高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 6.1.1 空间向量的线性运算 （学案+课时练 word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 6.1.1 空间向量的线性运算 （学案+课时练 word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-21 10:56:16 | ||
图片预览
文档简介
§6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题．
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
知识梳理
1．定义：在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
2．几何表示法：空间向量用有向线段表示．
3．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等.
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，则>
D．相同的向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝3.
二、空间向量及其线性运算
问题1 联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？
提示 易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如：加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ＝0三种情况．
问题2 你能借助向量加法的几何意义证明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)吗？
提示 如图，
因为＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c，
＝＋＝＋＋)＝a＋(b＋c)，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识梳理
1．空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c；
＝－＝a－b＝－c.
若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝b＋a；
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
解 (1)－＝－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝.向量，如图所示．
延伸探究 利用本例题图，化简＋＋＋.
解 结合加法运算，得
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思感悟 (1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－＝________；
(2)用，，表示，则＝________.
答案 (1) (2)＋＋
解析 (1)－－＝－(＋)＝－＝－＝.
(2)＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
三、共线向量(或平行向量)
问题3 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
知识梳理
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
例3 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b＝λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ.
跟踪训练3 (1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
答案 －
解析 由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，即解得
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋(＋＋)
＝＋＋＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝(＋)＋
＝a＋b＋c，
∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
1．知识清单：
(1)空间向量的概念．
(2)空间向量的线性运算．
(3)共线向量(或平行向量)．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合．
3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 与相等的向量有，，，共3个．
2．在三棱锥O－ABC中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ＋－＝－＝＋＝，故选C.
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，
∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案 －3
解析 因为＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－
＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．
所以
解得m＝λ＝－3.
课时对点练
1．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量．
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3.与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B.
4．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
答案 ABC
解析 选项A中，
＋＋＝＋＝；
选项B中，
＋＋＝＋(＋)
＝＋＝；
选项C中，
＋＋＝＋＝；
选项D中，
＋＋＝＋(＋)
＝＋≠.
5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 因为＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
所以＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)
＝6e1＋6e2.
又因为A，B，D三点共线，所以＝λ，
所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．
因为e1，e2是不共线向量，
所以故k＝1.
6．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
7．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为______．
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F，
则有＋＝，＋＝＋＝，
故＋－－＝0.
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.
答案
解析 ∵＝＋＋，
∴
∴
∴x＋y＋z＝.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解 (1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又与有公共起点E，
所以E，F，B三点共线．
11．(多选)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A.＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
答案 BD
解析 A中，＋2＋2＋＝＋2＋
＝＋＋＋＝＋；
B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；
C中，＋＋＝＋；
D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0.
12.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与共线的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D．－a－b＋c
答案 AC
解析 因为＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，a－b－c＝
－，所以与共线的向量是
－a＋b＋c和a－b－c.
13．(多选)有下列命题，其中真命题有( )
A．若∥，则A，B，C，D四点共线
B．若∥，则A，B，C三点共线
C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b
D．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
答案 BC
解析 根据共线向量的定义，若∥，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误；
因为∥，且，有公共点A，
所以B正确；
由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，
所以a∥b，故C正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或
|a＋b|＝||a|－|b||，故D错误．
14.如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.
答案
解析 由＝＋＋，＝＋＋，且＝－，＝－，得2＝＋，即＝(＋)，故λ＝.
15．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝__________，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 －1 0
解析 ∵A，B，C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
又由λ＋m＋n＝0，
得＝－－，
由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0.
16．如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝.
又∵＝－＝－＝(－)
＝，
∴＝，∴∥，||＝||.
又∵点F不在线段EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
6.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题．
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
知识梳理
1．定义：在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
2．几何表示法：空间向量用有向线段表示．
3．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等.
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，则>
D．相同的向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝3.
二、空间向量及其线性运算
问题1 联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？
提示 易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如：加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ＝0三种情况．
问题2 你能借助向量加法的几何意义证明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)吗？
提示 如图，
因为＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c，
＝＋＝＋＋)＝a＋(b＋c)，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识梳理
1．空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c；
＝－＝a－b＝－c.
若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝b＋a；
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
解 (1)－＝－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝.向量，如图所示．
延伸探究 利用本例题图，化简＋＋＋.
解 结合加法运算，得
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思感悟 (1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－＝________；
(2)用，，表示，则＝________.
答案 (1) (2)＋＋
解析 (1)－－＝－(＋)＝－＝－＝.
(2)＝＋＝(＋)＋
＝＋＋.
三、共线向量(或平行向量)
问题3 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
知识梳理
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
例3 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b＝λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ.
跟踪训练3 (1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
答案 －
解析 由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，即解得
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋(＋＋)
＝＋＋＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝(＋)＋
＝a＋b＋c，
∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
1．知识清单：
(1)空间向量的概念．
(2)空间向量的线性运算．
(3)共线向量(或平行向量)．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合．
3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 与相等的向量有，，，共3个．
2．在三棱锥O－ABC中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ＋－＝－＝＋＝，故选C.
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，
∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案 －3
解析 因为＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－
＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．
所以
解得m＝λ＝－3.
课时对点练
1．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量．
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3.与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 根据向量共线的定义，可知若与共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则与共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知与共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B.
4．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是的为( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
答案 ABC
解析 选项A中，
＋＋＝＋＝；
选项B中，
＋＋＝＋(＋)
＝＋＝；
选项C中，
＋＋＝＋＝；
选项D中，
＋＋＝＋(＋)
＝＋≠.
5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 因为＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
所以＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)
＝6e1＋6e2.
又因为A，B，D三点共线，所以＝λ，
所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．
因为e1，e2是不共线向量，
所以故k＝1.
6．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
7．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为______．
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F，
则有＋＝，＋＝＋＝，
故＋－－＝0.
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.
答案
解析 ∵＝＋＋，
∴
∴
∴x＋y＋z＝.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解 (1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又与有公共起点E，
所以E，F，B三点共线．
11．(多选)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A.＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
答案 BD
解析 A中，＋2＋2＋＝＋2＋
＝＋＋＋＝＋；
B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；
C中，＋＋＝＋；
D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0.
12.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与共线的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D．－a－b＋c
答案 AC
解析 因为＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，a－b－c＝
－，所以与共线的向量是
－a＋b＋c和a－b－c.
13．(多选)有下列命题，其中真命题有( )
A．若∥，则A，B，C，D四点共线
B．若∥，则A，B，C三点共线
C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b
D．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
答案 BC
解析 根据共线向量的定义，若∥，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误；
因为∥，且，有公共点A，
所以B正确；
由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，
所以a∥b，故C正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或
|a＋b|＝||a|－|b||，故D错误．
14.如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.
答案
解析 由＝＋＋，＝＋＋，且＝－，＝－，得2＝＋，即＝(＋)，故λ＝.
15．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝__________，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 －1 0
解析 ∵A，B，C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
又由λ＋m＋n＝0，
得＝－－，
由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0.
16．如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝.
又∵＝－＝－＝(－)
＝，
∴＝，∴∥，||＝||.
又∵点F不在线段EH上，
∴四边形EFGH是梯形．