山东省泰安市宁阳二中2013届高三12月质检 理科数学

高三数学（理）质量检测试题
2012.12
说明：1.答第I卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷上规定的位置。
2.第I卷共2页，答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.）
1、如果全集，，，则U等于（ ）
A． B．（2，4） C． D．
2、设函数，则在处的切线斜率为
（A）0 （B）-1 （C）3 （D）-6
3.已知，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（）
（A） （B）
（C） （D）
5. 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
6已知两条直线和互相平行，则等于（ ）
A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
7.如果对任意实数总成立,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知为等比数列，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9. 如图所示，已知则下列等式中成立的是
（A） （B）
（C） （D）
10.关于的方程有一个根为,则△ABC中一定有（ ） A． B． C． D．
11.若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所
示，则它的体积是( )
A. 27+12π B.
C. 27+3π D. 54+3π
12. 已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. ．
14. 设满足约束条件：；则的取值范围为 .
15.已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为 .
16.给出下列四个命题：
①命题“”的否定是“”；
②若，则函数只有一个零点；
③若，则的最小值为4；
④对于任意实数，有，且当时，，则当时，
.其中正确命题的序号是 （填所有正确命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17. （本小题满分12分）
在内，分别为角A，B，C所对的边，a,b,c成等差数列，且a=2c, （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求b的值。
18. （本小题满分12分）
已知等差数列为递增数列，满足，在等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：数列是等比数列.
19（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，，，点在上．
（1）若是中点，求证：∥平面;
（2）当时，求二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）设函数.
（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。
21. （本小题满分12分）
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．
（I）要使矩形的面积大于32平方米，则的长
应在什么范围内？
（II）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
22.（本小题满分14分）
已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数的取值范围；
（III）当
数学（理）试题参考答案及评分标准
2012.12
一. 选择题 : （本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
C
C
A
A
D
A
A
C
C
二．填空题: （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
13. 14. ；15. 16. ①③④
三．解答题: （本大题有6小题, 共74分）
17解：（Ⅰ）因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b， ……………………2分
又，可得， …………………………4分
所以，……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以， ……………………8分
因为，
所以，………………………………10分
得. …………………………12分

19. 证明：（1）证明：连结BC1，交B1C于E，DE．
∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点， ∴侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，∴ DE// AC1....... 2分
∵DE平面B1CD， AC1平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD． ………………………4分
（2） ∵ AC⊥BC，
所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)．
设D (a, b, 0)（，） …………………5分
∵点D在线段AB上，且， 即．
∴． …………………7分
所以，，．平面BCD的法向量为 设平面B1 CD的法向量为，
由 ，， 得 ，
所以，．
设二面角的大小为，． ………………………………………11分
所以二面角的余弦值为． ……………………12分
20.解：（Ⅰ），……………… （2分）
∴.
由，得.
故函数的单调递减区间是. ……………… （6分）
.
当时，原函数的最大值与最小值的和，
………………（8分）
由题意知 ……………… （10分）
=1 ……………… （12分）
21. 解：（I）设的长为（）米，则米
∵ ，∴， ……………………2分
∴ 由得 ，
又，得 ，解得：
即长的取值范围是 ……………………7分
（II）矩形花坛的面积为
……………………10分
当且仅当矩形花坛的面积取得最小值．
故，的长度是米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．…12分
22．解：（I）函数
…………1分
…………2分
当
列表如下：
+
0
—
极大值
综上所述，当；
当 …………5分
（II）若函数
当，
当，故不成立。 …………7分
当由（I）知，且是极大值，同时也是最大值。
从而
故函数 …………10分
（III）由（II）知，当