2021-2022学年数学湘教版九年级下册第1章二次函数测试题（一）（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学湘教版九年级下册第1章二次函数测试题（一）（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 07:58:45 | ||
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文档简介
2021-2022学年度数学第1章《二次函数》测试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，6） B．（6，1） C．（-1，6） D．（6，-1）
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；
丙：3a＋c＞0．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲和丙都错 B．乙和丙都对
C．乙对，丙错 D．甲对，丙错
3．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于点；将绕点心旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第11段抛物线上，则m值为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
4．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤
5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，经过原点的二次函数的图象，对称轴是直线x= 2．关于下列结论：①；②；③方程的两个根为=0，= 4；④ 若A（x1，1），B（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y =+c上，其中y2=a + c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1 - x2|≤|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
B．若|x1 - x2|≥|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
C．若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＜|x2 - x3|
D．若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＞|x2 - x3|
8．已知二次函数和，将二次函数的图象沿轴平移，使平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．抛物线y = a + bx + c的对称轴是（ ）
A．x= B．x = - C．x = D．x = -
10．已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．
12．若抛物线与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标______．
13．用二次函数解决实际问题的基本思路是建立二次函数的数学模型，把实际问题转化为数学问题.( )
14．如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．
15．抛物线的顶点坐标为_____．
16．如果抛物线y＝（k﹣4）x2+k的图象都在x轴上方，那么k的取值范围是 _____．
17．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕点旋转得到，交轴于；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到，若点在第2021段抛物线上，则的值为 __．
18．如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（10分）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
20．（10分）二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB′E′的面积为12时，求t的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．
（1）求b、c的值：
（2）求证：；
（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
23．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求点B的坐标和抛物线的表达式；
(2)P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；
(3)点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
25．（8分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量（台）与销售单价（元）的关系为＝﹣2+1000．
（1）该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式；
（2）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？
26．（10分）已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；
（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．
①______；
②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【解析】由题，顶点坐标为，
2．B【解析】解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故甲结论是错误的；
根据图象判断，当y=-2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，
∴即，
令x=-1，则y=，
由图像可知当x=-1时，y＞0即，故丙同学结论正确．
3．A【解析】令y=0，则-x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3，∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移6×5=30个单位得到，
∴抛物线C11的解析式为y=-（x-30）（x-30-3）=-（x-30）（x-33），
∵P（32，m）在第11段抛物线C11上，
∴m=-（32-30）（32-33）=2．
4．A【解析】把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线经过点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线经过点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
5．C【解析】将抛物线y=x2先向右平移5个单位长度，得：y=（x-5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y=（x-5）2+3，
6．B【解析】∵图象与x轴有两个交点，
∴，①正确；
由函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为x=-4，
结合图象增减性可知，当x=-3时，y=，②错误；
由图象可知，c=0，
∴结合函数与x轴的交点，方程的两个根为=0，= 4，③正确；
无法确定A（x1，1）和B（x2，2）在对称轴两侧还是同侧，无法判断x1和x2的大小，
故④错误；
7．D【解析】∵
∴抛物线的顶点坐标为，即
当a>0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；当a<0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；
A、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≤|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则
∴
当a<0时，，顶点B为最低点，则最小
当|x1 - x2|≤|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则
∴
故A选项错误
B、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≥|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则
∴
当a<0时，，顶点B为最低点，则最小
当|x1 - x2|≥|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则
∴
故B选项错误
C、∵y1＞ y3 ≥ y2
∴最小
∴B点为抛物线上的最低点
∴ ，即a<0
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小
∵y1＞ y3
∴|x1 - x2|＞|x2 - x3|
故选项C错误
D、由C知，选项D正确
故选：D
8．D【解析】二次函数和，
抛物线与轴的交点为和，抛物线与轴的交点为和，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等，
平移后的图象的对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的交点为和，
抛物线的对称轴为直线，
将二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度，使平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等．
故选：D．
9．D【解析】∵抛物线y = a + bx + c的对称轴是x = - ，
10．C【解析】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
11．5【解析】多项式除以的余数为1，
，
当时，，
同理可得：，
设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），
则，
因此有，
解得，
所以余式为，
由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，
12．【解析】抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
故答案为：．
13．√【解析】因为用二次函数解决实际问题的基本思路是建立二次函数的数学模型，把实际问题转化为数学问题,所以正确.
14．(2，)##【解析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x=（1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线BC的表达式为y=-x+5，
当x=2时，y=-x+5=，
故点M的坐标为（2，）．
故答案为：
15．【解析】为抛物线的顶点式，
当时，，即抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
16．k＞4【解析】∵抛物线y＝（k﹣4）x2+k的图都在x轴上方，
∴抛物线的开口向上，且抛物线与x轴没有交点，
∴，
解得，
故答案为：．
17．1【解析】一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，交轴于点；
点在第2021段抛物线上，4041是奇数，
点是抛物线的顶点，且点在轴的上方，
．
18．25【解析】设DE=x，
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴，PQ=MN=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴，
∴PN=10-x，
∴矩形PQMN面积=，
∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，
故答案为：25．
．
19．解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
20．解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，﹣3）代入，得：3a＝-3，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
(2)
解：如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．
由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，
∴抛物线顶点E（﹣2，1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），E（﹣2，1），
∴，
解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x+3，
∴Q（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，
∴TB＝TB′，TE＝TE′，
∴四边形BEB′E′是平行四边形，
∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，
∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×（3﹣2）×TQ＝TQ，
∴TQ＝6，
∴3﹣t＝6，
∴t＝﹣3；
(3)解：设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
①如图2，当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，
∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，
∴，
∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x+3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，
∴，
化简得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3），
③如图3，当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，
∴△N3BP3也是等腰直角三角形，
∴N3B＝N3P3，
∴﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，
化简得：x2+5x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去），
∴M点的坐标为（﹣2，﹣3）；
④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，
∴P4N4＝CN4，
∴﹣x＝﹣3﹣（﹣x2﹣4x﹣3），
化简得：x2+5x＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去），
∴M点的坐标为（﹣5，﹣3），
综上所述：满足条件的M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣5，﹣3）．
21．解：（1）由线段OA的长是方程的根，可得：，
∴，
∵轴，，
∴在Rt△AEB中，可由三角函数及勾股定理设，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意得：当点F落在OB上时，，则由（1）可得，
∵FM∥OA，
∴
∴
如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，
如图中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，
S=S梯形ACFM-S△FGH=
综上所述，
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：∴，
∴，
∴，
①以OM为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②以OA为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；
③以AM为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；
综上所述：当以为顶点的四边形是平行四边形时，则点的坐标为或或．
22．解：（1）∵抛物线经过点（0，-2），
∴，即c=-2，
∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小，
∴直线x=-4是抛物线的对称轴，
∴，解得：b=-16，
∴b=-16，c=-2；
（2）证明：∵b=-16，c=-2，
∴，
∵r是抛物线与x轴交点的横坐标，
∴r是方程的解，
即，则，
∴，
∴
=
=
∵，
∴，
∴；
（3）m＞1正确，
证明：由（2）可知：，
∴，即，
∴，
在中，令，
解得：或，
∴r＜0，
∴，，
∴，
∵，
∴，即m＞1．
23．解：（1）由题意，将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式，
当时，，得点，又点，
设线段所在直线的表达式，
∴，解得，
∴所在直线的表达式；
（2）∵轴，轴，
∴，
只要，此时四边形即为平行四边形，
由二次函数，
得点，
将代入，即，得点，
∴，
设点的横坐标为，则，，
由，得，
解之，得（不合题意舍去），，
当时，，
∴；
（3）由（2）知，，
∴，
又与有共同的顶点，且在的内部，
∴，
∴只有当时，，
由，，，
利用勾股定理，可得，，
由（2）以及勾股定理知，，
，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标是．
24.解：（1）∵直线与x轴交于点A（3，0），
∴，
解得，
∴直线，
∵直线，与y轴交于点B，
∴x=0，y=2，
∴点B（0，2），
∵抛物线经过点A（3，0），点B（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线；
(2)
解：Q（4，y2）两点均在该抛物线上，
∴；
当y=-6时，，
因式分解得
解得或，
∴（），Q（4，-6），
∵a=＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵y1≥y2，
∴P点的横坐标x1的取值范围；
(3)
解：设点N在AB上方抛物线上N（x, ）为满足条件的极高点，点M（x, ）
∴MN=
∵MN=1，
∴
∴，
∴
当点N在AB下方抛物线上N（x, ）为满足条件的极低点，点M（x, ）
∴MN=
∵MN=1，
∴
∴，
∴
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴点M的横坐标的取值范围或．
25．解：（1）
（2）对称轴为直线，
∵ ，∴抛物线开口向下
当时，最高利润元，
当时，最低利润=元．
26．解：（1）将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）由题意得：点的坐标为，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，，
，
，即，
解得或（与不符，舍去），
故当时，；
（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，
则点的坐标为，点的横坐标为3，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
由平移的性质得：直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
故答案为：；
②由题意得：，
则设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
设点的坐标为，
则，解得，即，
将点代入得：，
整理得：，
解得或，
则点的坐标为或．答案第1页，共2页
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，6） B．（6，1） C．（-1，6） D．（6，-1）
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；
丙：3a＋c＞0．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲和丙都错 B．乙和丙都对
C．乙对，丙错 D．甲对，丙错
3．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于点；将绕点心旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第11段抛物线上，则m值为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
4．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤
5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，经过原点的二次函数的图象，对称轴是直线x= 2．关于下列结论：①；②；③方程的两个根为=0，= 4；④ 若A（x1，1），B（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y =+c上，其中y2=a + c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1 - x2|≤|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
B．若|x1 - x2|≥|x3 - x2|，则y2 ≥ y3 ≥ y1
C．若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＜|x2 - x3|
D．若y1＞ y3 ≥ y2，则|x1 - x2|＞|x2 - x3|
8．已知二次函数和，将二次函数的图象沿轴平移，使平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．抛物线y = a + bx + c的对称轴是（ ）
A．x= B．x = - C．x = D．x = -
10．已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．
12．若抛物线与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标______．
13．用二次函数解决实际问题的基本思路是建立二次函数的数学模型，把实际问题转化为数学问题.( )
14．如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．
15．抛物线的顶点坐标为_____．
16．如果抛物线y＝（k﹣4）x2+k的图象都在x轴上方，那么k的取值范围是 _____．
17．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕点旋转得到，交轴于；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到，若点在第2021段抛物线上，则的值为 __．
18．如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（10分）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
20．（10分）二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB′E′的面积为12时，求t的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．
（1）求b、c的值：
（2）求证：；
（3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
23．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求点B的坐标和抛物线的表达式；
(2)P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；
(3)点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
25．（8分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量（台）与销售单价（元）的关系为＝﹣2+1000．
（1）该公司每月的利润为元，写出利润与销售单价的函数关系式；
（2）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？
26．（10分）已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；
（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．
①______；
②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【解析】由题，顶点坐标为，
2．B【解析】解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故甲结论是错误的；
根据图象判断，当y=-2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，
∴即，
令x=-1，则y=，
由图像可知当x=-1时，y＞0即，故丙同学结论正确．
3．A【解析】令y=0，则-x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3，∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移6×5=30个单位得到，
∴抛物线C11的解析式为y=-（x-30）（x-30-3）=-（x-30）（x-33），
∵P（32，m）在第11段抛物线C11上，
∴m=-（32-30）（32-33）=2．
4．A【解析】把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线经过点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线经过点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
5．C【解析】将抛物线y=x2先向右平移5个单位长度，得：y=（x-5）2；
再向上平移3个单位长度，得：y=（x-5）2+3，
6．B【解析】∵图象与x轴有两个交点，
∴，①正确；
由函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为x=-4，
结合图象增减性可知，当x=-3时，y=，②错误；
由图象可知，c=0，
∴结合函数与x轴的交点，方程的两个根为=0，= 4，③正确；
无法确定A（x1，1）和B（x2，2）在对称轴两侧还是同侧，无法判断x1和x2的大小，
故④错误；
7．D【解析】∵
∴抛物线的顶点坐标为，即
当a>0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；当a<0时，，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；
A、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≤|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则
∴
当a<0时，，顶点B为最低点，则最小
当|x1 - x2|≤|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不超过C点离对称轴的距离，则
∴
故A选项错误
B、当a>0时，，顶点B为最高点，则最大
当|x1 - x2|≥|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则
∴
当a<0时，，顶点B为最低点，则最小
当|x1 - x2|≥|x3 - x2|时，表明A点离对称轴的距离不小于C点离对称轴的距离，则
∴
故B选项错误
C、∵y1＞ y3 ≥ y2
∴最小
∴B点为抛物线上的最低点
∴ ，即a<0
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小
∵y1＞ y3
∴|x1 - x2|＞|x2 - x3|
故选项C错误
D、由C知，选项D正确
故选：D
8．D【解析】二次函数和，
抛物线与轴的交点为和，抛物线与轴的交点为和，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等，
平移后的图象的对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的交点为和，
抛物线的对称轴为直线，
将二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度，使平移后的图象对称轴到和的对称轴之间的距离相等．
故选：D．
9．D【解析】∵抛物线y = a + bx + c的对称轴是x = - ，
10．C【解析】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
11．5【解析】多项式除以的余数为1，
，
当时，，
同理可得：，
设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），
则，
因此有，
解得，
所以余式为，
由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，
12．【解析】抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
故答案为：．
13．√【解析】因为用二次函数解决实际问题的基本思路是建立二次函数的数学模型，把实际问题转化为数学问题,所以正确.
14．(2，)##【解析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x=（1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线BC的表达式为y=-x+5，
当x=2时，y=-x+5=，
故点M的坐标为（2，）．
故答案为：
15．【解析】为抛物线的顶点式，
当时，，即抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
16．k＞4【解析】∵抛物线y＝（k﹣4）x2+k的图都在x轴上方，
∴抛物线的开口向上，且抛物线与x轴没有交点，
∴，
解得，
故答案为：．
17．1【解析】一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，交轴于点；
点在第2021段抛物线上，4041是奇数，
点是抛物线的顶点，且点在轴的上方，
．
18．25【解析】设DE=x，
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴，PQ=MN=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴，
∴PN=10-x，
∴矩形PQMN面积=，
∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，
故答案为：25．
．
19．解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
20．解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，﹣3）代入，得：3a＝-3，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
(2)
解：如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．
由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，
∴抛物线顶点E（﹣2，1），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），E（﹣2，1），
∴，
解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x+3，
∴Q（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，
∴TB＝TB′，TE＝TE′，
∴四边形BEB′E′是平行四边形，
∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，
∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×（3﹣2）×TQ＝TQ，
∴TQ＝6，
∴3﹣t＝6，
∴t＝﹣3；
(3)解：设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），
①如图2，当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，
∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，
∴，
∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x+3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，
∴，
化简得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2+5x+5＝0，
解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3），
③如图3，当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，
∴△N3BP3也是等腰直角三角形，
∴N3B＝N3P3，
∴﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，
化简得：x2+5x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去），
∴M点的坐标为（﹣2，﹣3）；
④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，
∴P4N4＝CN4，
∴﹣x＝﹣3﹣（﹣x2﹣4x﹣3），
化简得：x2+5x＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去），
∴M点的坐标为（﹣5，﹣3），
综上所述：满足条件的M点的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣5，﹣3）．
21．解：（1）由线段OA的长是方程的根，可得：，
∴，
∵轴，，
∴在Rt△AEB中，可由三角函数及勾股定理设，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意得：当点F落在OB上时，，则由（1）可得，
∵FM∥OA，
∴
∴
如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，
如图中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，
S=S梯形ACFM-S△FGH=
综上所述，
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：∴，
∴，
∴，
①以OM为平行四边形的对角线时，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
②以OA为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；
③以AM为平行四边形的对角线时，如图所示：
同理可得；
综上所述：当以为顶点的四边形是平行四边形时，则点的坐标为或或．
22．解：（1）∵抛物线经过点（0，-2），
∴，即c=-2，
∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小，
∴直线x=-4是抛物线的对称轴，
∴，解得：b=-16，
∴b=-16，c=-2；
（2）证明：∵b=-16，c=-2，
∴，
∵r是抛物线与x轴交点的横坐标，
∴r是方程的解，
即，则，
∴，
∴
=
=
∵，
∴，
∴；
（3）m＞1正确，
证明：由（2）可知：，
∴，即，
∴，
在中，令，
解得：或，
∴r＜0，
∴，，
∴，
∵，
∴，即m＞1．
23．解：（1）由题意，将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式，
当时，，得点，又点，
设线段所在直线的表达式，
∴，解得，
∴所在直线的表达式；
（2）∵轴，轴，
∴，
只要，此时四边形即为平行四边形，
由二次函数，
得点，
将代入，即，得点，
∴，
设点的横坐标为，则，，
由，得，
解之，得（不合题意舍去），，
当时，，
∴；
（3）由（2）知，，
∴，
又与有共同的顶点，且在的内部，
∴，
∴只有当时，，
由，，，
利用勾股定理，可得，，
由（2）以及勾股定理知，，
，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标是．
24.解：（1）∵直线与x轴交于点A（3，0），
∴，
解得，
∴直线，
∵直线，与y轴交于点B，
∴x=0，y=2，
∴点B（0，2），
∵抛物线经过点A（3，0），点B（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线；
(2)
解：Q（4，y2）两点均在该抛物线上，
∴；
当y=-6时，，
因式分解得
解得或，
∴（），Q（4，-6），
∵a=＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵y1≥y2，
∴P点的横坐标x1的取值范围；
(3)
解：设点N在AB上方抛物线上N（x, ）为满足条件的极高点，点M（x, ）
∴MN=
∵MN=1，
∴
∴，
∴
当点N在AB下方抛物线上N（x, ）为满足条件的极低点，点M（x, ）
∴MN=
∵MN=1，
∴
∴，
∴
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴点M的横坐标的取值范围或．
25．解：（1）
（2）对称轴为直线，
∵ ，∴抛物线开口向下
当时，最高利润元，
当时，最低利润=元．
26．解：（1）将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）由题意得：点的坐标为，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，，
，
，即，
解得或（与不符，舍去），
故当时，；
（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，
则点的坐标为，点的横坐标为3，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
由平移的性质得：直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
故答案为：；
②由题意得：，
则设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
设点的坐标为，
则，解得，即，
将点代入得：，
整理得：，
解得或，
则点的坐标为或．答案第1页，共2页