2022版新教材高中数学第8章函数应用本章复习提升苏教版必修第一册（word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求零点时忽视函数的定义域致错
1.()函数f(x)=2x+在定义域内的零点个数为 (　易错　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.()函数f(x)=的零点个数为 (　易错　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
易错点2　忽视零点存在定理的使用条件致误
3.()对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则下列判断中正确的是 (　　)
A.方程f(x)=0一定有根
B.方程f(x)=0一定无根
C.方程f(x)=0一定有两根
D.方程f(x)=0可能无根
4.()设f(x)在区间[a,b]上是连续的单调函数,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内 (　易错　)
A.至少有一实根　　　　　　B.至多有一实根
C.没有实根　　　　　　D.必有唯一实根
易错点3　函数图象画不准确致错
5.()已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为 (　易错　)
A.(1,3)　　　　B.(0,3)　　　　C.(0,2)　　　　D.(0,1)
6.()函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=　　　　.
7.()函数f(x)=x2-2x的零点个数为　　　　.
8.()已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,求实数m的取值范围.
易错点4　求参数的取值范围时考虑不全面致错
9.(2020河北邯郸高一期中,)已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根,则实数a的取值范围是 (　易错　)
A.(-∞,0)　　　　B.(-∞,1]　　　　C.(0,1]　　　　D.[0,1]
10.()已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈,m为常数.
(1)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α,β,求实数m的取值范围,并求αβ的值.
易错点5　求实际应用问题时忽视对函数定义域的限制而致错
11.()某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入R与销售量t的关系可用抛物线表示,如图.
(注:销售量的单位:百台,销售收入与纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入R与销售量t之间的函数关系式;
(2)若销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与销售量的函数关系式,并求销售量是多少时,纯收益最大. 易错
思想方法练
一、函数与方程思想在函数问题中的应用
1.()如图所示,开始时桶1中有a升水,t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt,桶2中的水量就是y2=(a-ae-nt)升,桶1与桶2的大小和形状相同,假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等,则桶1中的水量为升时,需再经过　　　　分钟.
2.()已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.
二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用
3.()函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是　　 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
4.()若定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.2a-1　　　　　　B.2-a-1
C.1-2-a　　　　　　D.1-2a
三、转化与化归思想在函数零点中的应用
5.()若x0是方程ax=logax(06.()已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　　.(用“<”连接)
四、分类讨论思想在函数问题中的应用
7.(2020北京丰台高一上期中,)由历年市场行情知,从11月1日起的30天内,某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P=日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(t≤30,t∈N*).
(1)设该商品的日销售额为y元,请写出y与t的函数关系式(商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量);
(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大.
8.(2019湖南醴陵一中高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求实数k的取值范围,并证明<4.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.A　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0,所以函数f(x)没有零点,故选A.
易错警示　求函数零点要在定义域内进行,本题容易错求出两个零点.
2.C　当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);
当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=有2个零点.
易错警示　忽视函数的定义域会导致求x2+2x-3=0时不能舍去x=1.
3.D　因为f(x)的图象不一定是连续不断的,所以方程f(x)=0可能无根.
4.D　由题意知函数f(x)的图象在[a,b]内与x轴只有一个交点,即方程f(x)=0在[a,b]内只有一个实根.
易错警示　函数零点存在定理成立有两个条件:①函数图象在闭区间上是一条连续不断的曲线;②区间端点的函数值异号.
5.D　作出函数f(x)的图象,如图所示,
因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,
所以a的取值范围为0易错警示　利用图象解决函数零点问题时,画函数图象一定要准确.本题中易画错x<0时的图象.
6.答案　-2或1
解析　易知x≠0.函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点即为方程lg(x+2)=的根.在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)和y=的图象,如图所示,
由图可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k的值为-2或1.
7.答案　3
解析　求函数f(x)=x2-2x的零点个数,即求y=x2和y=2x图象的交点个数.画出两个函数的图象,如图所示,
由图可知,两个函数的图象有3个交点,所以函数f(x)=x2-2x的零点个数是3.
8.解析　画出函数y=f(x)与y=m的图象.函数y=f(x)与y=m的图象的交点个数就是函数g(x)=f(x)-m的零点个数.因为函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有四个交点.由图可知,实数m的取值范围是(0,1).
9.B　当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-,满足题意.
当a<0时,Δ=4-4a>0,<0,所以方程有且仅有一个负数根.
当a>0时,-<0,且>0,所以方程有两个负数根,又方程有根需满足Δ=4-4a≥0,所以0综上,a≤1.
易错警示　本题容易忽视二次项系数a为零的情况而导致漏解.
10.解析　(1)令t=log2x,x∈,
则y=t2+4t+m,t∈[-3,2].
因为函数f(x)存在大于1的零点,
所以方程t2+4t+m=0在(0,2]上存在实根.由t2+4t+m=0,得m=-t2-4t,t∈(0,2],
所以m∈[-12,0).
故实数m的取值范围为[-12,0).
(2)令g(t)=t2+4t+m,t∈[-3,2].
若函数f(x)有两个互异的零点α,β,
则函数g(t)=t2+4t+m在[-3,2]上有两个互异的零点t1,t2,其中t1=log2α,t2=log2β,
所以解得3≤m<4,
所以实数m的取值范围为[3,4).
因为t1+t2=-4,即log2α+log2β=-4,
所以log2(αβ)=-4,
所以αβ=2-4=.
11.解析　(1)由题图可知R=a(t-5)2+,由t=0时,R=0,可得a=-,
所以R=-(t-5)2+(0≤t≤5).
(2)设纯收益为y万元,
则y=-t2+5t--t=-t2+t-(0≤t≤5),
当t==4.75时,y取得最大值,最大值约为10.78,故销售量是475台时,纯收益最大,最大约为10.78万元.
易错警示　若函数是由实际问题建立的,则其定义域不仅要使所列函数解析式有意义,还要符合实际问题的要求.
思想方法练
1.答案　10
解析　由题意得ae-5n=a-ae-5n,解得e-n=.
根据题意列出方程,化简求解.
设再经过t0分钟,桶1中的水量为升,则a=,即=3,解得t0=10.
2.解析　令f(x)=2kx2-2x-3k-2,要使方程f(x)=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则函数f(x)的大致图象只能如图所示.
根据函数图象特点,列出满足条件的不等式组.
所以或
即或
解得k>0或k<-4.
故实数k的取值范围是k<-4或k>0.
3.B　令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一平面直角坐标系中作出y=2x-2和y=-x3的图象,如图所示.
将求函数在(0,1)内的零点个数转化为求两函数图象的交点个数,数形结合求解即可.
由图可知,两个函数图象在区间(0,1)内只有一个交点,
∴函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内只有一个零点.故选B.
4.D　作出函数f(x)在R上的图象和y=a(0作出函数f(x)在R上的图象和y=a(0由图可知,函数F(x)=f(x)-a(0思想方法　本章中,求函数的零点、判断函数零点的个数、与零点有关的参数等问题中都会用到数形结合思想,画出函数图象,图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点,两图象交点的个数就是函数零点的个数.
5.答案　a解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=logax(0a,则a将方程的解转化为两函数图象的交点问题进而求解.
6.答案　x1解析　令x+2x=0,得2x=-x.
令x+lnx=0,得lnx=-x.
在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=lnx,y=-x的图象,如图所示,由图可知x1<0将函数零点问题转化为函数图象的交点问题.
令h(x)=x--1=0,则()2--1=0,
解得=(负值舍去),
所以x3=>1.
综上,x1思想方法　在本章中转化与化归思想主要用于解决函数零点和图象交点问题,主要有以下几种情况:(1)将方程的解或不等式的解集转化为函数零点问题;(2)将函数零点问题转化为图象交点问题.
7.解析　(1)由题意知y=P·Q
=
即y=
(2)针对不同的定义域分析函数的最大值.
当0当25≤t≤30,t∈N*时,y=1800-45t,所以当t=25时,ymax=675.
因为900>675,所以日销售额的最大值为900元,且11月10日销售额最大.
8.解析　(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.
去绝对值,对x2与1的关系分类讨论.
当x≥1或x≤-1时,f(x)=x2-1+x2+2x=2x2+2x-1,令f(x)=0,
解得x=或x=(舍去).
当-1解得x=-.
综上,f(x)的零点为,-.
(2)当0若f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,
则x1x2=-,与x1,x2∈(1,2)矛盾.
所以两个零点分别在(0,1]和(1,2)内.
设x1∈(0,1],x2∈(1,2).
由x1∈(0,1]得f(x1)=kx1+1=0,所以k=-≤-1.
由x2∈(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得f(1)·f(2)<0,
即(k+1)(2k+7)<0,解得-综上所述,-易知x1=-,x2=.
设g(k)=+=-k+=,
易知g(k)在上单调递减,
所以g(k)=+即+<4.
思想方法　在本章中分类讨论思想主要用于解决函数零点及分段函数问题,主要体现在以下几个方面:(1)根据零点不同区间分情况讨论,求出零点;(2)根据函数在不同区间的取值讨论函数的解析式及对应性质.
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