ=-,则tanθ==3.
综上,tanθ=3.故选A.
5.证明　因为n∈Z,且n取不同值时,正弦函数和余弦函数的值会发生变化,所以需要对n的值分奇数、偶数进行讨论.
当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,
左边=
===cosα,k∈Z,
右边=(-1)2kcosα=cosα,k∈Z,
左边=右边,故原等式成立.
当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,
左边=
=
=
==-cosα,k∈Z,
右边=(-1)2k-1cosα=-cosα,k∈Z,
左边=右边,故原等式成立.
综上所述,=(-1)n·cosα,n∈Z.
思想方法　当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.在三角函数的问题中,受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论.
6.答案　
解析　f(x)=cosx-sin2x=cos2x+cosx-1=-.
设cosx=t,因为≤x≤,所以≤cosx≤,即≤t≤.
将函数看成关于cosx的二次函数,利用二次函数的知识解决问题.
因为函数y=-在上单调递增,所以ymax=,所以f(x)的最大值为.
7.解析　(1)解方程2x2-x-1=0,得x=-或x=1.所以tanα=-或tanα=1.
因为α是第三象限角,所以tanα=1.
解方程2x2-x-1=0,得tanα的值,又α是第三象限角,所以tanα>0,将不满足的舍去.
所以==0.
(2)因为tanα=1,α是第三象限角,
所以解得sinα=cosα=-.所以2sinα-cosα=-.
思想方法　函数与方程思想,就是根据已知条件建立函数关系或列方程(组),并借助函数知识或解方程(组)解决问题.本章中,求三角函数的值(最值)问题常用到函数与方程思想.
8.解析　(1)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π).
因为<2<π,
所以-<2-π<0.
因为<3<π,所以-<3-π<0.
显然-<2-π<3-π<1<,
利用转化思想,将角化在同一单调区间内,再根据正切函数的单调性求解.
易知y=tanx在内是增函数,
所以tan(2-π)即tan2(2)tan=-tan,tan=-tan.
因为0<<<,且y=tanx在内单调递增,所以tan-tan,
即tan>tan.
思想方法　转化与化归思想在三角函数中的应用主要体现在三角函数值比较大小问题中,一般将其转化到同名三角函数的一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也体现了转化与化归思想.
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